1、第一章 空间向量与立体几何 章末检测试卷(一) (时间：120分钟 满分：150分) 12345678910 11 12 13 14 15 16 一、单项选择题一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 17 18 19 20 21 22 2.已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(1,3，)，若a，b，c三向量 共面，则实数等于 A.1 B.2 C.3 D.4 解析若向量a，b，c共面，则cxayb，其中x，yR， 即(1,3，)(2x，x,3x)(y,4y，2y)(2xy，x4y,3x2y)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
2、 21 22 3.若向量a(x,4,5)，b(1，2,2)，且a与b的夹角的余弦值为 则x 等于 A.3 B.3 C.11 D.3或11 解析因为ab(x,4,5)(1，2,2)x810 x2， 12345678910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 解得x3或x11(舍去). 12345678910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12345678910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 5.已知空间向量a(1，n,2)，b(2,1,2)，若2ab与b垂直，则|a|等于 解析
3、因为a(1，n,2)，b(2,1,2)， 所以2ab(4,2n1,2). 因为2ab与b垂直，所以(2ab)b0， 所以82n140， 12345678910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 6.如图所示，在空间直角坐标系中，BC4，原点O是BC的中点，点 点D在平面Oyz内，且BDC90， DCB30，则AD的长为 12345678910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 解析因为点D在平面Oyz内， 所以点D的横坐标为0， 又BC4，原点O是BC的中点，BDC90，DCB30， 12345678910 11 12
4、 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 纵坐标y(24sin 30cos 60)1， 7.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ABAD， BCAD，且ABBC2，AD3，PA平面ABCD且PA2，则PB与平 面PCD所成角的正弦值为 12345678910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 解析依题意，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空 间直角坐标系， ABBC2，AD3，PA2， 则P(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,3,0)， 12345678910 11 12 1
5、3 14 15 16 17 18 19 20 21 22 设平面PCD的法向量为n(a，b，c)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 不妨取c3，则a1，b2， 所以平面PCD的一个法向量为n(1,2,3)， 所以PB与平面PCD所成角的正弦值为 8.已知四棱锥PABCD，底面是边长为2的正方形，PAD是以AD为斜 边的等腰直角三角形，AB平面PAD，点E是线段PD上的动点(不含端 点)，若线段AB上存在点F(不含端点)，使得异面直线PA与EF成30的角， 则线段PE长的取值范围是 12345678910 11 12 13 14 1
6、5 16 17 18 19 20 21 22 解析由PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，AB平面PAD，取AD 中点G，建立如图所示的空间直角坐标系， 依题意G(0,0,0)，A(1,0,0)，D(1，0,0)，B(1,2,0)，P(0,0,1)，设F(1，y,0)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 A.(4，2,2) B.(2,2,4) C.(4,2，2) D.(2，2,4) 12345678910 11 12 13 14 15 16 二、多项选择题二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5 分，部分
7、选对的得2分，有选错的得0分) 17 18 19 20 21 22 故点P的坐标为(4，2,2)或(2,2,4). 12345678910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10.如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是DD1， DB的中点，则下列选项中正确的是 A.EF平面ABC1D1 B.EFB1C C.EF与AD1所成角为60 D.EF与平面BB1C1C所成角的正弦值为 12345678910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 解析连接BD1(图略)，EFBD1，得EF平面ABC1D1，故
8、A正确； B1CBC1，又由D1C1平面BCC1B1，得B1CD1C1， B1C平面BD1C1. BD1平面BD1C1， B1CBD1. 又BD1EF， EFB1C，故B正确； 12345678910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 且AD1B为直角三角形， EFBD1，又D1C1平面BB1C1C， D1BC1即为EF与平面BB1C1C所成角， 12345678910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11.如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是以ABC为直角的等 腰直角三角形，AC2a，BB13a，D是A
9、1C1的中点，点E在棱AA1上， 要使CE平面B1DE，则AE的值可能是 12345678910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 解析以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 12345678910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 由CE平面B1DE，得CEDE，CEB1E， 解得za或2a，即AEa或2a. 12345678910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12.将正方形ABCD沿对角线BD翻折，使平面ABD与
10、平面BCD的夹角为90， 以下四个结论正确的是 A.ACBD B.ACD是等边三角形 C.直线AB与平面BCD所成的角为 D.AB与CD所成的角为 12345678910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 解析如图所示，以BD中点O为坐标原点，OD，OA，OC所在直线分别 为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz， 12345678910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 则D(1,0,0)，B(1,0,0)，C(0,0,1)，A(0,1,0)， 故ACBD，A正确； 所以ACD为等边三角形，B正确； 12345
11、678910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 解析a(2,1,3)，b(1,2,1)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 三、填空题三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13.已知a(2,1,3)，b(1,2,1)，a与b夹角的余弦值为_. 17 18 19 20 21 22 解析根据题意可知，当VDABC最大时，平面DAC平面ABC， 设AC的中点为O，连接OB，OD建立空间直角坐标系，如图所示， 令OBOCOD1， 则O(0,0,0)，A(0，1,0)，D(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)， 14
12、.将正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三 棱锥体积最大时，异面直线AD与BC所成的角为_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12345678910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 解析建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0,0,0)，A(1，1,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，C1(0,1,2)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 设平面EDC1的法向量为n(x，y，z)， 16.如图，正方
13、形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD，ABEF互 相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CMBNa(0a )， 则线段MN最短为_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 解析建立空间直角坐标系如图，则A(1,0,0)，F(1,1,0)，C(0,0,1). 12345678910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17.(10分)已知a(x,4,1)，b(2，y，1)，c(3，2，z)，ab， bc，求： (1)a，b，c； 12345678910 11 12 13 14 15
14、 16 17 18 19 20 21 22 四、解答题四、解答题(本大题共6小题，共70分) 解得x2，y4，则a(2,4,1)，b(2，4，1). 又bc，所以bc0，即68z0， 解得z2，于是c(3，2,2). 解由(1)得ac(5,2,3)，bc(1，6,1)， 设ac与bc的夹角为， 12345678910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 (2)ac与bc夹角的余弦值. 18.(12分)如图所示，在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，PC2， 在四边形ABCD中，CDAB，ABCBCD90，AB4，CD1， 点M在PB上，且PB4PM，PBC
15、30，求证：CM平面PAD. 12345678910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 证明建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz， PBC30，PC2， 12345678910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 设平面PAD的一个法向量为n(x，y，z)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19.(12分)如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直， ADCD，ABCD，ABAD2，CD4，M为CE的中点. (1)求证：BM平面ADEF； 1234
16、5678910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 证明平面ADEF平面ABCD，平面ADEF平面ABCDAD， ADED，ED平面ADEF， ED平面ABCD. 12345678910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,4,0)，E(0,0,2)，F(2,0,2). M为EC的中点， M(0,2,1)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 又BM 平面ADEF，BM平面ADEF. (2)求证：BC
17、平面BDE. 12345678910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 又DEDBD，DE，DB平面BDE， BC平面BDE. 20.(12分)在三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC为正三角形，且侧棱AA1 底面ABC，且底面边长与侧棱长都等于2，O，O1分别为AC，A1C1的中点， 求平面AB1O1与平面BC1O间的距离. 12345678910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 解如图，连接OO1， 根据题意，OO1底面ABC，则以O为原点， 分别以OB，OC，OO1所在的直线为x，y，z轴 建立空间直角坐标系.
18、 AO1OC1，OBO1B1，AO1O1B1O1，OC1OBO， 平面AB1O1平面BC1O. 平面AB1O1与平面BC1O间的距离即为点O1到平面BC1O的距离. 12345678910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 设n(x，y，z)为平面BC1O的法向量， 可取n(0,2，1). 点O1到平面BC1O的距离记为d， 12345678910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21.(12分)如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD， ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，点E为 棱PC的中点. (1)
19、求证：BEDC； 12345678910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 证明依题意，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系 (如图)，可得A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)， P(0,0,2).由E为棱PC的中点，得E(1,1,1)， (2)若F为棱PC上一点，满足BFAC，求平面FAB与平面ABP夹角的余 弦值. 12345678910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 设n1(x，y，z)为平面FAB的法向量， 12345678910 11 12 13 14 15 16 17 1
20、8 19 20 21 22 不妨令z1，可得n1(0，3,1)为平面FAB的一个法向量. 易知向量n2(0,1,0)为平面ABP的一个法向量， 12345678910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12345678910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22.(12分)在RtABC中，C90，AC4，BC2，E是AC的中点，F 是线段AB上一个动点， (01)，如图所示，沿BE将CEB翻 折至DEB的位置，使得平面DEB平面ABE. 证明在ABC中，C90，即ACBC，则BDDE，取BF的中点 N，连接CN交BE
21、于点M， 12345678910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 EF是ANC的中位线，EFCN. 在BEF中，N是BF的中点，M是BE的中点， 在RtBCE中，ECBC2， CMBE，则EFBE. 又平面DEB平面ABE，平面DEB平面ABEBE，EF平面ABE， EF平面DEB. 又BD平面BDE， EFBD. 而EFDEE，EF，DE平面DEF， BD平面DEF. 12345678910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12345678910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，建立如图所示 的空间直角坐标系. 则C(0,0,0)，A(4,0,0)，B(0,2,0)，E(2,0,0) 12345678910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 取BE的中点G，连接DG，则DGBE，而平面DEB平面ABC， 设平面ADE的法向量为n(x，y，z)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 设DF与平面ADE所成的角为，则 本课结束 更多精彩内容请登录：
