1、课时作业(五十一)圆的方程 基础过关组 一、单项选择题 1圆 M：x2y22x2 3y50 的圆心坐标为() A(1， 3)B(1， 3) C(1， 3)D(1， 3) 解析圆 M 的圆心的横、纵坐标分别为 x2 21。y 2 3 2 3。故选 D。 答案D 2已知圆 C：x2y22x4y10，那么与圆 C 有相同的圆心，且经过点(2,2)的圆的方程是() A(x1)2(y2)25 B(x1)2(y2)225 C(x1)2(y2)25 D(x1)2(y2)225 解析圆 C 的标准方程为(x1)2(y2)24，圆心 C(1，2)，故排除 C，D；代入点(2,2)，只有 B 项经过此点。或设出要
2、求的圆的方程为(x1)2(y2)2r2，再代入点(2,2)，可以求得圆的半径为 5。故选 B。 答案B 3已知圆 C：x2y2DxEyF0，则“EF0 且 D0”是“圆 C 与 y 轴相切于原点”的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 解析圆 C 与 y 轴相切于原点圆 C 的圆心在 x 轴上(设坐标为(a,0)，且半径 r|a|。所以当 EF0 且 D0。故选 A。 答案A 4(2021成都模拟)若抛物线 yx22x3 与坐标轴的交点在同一个圆上，则由交点确定的圆的方程为 () Ax2(y1)24 B(x1)2(y1)24 C(x1)2y24 D(x1)2
3、(y1)25 解析抛物线 yx22x3 关于直线 x1 对称，与坐标轴的交点为 A(1,0)，B(3,0)，C(0，3)，设圆 心为 M(1，b)，半径为 r，则|MA|2|MC|2r2，即 4b21(b3)2r2，解得 b1，r 5，所以由交点 确定的圆的方程为(x1)2(y1)25。故选 D。 答案D 5(2020全国卷)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 2xy30 的距离为() A. 5 5 B.2 5 5 C.3 5 5 D.4 5 5 解析因为圆与两坐标轴都相切，点(2,1)在该圆上，所以可设该圆的方程为(xa)2(ya)2a2(a0)， 所以(2a)2(1a)2a
4、2，即 a26a50，解得 a1 或 a5，所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5)，所以圆心到 直线 2xy30 的距离为|2113| 2212 2 5 5 或|2553| 2212 2 5 5 。故选 B。 答案B 6已知点 P(x，y)为半圆 C：(x2)2(y1)21(y1)上一动点，则yx1 x 的最大值为() A. 31B. 31 3 C. 3D. 3 3 1 解析 yx1 x y1 x 1，其中y1 x 表示半圆上的动点 P(x，y)与点 Q(0,1)连线的斜率。过点 Q(0,1)作 QB 与半圆相切， B 为切点， 则在 RtCBQ 中， |CB|1 2|CQ|， 所以CQB30
5、， 则 k QBtanCQB 3 3 ， 所以yx1 x 的最大值为 3 3 1。 答案D 二、多项选择题 7已知圆 M 的一般方程为 x2y28x6y0，则下列说法中正确的是() A圆 M 的圆心为(4，3) B圆 M 被 x 轴截得的弦长为 8 C圆 M 的半径为 25 D圆 M 被 y 轴截得的弦长为 6 解析圆 M 的一般方程为 x2y28x6y0，则(x4)2(y3)225。圆的圆心坐标(4，3)，半径为 5。显然选项 C 错误，ABD 均正确。 答案ABD 8(2021山东模拟)过点 P(2,4)引圆(x1)2(y1)21 的切线，则切线的方程为() Ax2Bx2 C4x3y40D
6、4x3y40 解析根据题意，圆(x1)2(y1)21 的圆心为(1,1)，半径 r1。过点 P(2,4)引圆(x1)2(y1)21 的切线，若切线的斜率不存在，此时切线的方程为 x2，符合题意；若切线的斜率存在，设此时切线的斜率 为 k，则其方程为 y4k(x2)，即 kxy2k40，则有 |3k| k211，解得 k 4 3，则切线的方程为 4x3y 40。综上可得，切线的方程为 x2 或 4x3y40。故选 BC。 答案BC 三、填空题 9已知圆 C 的圆心在 y 轴上，且过点 A(4,4)，B(4,0)，则圆 C 的标准方程是_。 解析根据题意，设圆 C 的圆心为(0，n)，由圆 C 过
7、点 A(4,4)，B(4,0)，可得(04)2(n4)2(04)2 (n0)2，解得 n2，即圆心的坐标为(0,2)，则有 r2(04)2(24)220(r 为圆 C 的半径)，则圆 C 的标 准方程为 x2(y2)220。 答案x2(y2)220 10若不同的四点 A(5,0)，B(1,0)，C(3,3)，D(a，3)共圆，则 a 的值为_。 解析设圆的方程为 x2y2DxEyF0(D2E24F0)，分别代入 A，B，C 三点坐标，得 255DF0， 1DF0， 993D3EF0， 解得 D4， E25 3 ， F5。 所以 A，B，C 三点确定的圆的方程为 x2y24x25 3 y5 0。
8、因为 D(a,3)也在此圆上，所以 a294a2550。所以 a7 或 a3(舍去)，所以 a 的值为 7。 答案7 11在平面直角坐标系内，若曲线 C：x2y22ax4ay5a240 上所有的点均在第四象限内，则实 数 a 的取值范围为_。 解析圆 C 的标准方程为(xa)2(y2a)24， 所以圆心为(a,2a)， 半径 r2， 故由题意知 a2， |2a|2， 解得 a2 2。所以点 Q 在圆 C 外，所以|MQ|max4 22 26 2，|MQ|min 4 22 22 2。 (2)可知 n3 m2表示直线 MQ 的斜率，设直线 MQ 的方程为 y3k(x2)，即 kxy2k30，则 n
9、3 m2 k。因为直线 MQ 与圆 C 有交点，所以|2k72k3| 1k2 2 2，可得 2 3k2 3，所以 n3 m2的最大值为 2 3，最小值为 2 3。 素养提升组 14已知直线 l1：mxy3m10 与 l2：xmy3m10 相交于点 P，线段 AB 是圆 C：(x1)2(y 1)24 的一条动弦，且|AB|2 3，则|PA PB|的最小值是( ) A2 2B4 2 C2 22D4 22 解析由题意知，l1l2，且直线 l1过定点 M(3，1)，直线 l2过定点 N(1,3)，则点 P 的轨迹是以 MN 为直 径的圆，易知，线段 MN 的中点为(2,2)，|MN|2 2，所以点 P
10、 的轨迹方程为(x2)2(y2)22。在圆 C 中， 过点 C 作 CDAB 于点 D(图略)，易得|CD|1，所以点 D 的轨迹是以 C 为圆心，1 为半径的圆，其方程为(x 1)2(y1)21。因为 D 为线段 AB 的中点，所以|PA PB|2|PD |，易知点 D 的轨迹与点 P 的轨迹相离， 所以|PD |min 212212 212 21，所以|PA PB|的最小值为 4 22。故选 D。 答案D 15已知圆 C：x2y26x8y160，则圆心 C 的坐标为_；设 A(m,0)，B(m，0)(m0)，若 圆 C 上存在点 Q，使得 AQQB，则 m 的取值范围是_。 解析圆 C：x
11、2y26x8y160，即(x3)2(y4)29，则圆心 C 的坐标为(3，4)。由题意知， 以 AB 为直径的圆和圆 C 有交点，故两圆的圆心距大于或等于半径之差小于或等于半径之和。而以 AB 为直 径的圆的圆心为原点，半径为 m，所以|3m| 3242m3，即|3m|5m3，解得 2m8。 答案(3,4)2,8 16设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 E：x 2 4 y 2 2 1 上，过点 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足NP 2NM 。 (1)求点 P 的轨迹方程； (2)设 A(1,0)，在 x 轴上是否存在一定点 B，使|BP|2|AP|总成立？若存在，求出点 B 坐标；若不存在， 说明理由。 解(1)设点 P 的坐标为(x，y)， 点 M 的坐标为(x1，y1)，N(x1,0)， 则x 2 1 4 y 2 1 2 1。 由NP 2NM 知 xx1， y 2y1， 即 x1x， y1 2 2 y， 代入得 x2y24。 即点 P 的轨迹方程为 x2y24。 (2)假设存在点 B(m,0)满足条件， 由|BP|2|AP|， 得 xm2y22 x12y2， 即 3x23y2(2m8)xm24。 此方程与 x2y24 表示同一方程， 故 2m80， m2412， 解得 m4。 所以存在点 B(4,0)满足条件。
