1、2.4.1圆的标准方程 第二章 2.4圆的方程 1.掌握圆的定义及标准方程. 2.会用待定系数法求圆的标准方程，能准确判断点与圆的位置关系. 学 习 目 标 古朗月行 唐 李白 小时不识月，呼作白玉盘。 又疑瑶台镜，飞在青云端。 月亮，是中国人心目中的宇宙精灵，古代的人们在生活中崇拜、敬畏 月亮，在文学作品中也大量描写，如果把天空看作一个平面，月亮当 作一个圆，建立一个平面直角坐标系，那么圆的坐标方程如何表示？ 导 语 随堂演练课时对点练 一、圆的标准方程 二、点与圆的位置关系 三、待定系数法求圆的标准方程 内容索引 一、圆的标准方程 问题1圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有
2、怎样 的关系？ 提示平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心， 定长称为圆的半径. 确定圆的因素：圆心和半径， 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小. 问题2已知圆心为A(a，b)，半径为r，你能推导出圆的方程吗？ 提示设圆上任一点M(x，y)， 则|MA|r，由两点间的距离公式， 化简可得：(xa)2(yb)2r2. 确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径 (xa)2(yb)2r2 知识梳理 x2y2r2 注意点：注意点： (1)当圆心在原点即A(0,0)，半径长r1时，方程为x2y21，称为单位圆. (2)相同的圆，建立坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同， 但
3、是半径是不变的. (3)圆上的点都满足方程，满足方程的点都在圆上. 例1(1)与y轴相切，且圆心坐标为(5，3)的圆的标准方程为 _. 解析圆心坐标为(5，3)，又与y轴相切， 该圆的半径为5， 该圆的标准方程为(x5)2(y3)225. (x5)2(y3)225 (2)以两点A(3，1)和B(5,5)为直径端点的圆的标准方程是_ _. 解析AB为直径， AB的中点(1,2)为圆心， (x1)2 (y2)225 该圆的标准方程为(x1)2(y2)225. 反思感悟直接法求圆的标准方程的策略 确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、 两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如
4、“弦的中垂线必过圆 心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等. 跟踪训练1求满足下列条件的圆的标准方程： (1)圆心是(4,0)，且过点(2,2)； 解r2(24)2(20)28， 圆的标准方程为(x4)2y28. (2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，4). 解设圆心为C(0，b)，则(30)2(4b)252， b0或b8，圆心为(0,0)或(0，8)， 又r5， 圆的标准方程为x2y225或x2(y8)225. 二、点与圆的位置关系 问题3点M0(x0，y0)在圆x2y2r2内的条件是什么？在圆x2y2r2外的 条件又是什么？ 提示点在圆内时，点到圆心的距离小于半径，点在圆外时，点到圆心
5、 的距离大于半径. 位置关系 利用距离判断利用方程判断 点在圆外d r(x0a)2(y0b)2 r2 点在圆上d r(x0a)2(y0b)2 r2 点在圆内d r(x0a)2(y0b)2 r2 圆C：(xa)2(yb)2r2(r0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)， 知识梳理 例2(1)已知a，b是方程x2x 0的两个不相等的实数根，则点P(a， b)与圆C：x2y28的位置关系是 A.点P在圆C内 B.点P在圆C外 C.点P在圆C上 D.无法确定 点P在圆C内. (2)已知点P(2,1)和圆C： (y1)21，若点P在圆C上，则实数a _.若点P在圆C外，则实数a的取值范
6、围为_. 2或6 a2 解得a2或6. 解得a2. 反思感悟判断点与圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小. (2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并 作出判断. 0,1) 三、待定系数法求圆的标准方程 例3求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x3y10上的圆 的标准方程. 解方法一(待定系数法) 设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2， 即圆的标准方程是(x4)2(y3)225. 方法二(几何法) 由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为xy10. 弦的垂直平分线过圆心， 即圆心坐标为(4，3)， 即圆的标准方程是(x4)
7、2(y3)225. 反思感悟待定系数法求圆的标准方程的一般步骤 跟踪训练3过点A(1，1)，B(1,1)，且圆心在直线xy20上的圆 的方程是 A.(x3)2(y1)24 B.(x3)2(y1)24 C.(x1)2(y1)24 D.(x1)2(y1)24 所以线段AB的垂直平分线的方程为yx. 所以圆心坐标为(1,1)，半径为2， 所以所求圆的方程为(x1)2(y1)24. 方法二本题作为选择题，可采用排除法，根据圆心在直线xy20 上，排除B，D； 根据点B(1,1)在圆上，排除A. 1.知识清单： (1)圆的标准方程. (2)点和圆的位置关系. 2.方法归纳：直接法、几何法、待定系数法.
8、3.常见误区：几何法求圆的方程出现漏解情况. 课堂小结 随堂演练 1.以(2，1)为圆心，4为半径的圆的方程为 A.(x2)2(y1)24 B.(x2)2(y1)24 C.(x2)2(y1)216 D.(x2)2(y1)216 1234 解析以(2，1)为圆心，4为半径的圆的方程为(x2)2(y1)216. 2.点P(1,3)与圆x2y224的位置关系是 A.在圆外 B.在圆内 C.在圆上 D.不确定 1234 3.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的标准方程是 A.x2(y2)21 B.x2(y2)21 C.(x1)2(y3)21 D.x2(y3)21 1234 解析方法一(直接法
9、) b2，圆的标准方程是x2(y2)21. 方法二(数形结合法) 作图(如图)，根据点(1,2)到圆心的距离为1，易知圆心为(0,2)， 故圆的标准方程是x2(y2)21. 4.若点P(5a1,12a)在圆(x1)2y21的外部，则a的取值范围为 _. 1234 解析P在圆外， (5a11)2(12a)21,169a21， 课时对点练 基础巩固 12345678910 11 12 13 14 15 16 2.已知点A(3，2)，B(5,4)，以线段AB为直径的圆的标准方程是 A.(x1)2(y1)225 B.(x1)2(y1)225 C.(x1)2(y1)2100 D.(x1)2(y1)210
10、0 所以圆的标准方程是(x1)2(y1)225. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析圆(x1)2y21的圆心坐标为(1,0)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 4.已知圆(xa)2(y1)22a(0a1)，则原点O在 A.圆内 B.圆外 C.圆上 D.圆上或圆外 解析由圆的方程(xa)2(y1)22a，知圆心为(a，1)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 5.(多选)已知圆M：(x4)2(y3)225，则下列说法正确的是 A.圆M的圆心为(4，3) B.圆M的圆心为(4,3) C.圆M的半径为5 D.圆M被y
11、轴截得的线段长为6 解析由圆M：(x4)2(y3)252， 故圆心为(4，3)，半径为5，则AC正确； 令x0，得y0或y6，线段长为6，故D正确. 12345678910 11 12 13 14 15 16 6.已知圆C1：(x1)2(y1)21，圆C2与圆C1关于直线xy10对称， 则圆C2的方程为 A.(x2)2(y2)21 B.(x2)2(y2)21 C.(x2)2(y2)21 D.(x2)2(y2)21 解析在圆C2上任取一点(x，y)， 则此点关于直线xy10的对称点(y1，x1)在圆C1：(x1)2(y 1)21上， 所以(y11)2(x11)21， 即(x2)2(y2)21.
12、12345678910 11 12 13 14 15 16 7.与圆C：(x1)2y236同圆心，且面积等于圆C面积的一半的圆的方 程为_. (x1)2y218 解析圆C的半径R6，设所求圆的半径为r， 12345678910 11 12 13 14 15 16 又圆心坐标为(1,0)，则圆的方程为(x1)2y218. 8.圆(x1)2(y1)21上的点到直线xy2的距离的最大值是_. 解析圆(x1)2(y1)21的圆心为C(1,1)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 9.已知圆N的标准方程为(x5)2(y6)2a2(a0). (1)若点M(6,9)在圆N上，求半径
13、a； 解点M(6,9)在圆N上， (65)2(96)2a2，a210. 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)若点P(3,3)与Q(5,3)有一点在圆内，另一点在圆外，求a的取值范围. 解由已知，得圆心N(5,6). 12345678910 11 12 13 14 15 16 |PN|QN|，故点P在圆外，点Q在圆内， 10.已知点A(1，2)，B(1,4)，求 (1)过点A，B且周长最小的圆的方程； 12345678910 11 12 13 14 15 16 解当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小，从而周长最小. 则圆的方程为x2(y1)210. (2)过点A，
14、B且圆心在直线2xy40上的圆的方程. 12345678910 11 12 13 14 15 16 即x3y30， 由圆心在直线2xy40上，得两直线交点为圆心，即圆心坐标是 C(3,2). 12345678910 11 12 13 14 15 16 故所求圆的方程是(x3)2(y2)220. 12345678910 11 12 13 14 15 16 方法二待定系数法 设圆的方程为(xa)2(yb)2r2. 故所求圆的方程为(x3)2(y2)220. 11.(多选)以直线2xy40与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交 点的圆的方程可能为 A.x2(y4)220 B.(x4)2y220 C.
15、x2(y2)220 D.(x2)2y220 解析令x0，则y4；令y0，则x2. 12345678910 11 12 13 14 15 16 综合运用 过B点的圆的方程为x2(y4)220. 以B为圆心，过A点的圆的方程为(x2)2y220. 12.已知直线(32)x(32)y50恒过定点P，则与圆C：(x2)2 (y3)216有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为 A.(x2)2(y3)236 B.(x2)2(y3)225 C.(x2)2(y3)218 D.(x2)2(y3)29 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析由(32)x(32)y50， 得(2x3y1)(3
16、x2y5)0， 12345678910 11 12 13 14 15 16 圆C：(x2)2(y3)216的圆心坐标是(2，3)， 所求圆的标准方程为(x2)2(y3)225，故选B. 13.圆(x3)2(y1)21关于直线xy30对称的圆的标准方程是 _. (x4)2y21 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析设圆心A(3，1)关于直线xy30对称的点B的坐标为(a，b)， 故所求圆的标准方程为(x4)2y21. 14.已知点P(x，y)为圆x2y21上的动点，则x24y的最小值为_. 解析点P(x，y)为圆x2y21上的动点， x24y1y24y(y2)25.
17、y1,1， 当y1时，(y2)25有最小值4. 12345678910 11 12 13 14 15 16 4 15.已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为 A.4 B.5 C.6 D.7 所以|OC|514，当且仅当C在线段OM上时取等号. 拓广探究 12345678910 11 12 13 14 15 16 化简得(x3)2(y4)21， 所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心，1为半径的圆， 16.设圆满足：截y轴所得弦长为2；被x轴分成两段弧，其弧长比为 31.在满足上述条件的圆中，求圆心到直线l：x2y0的距离最小时的 圆的方程. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解设圆心为(a，b)，半径长为r， 12345678910 11 12 13 14 15 16 消去r，得2b2a21， 设a2bk，则a2bk，代入式， 整理得2b24bkk210. 判别式8(k21)0，解得|k|1， 当k1时，ab1，圆的方程为(x1)2(y1)22； 当k1时，ab1，圆的方程为(x1)2(y1)22. 12345678910 11 12 13 14 15 16 本课结束 更多精彩内容请登录：
