1、第2课时空间向量基本定理的初步应用 第一章 1.2空间向量基本定理 1.会用基底表示空间向量. 2.初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的方法. 学 习 目 标 道生一，一生二，二生三，三生万物”这句话出自 老子道德经，它表示“道”生万物从少到多， 从简单到复杂的一个过程. 导 语 联系到我们学过的平面向量基本定理，可以概括为给出一组二维的基 底可以生成平面中所有的向量；推广到三维空间，仍然为给出一组三 维的基底，可以生成空间中的所有向量. 随堂演练课时对点练 一、证明平行、共面问题 二、夹角、垂直问题 内容索引 一、证明平行、共面问题 1.对于空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充
2、要条件是存在实数，使 . 2.如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存 在唯一的有序实数对(x，y)，使p . 3.直线平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为 向量共面问题. ab xayb 知识梳理 例1如图，在平行六面体ABCDABCD中，E， F，G分别是AD，DD，DC的中点，请选择恰 当的基底向量证明： (1)EGAC； 又EG，AC无公共点，所以EGAC. (2)平面EFG平面ABC. 又FG，AB无公共点，所以FGAB. 又FG 平面ABC，AB平面ABC， 所以FG平面ABC. 又由(1)知EGAC，可得EG平面ABC， 又FGEGG
3、，FG，EG平面EFG， 所以平面EFG平面ABC. 反思感悟证明平行、共面问题的思路 (1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行. (2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行. 跟踪训练1如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中， E，F分别在B1B和D1D上，且 求证：A，E，C1，F四点共面. 二、夹角、垂直问题 问题如何利用空间向量解决空间几何中的垂直问题，以及求解夹角 问题？ (2)若a，b是非零向量，则abab0. 注意点：注意点： 区分向量的夹角与异面直线所成的角的范围. 例2在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分 别是DD1，BD的中点，点
4、G在棱CD上，且CG (1)证明：EFB1C； 则i，j，k构成空间的一个正交基底. 所以EFB1C. (2)求EF与C1G所成角的余弦值. 延伸探究设这个正方体中线段A1B的中点为M，证明：MFB1C. 又MF，B1C无公共点， 所以MFB1C. 反思感悟求夹角、证明线线垂直的方法 跟踪训练2(1)已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB 2，BCCC11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为_. 解析 如图所示， (2)在正方体ABCDA1B1C1D1中，已知E，F，G，H分别是CC1，BC， CD和A1C1的中点. 证明：AB1GE，AB1EH； 则i，j，k构成空间的
5、一个单位正交基底. AB1GE. AB1EH A1G平面EFD. A1GDF. A1GDE. 又DEDFD，DE，DF平面EFD，A1G平面EFD. 1.知识清单： (1)空间向量基本定理. (2)空间向量共线、共面的充要条件. (3)向量的数量积及应用. 2.方法归纳：转化化归. 3.常见误区： (1)向量夹角和线线角的范围不同，不要混淆. (2)转化目标不清：表示向量时没有转化目标，不理解空间向量基 本定理的意义. 课堂小结 随堂演练 1.在棱长为1的正四面体ABCD中，直线AB与CD A.相交 B.平行 C.垂直 D.无法判断位置关系 1234 2.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1
6、中，M，N分别为AB，B1C的中点， 若ABa，则MN的长为 1234 3.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB2，AD1，E，F，G 分别是DC，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是 1234 根据题意可得， 故其所成角的余弦值为0. 4.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，ABAD AA11，BADBAA1120，DAA160， 则线段AC1的长度是_. 1234 课时对点练 1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是上底面A1B1C1D1的中心，则AC1与 CE的位置关系是 A.重合 B.垂直 C.平行 D.无法确定 基础巩固 12345
7、678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 设正方体的棱长为1， 2.已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC是等腰直角三角形，ABAC 2，CC12，AA1与AB，AC都成60角，则异面直线AB1与BC1所成角 的余弦值为 12345678910 11 12 13 14 15 16 则ab0，ac2，bc2， 12345678910 11 12 13 14 15 16 3.已知l，m是异面直线，A，Bl，C，Dm，ACm，BDm且AB2， CD1，则异面直线l，m所成的角等于 A.30 B.45 C.60 D.90 123
8、45678910 11 12 13 14 15 16 所以异面直线l，m所成的角等于60. 12345678910 11 12 13 14 15 16 5.如图，三棱锥SABC中，SA底面ABC，ABBC，AB BC2，SA 则SC与AB所成角的大小为 A.90 B.60 C.45 D.30 12345678910 11 12 13 14 15 16 因为SA底面ABC，所以SAAC，SAAB， 所以ac0， 又ABBC，ABBC2， 12345678910 11 12 13 14 15 16 所以SC与AB所成角的大小为60. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12
9、345678910 11 12 13 14 15 16 AM平面BCD，MC平面BCD，AMMC， 解析由共面向量基本定理和空间向量基本定理可知， M平面BCD，N直线AC， 当AM，BN最短时，AM平面BCD，BNAC， M为BCD的中心，N为AC的中点， 12345678910 11 12 13 14 15 16 7.正四面体ABCD中，M，N分别为棱BC，AB的中点，则异面直线DM与 CN所成角的余弦值为_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析如图，画出对应的正四面体， 12345678910 11 12 13 14 15 16 设异面直线DM与CN所成的角
10、为， 8.如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都 等于a，点M，N分别是AB，CD的中点，则MN_AB(填 “”或“”). 12345678910 11 12 13 14 15 16 由题意可知，|p|q|r|a， 且p，q，r三向量两两夹角均为60. 9.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是 C1D1，D1D的中点，正方体的棱长为1. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 10.如图，已知在直三棱柱ABCABC中，ACBC AA，ACB90，D，E分别为AB，BB的中点. (1)
11、求证：CEAD； 12345678910 11 12 13 14 15 16 根据题意，得|a|b|c|且abbcca0. (2)求异面直线CE与AC所成角的余弦值. 12345678910 11 12 13 14 15 16 A.3 B.1 C.1 D.3 12345678910 11 12 13 14 15 16 综合运用 12345678910 11 12 13 14 15 16 12.在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC 90，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则异面直线EF和BC1所成的角是 A.30 B.45 C.90 D.60 12345678
12、910 11 12 13 14 15 16 因为点E，F分别是棱AB，BB1的中点， 设所求异面直线的夹角为， 13.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心， M是DD1的中点，N是A1B1的中点，则直线ON与AM的 位置关系是 A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.无法判断 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 14.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，A1AB A1AC60，BAC90，A1A3，ABAC2，则线段AO的长 度为 1234567
13、8910 11 12 13 14 15 16 四边形BCC1B1是平行四边形， A1ABA1AC60，BAC90，A1A3，ABAC2， a2b24，c29，ab0，acbc32cos 603， 12345678910 11 12 13 14 15 16 15.在如图所示的平行六面体ABCDA1B1C1D1中，已知ABAA1AD， BADDAA160，BAA130，N为A1D1上一点，且A1N A1D1.若BDAN，则的值为_. 拓广探究 12345678910 11 12 13 14 15 16 设AB1， 因为BDAN， 12345678910 11 12 13 14 15 16 所以(ba)(cb)0， 16.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P是DD1的中点，O是底面ABCD 的中心.求证：B1O平面PAC. 12345678910 11 12 13 14 15 16 证明如图，连接BD，则BD过点O， 12345678910 11 12 13 14 15 16 设|a|b|c|1， 又ACAPA，AC，AP平面PAC， OB1平面PAC. 12345678910 11 12 13 14 15 16 本课结束 更多精彩内容请登录：
