1、习题课圆锥曲线的离心率 第三章 圆锥曲线的方程 1.掌握圆锥曲线的离心率的求法. 2.会求圆锥曲线的离心率的最值及范围问题. 学 习 目 标 随堂演练课时对点练 一、定义法 二、几何法 三、寻求齐次方程求离心率 内容索引 四、求离心率的取值范围 一、定义法 反思感悟根据椭圆或双曲线的定义，求出a，c或列出关于a，c的等 式，得到关于e的方程，进而求出e. 解析不妨设P为双曲线右支上一点， |PF1|r1，|PF2|r2. 根据双曲线的定义，得r1r22a， 二、几何法 解析如图，设PF1的中点为M，连接PF2. 因为O为F1F2的中点， 所以OM为PF1F2的中位线. 所以OMPF2， 所以P
2、F2F1MOF190. 因为PF1F230， 由椭圆定义得2a|PF1|PF2|3|PF2|， 反思感悟涉及到焦点三角形的题目往往利用圆锥曲线的定义及三角 形中的正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等来求得 的值. 解析根据双曲线的对称性，不妨设点P在第一象限， 又|F1F2|2c，|PF2|最小. 在PF1F2中，由余弦定理， 三、寻求齐次方程求离心率 由ABBF得|AB|2|BF|2|AF|2， 即a2b2a2(ac)2，整理得a2b2c22ac， 将b2a2c2代入，得a2acc20， (2)已知双曲线E： (a0，b0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上， AB，CD的中点为E的两个焦点，
3、且2|AB|3|BC|，则E的离心率是_. 又2|AB|3|BC|， 2 即2b23ac， 2(c2a2)3ac， 两边同除以a2并整理得2e23e20， 解得e2(负值舍去). 反思感悟利用定义以及图形中的几何关系来建立关于参数a，b，c的 关系式，结合a，b，c之间的关系，化简为参数a，c的关系式进行求解. 解析如图所示，两条曲线交点的连线过点F， 化简得c46a2c2a40， 四、求离心率的取值范围 反思感悟求离心率范围的常用思路 (1)通过几何方法如点的坐标、三角形中的不等关系等转化为求离心率 的取值范围. (2)通过代数方法如基本不等式、函数最值求得离心率的取值范围. 解析设P(x，
4、y)， 又x20，a2，2c2a23c2， 1.知识清单： (1)圆锥曲线的离心率的求法. (2)圆锥曲线的离心率的范围问题. 2.方法归纳：定义法、数形结合. 3.常见误区：忽略离心率的范围导致出错. 课堂小结 随堂演练 解析由双曲线方程可知c24， 1234 2.(多选)已知双曲线E的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为y 2x，则双曲线E的离心率为 1234 解析若双曲线焦点在x轴上， 1234 1234 1234 PQ是F1PF2的平分线， 1234 课时对点练 所以2c10，c5，所以a2c2916， 基础巩固 12345678910 11 12 13 14 15 16 1234
5、5678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 依题意，不妨设点A的坐标为(0，b)，在F1AF2中，由余弦定理得， |F1F2|2|AF1|2|AF2|22|AF1|AF2|cosF1AF2， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析由椭圆方程可得，A(0，b)， 因为点A到直线l：y2x的距离是1， 12345678910 11 12 13 14 15 16 记椭圆的右焦点为F1，连接MF1，NF1， 由椭圆的对称性可得，|MF1|NF|， 再
6、由椭圆的定义可得，2a|MF1|MF|NF|MF|6， 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析如图，连接PF1，OQ， 由OQ为F1PF2的中位线，可得OQPF1，|OQ| |PF1|， 由圆x2y2b2，可得|OQ|b， 即有|PF1|2b，由椭圆的定义可得|PF1|PF2|2a， 可得|PF2|2a2b， 又OQPF2，可得PF1PF2， 即(2b)2(2a2b)2(2c)2， 即b2a22abb2c2a2b2， 整理得2a3b， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 1234567
7、8910 11 12 13 14 15 16 解析设椭圆的焦距为2c(c0)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 8.已知F1 ，F2 是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且 |PF1|PF2| ，线段PF1的垂直平分线过F2 ，若椭圆的离心率为e1，双曲线 的离心率为e2 ，则 的最小值为_. 6 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析设椭圆对应的参数为a1，b1，c，双曲线对应的参数为a2，b2，c， 由于线
8、段PF1的垂直平分线过F2， 所以有|F1F2|PF2|2c. 12345678910 11 12 13 14 15 16 两式相减得到4c2(a1a2)，即a1a22c， 当且仅当c2a2时，等号成立，即最小值为6. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解分析知P不是双曲线的顶点. 在PF1F2中，由正弦定理，得 12345678910 11 12 13 14 15 16 所以点P在双曲线的右支上， 由双曲线的定义，知|PF1|PF2|2a， 即c22aca20，所以e22e10， 12345678910 11 12 13 14 15 16 10.如图，椭圆的中心在坐
9、标原点，焦点在x轴上，A1，A2，B1，B2分别为 椭圆的左、右、下、上顶点，F2为其右焦点，直线B1F2与A2B2交于点P， 若B1PA2为钝角，求该椭圆的离心率的取值范围. 12345678910 11 12 13 14 15 16 由题意，得A2(a，0)，B1(0，b)，B2(0，b)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 又b2a2c2，所以a2acc20)，得到椭圆C2和双曲线C4.记椭圆C1，C2和双曲线C3，C4的离 心率分别是e1，e2，e3，e4，则 A.e1e2，e3e2，e3与e4的大小关系不确定 C.e1e4 D.e1e2； 12345678910 11 12 13 14 15 16 即无法判断e3，e4的大小. 综上，e1e2，e3与e4的大小关系不确定. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 解由题意可知CDy轴. 双曲线经过C，D，且以A，B为焦点，由双曲线的对称性知C，D关于y 轴对称. 12345678910 11 12 13 14 15 16 点C，E在双曲线上， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 本课结束 更多精彩内容请登录：
