1、2.5.2圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系 学习目标1.了解圆与圆的位置关系.2.掌握圆与圆的位置关系的判断方法.3.能用圆与圆的 位置关系解决一些简单问题 导语 日食是一种天文现象，在民间称此现象为天狗食日日食只在月球与太阳呈现合的状态时发 生。日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食 我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的？ 前面我们运用直线的方程、圆的方程研究了直线与圆的位置关系，现在我们类比上述研究方 法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系 一、两圆位置关系的判断 1代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2y2D1xE1yF10(D21E214F
2、10)， C2：x2y2D2xE2yF20(D22E224F20)， 联立方程得 x2y2D1xE1yF10， x2y2D2xE2yF20， 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数2 组1 组0 组 两圆的公共点个数2 个1 个0 个 两圆的位置关系相交外切或内切外离或内含 2.几何法：若两圆的半径分别为 r1，r2，两圆连心线的长为 d，则两圆的位置关系如下： 位置关系外离外切相交内切内含 图示 d 与 r1， r2 的关系 dr1r2dr1r2 |r1r2| dr1 r2 d|r1r2|d0)， 圆 C2：x2y24ax2y4a20(a0)试求 a 为何值时，两圆 C1，C
3、2的位置关系为： (1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含 解圆 C1，C2的方程，经配方后可得 C1：(xa)2(y1)216， C2：(x2a)2(y1)21， 圆心 C1(a,1)，C2(2a,1)，半径 r14，r21. |C1C2| a2a2112a. (1)当|C1C2|r1r25，即 a5 时，两圆外切； 当|C1C2|r1r23，即 a3 时，两圆内切 (2)当 3|C1C2|5，即 3a5，即 a5 时，两圆外离 (4)当|C1C2|3，即 0a4， 所以圆 A 和圆 B 外离，因此它们的公切线有 4 条 二、相交弦及圆系方程问题 例 2已知圆 C1：x2y26x40
4、和圆 C2：x2y26y280. (1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长； (2)求经过两圆交点且圆心在直线 xy40 上的圆的方程 解(1)设两圆交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 A，B 两点坐标是方程组 x2y26x40， x2y26y280， 的解 ，得 xy40. A，B 两点的坐标都满足此方程， xy40 即为两圆公共弦所在直线的方程 又圆 C1的圆心(3,0)，r 13， C1到直线 AB 的距离 d|34| 2 2 2 ， |AB|2 r2d22131 25 2， 即两圆的公共弦长为 5 2. (2)方法一解方程组 x2y26x40， x2y26y280， 得两圆
5、的交点 A(1,3)，B(6，2) 设所求圆的圆心为(a，b)，因圆心在直线 xy40 上，故 ba4. 则 a12a432 a62a422， 解得 a1 2，故圆心为 1 2， 7 2 ，半径为 89 2 . 故圆的方程为 x1 2 2 y7 2 289 2 ， 即 x2y2x7y320. 方法二设所求圆的方程为 x2y26x4(x2y26y28)0(1)， 其圆心为 3 1， 3 1 ，代入 xy40， 解得7. 故所求圆的方程为 x2y2x7y320. 反思感悟(1)若圆 C1：x2y2D1xE1yF10 与圆 C2：x2y2D2xE2yF20 相交， 则两圆公共弦所在的直线方程为(D1
6、D2)x(E1E2)yF1F20. (2)公共弦长的求法 代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长 几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形， 根据勾股定理求解 (3)已知圆 C1：x2y2D1xE1yF10 与圆 C2：x2y2D2xE2yF20 相交，则过两圆 交点的圆的方程可设为 x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0(1) 跟踪训练 2圆心在直线 xy40 上，且经过圆 x2y24x60 与圆 x2y24y60 的交点的圆的方程为_ 答案(x3)2(y1)216(或 x2y26x2y60) 解析方法一由
7、x2y24x60， x2y24y60， 解得 x11， y11， x23， y23， 所以圆 x2y24x60 与圆 x2y24y60 的交点分别为 A(1， 1)， B(3,3)， 连接 AB， 则线段 AB 的垂直平分线的方程为 y1(x1) 由 y1x1， xy40， 解得 x3， y1， 所以所求圆的圆心坐标为(3，1)，半径为 3323124， 所以所求圆的方程为(x3)2(y1)216. 方法二同方法一求得 A(1，1)，B(3,3)， 设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2， 由 ab40， 1a21b2r2， 3a23b2r2， 解得 a3， b1， r216， 所以所求圆的
8、方程为(x3)2(y1)216. 方法三设所求圆的方程为 x2y24x6(x2y24y6)0，其中1，化简可得 x2 y2 4 1x 4 1y60，圆心坐标为 2 1， 2 1 . 又圆心 2 1， 2 1 在直线 xy40 上， 所以 2 1 2 140，解得 1 3， 所以所求圆的方程为 x2y26x2y60. 三、圆与圆的综合性问题 例 3求与圆 x2y22x0 外切且与直线 x 3y0 相切于点 M(3， 3)的圆的方程 解设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)， 由题知所求圆与圆 x2y22x0 外切， 则 a12b2r1. 又所求圆过点 M 的切线为直线 x 3y0， 故
9、b 3 a3 3. |a 3b| 2 r. 解由组成的方程组得 a4，b0，r2 或 a0，b4 3，r6. 故所求圆的方程为(x4)2y24 或 x2(y4 3)236. 延伸探究将本例变为“求与圆 x2y22x0 外切，圆心在 x 轴上，且过点(3，3)的圆 的方程”，如何求？ 解因为圆心在 x 轴上， 所以可设圆心坐标为(a,0)，设半径为 r， 则所求圆的方程为(xa)2y2r2， 又因为与圆 x2y22x0 外切，且过点(3， 3)， 所以 a1202r1， 3a2 32r2， 解得 a4， r2， 所以圆的方程为(x4)2y24. 反思感悟通过直线与圆，圆与圆的位置关系，建立数学模
10、型，利用方程思想，解决求圆的 方程问题 跟踪训练 3圆 O1的方程为 x2(y1)24，圆 O2的圆心为 O2(2,1) (1)若圆 O2与圆 O1外切，求圆 O2的方程； (2)若圆 O2与圆 O1交于 A，B 两点，且|AB|2 2，求圆 O2的方程 解(1)因为圆 O1的方程为 x2(y1)24， 所以圆心坐标为 O1(0，1)，半径为 2. 又因为圆 O2的圆心 O2(2,1)， 所以圆心距|O1O2| 2021122 2， 由圆 O2与圆 O1外切，得圆 O2的半径为 2 22， 所以圆 O2的方程为(x2)2(y1)2128 2. (2)因为圆 O2与圆 O1交于 A，B 两点，且
11、|AB|2 2， 所以圆心 O1到直线 AB 的距离为 22 22 2. 当圆心 O2到直线 AB 的距离为 2时，圆 O2的半径为 22 222. 此时，圆 O2的方程为(x2)2(y1)24. 当圆心 O2到直线 AB 的距离为 32时，圆 O2的半径为 3 22 22 20. 此时，圆 O2的方程为(x2)2(y1)220. 综上，圆 O2的方程为(x2)2(y1)24 或(x2)2(y1)220. 1知识清单： (1)两圆的位置关系 (2)两圆的公共弦 (3)圆系方程 (4)圆与圆的综合性问题 2方法归纳：几何法、代数法 3常见误区：将两圆内切和外切相混 1圆 O1：x2y22x0 和
12、圆 O2：x2y24y0 的位置关系是() A外离B相交 C外切D内切 答案B 解析把圆 O1和圆 O2的方程化为标准方程，得圆 O1：(x1)2y21，圆 O2：x2(y2)2 4，则 O1(1,0)，O2(0,2)，|O1O2| 102022 5r1r2，又 r2r10)的公共弦长为 2 3，则 a_. 答案1 解析将两圆的方程相减， 得相交弦所在的直线方程为 y1 a， 圆心(0,0)到直线的距离 d1 a 2 2 321， 所以 a1. 课时课时对点对点练练 1圆 C1：x2y24x8y50 与圆 C2：x2y24x4y10 的位置关系为() A相交B外切C内切D外离 答案C 解析由已
13、知，得 C1(2，4)，r15，C2(2，2)，r23，则 d|C1C2|2，所以 d|r1 r2|，所以两圆内切 2圆 x2y22x50 与圆 x2y22x4y40 的交点为 A，B，则线段 AB 的垂直平分 线的方程是() Axy10B2xy10 Cx2y10Dxy10 答案A 解析圆 x2y22x50 的圆心为 M(1,0)，圆 x2y22x4y40 的圆心为 N(1,2)， 两圆的相交弦 AB 的垂直平分线即为直线 MN，其方程为y0 x1 20 11，即 xy10. 3圆(x4)2y29 和圆 x2(y3)24 的公切线有() A1 条B2 条 C3 条D4 条 答案C 解析圆(x4
14、)2y29 的圆心为(4,0)，半径为 3， 圆 x2(y3)24 的圆心为(0,3)，半径为 2. 两圆的圆心距为 4232523，两圆相外切，故两圆的公切线的条数为 3. 4已知圆 C：x2y22xm0 与圆(x3)2(y3)236 内切，则实数 m 的值为() A0B120C0 或120D5 答案C 解析将圆 C：x2y22xm0 化为标准方程为(x1)2y21m，由两圆内切可得|6 1m|5，解得 m0 或120. 5圆 C1：(x1)2y24 与圆 C2：(x1)2(y3)29 的相交弦所在的直线为 l，则直线 l 被圆 O：x2y24 截得的弦长为() A. 13B4C.4 39
15、13 D.8 39 13 答案D 解析由圆 C1与圆 C2的方程相减得 l：2x3y20. 圆心 O(0,0)到 l 的距离 d2 13 13 ，圆 O 的半径 R2， 所以截得的弦长为 2 R2d224 4 13 8 39 13 . 6(多选)下列圆中与圆 C：x2y22x4y10 相切的是() A(x2)2(y2)29B(x2)2(y2)29 C(x2)2(y2)225D(x2)2(y2)249 答案BCD 解析由圆 C：x2y22x4y10，可知圆心 C 的坐标为(1,2)，半径 r2. A 项，圆心 C1(2，2)，半径 r13. |C1C| 17(r1r，r1r)， 两圆相交； B
16、项，圆心 C2(2，2)，半径 r23， |C2C|5rr2， 两圆外切，满足条件； C 项，圆心 C3(2,2)，半径 r35， |C3C|3r3r，两圆内切； D 项，圆心 C4(2，2)，半径 r47， |C4C|5r4r，两圆内切 7已知圆 C1：x2y24ax4a240 和圆 C2：x2y22byb210 只有一条公切线， 则实数 a，b 的关系是_ 答案4a2b21 解析圆 C1： x2y24ax4a240， 化为标准方程为(x2a)2y24， 圆心坐标为(2a,0)， 半径长为 2. 圆 C2：x2y22byb210，化为标准方程为 x2(yb)21. 圆心坐标为(0，b)，半径
17、长为 1. 由于两圆只有一条公切线，所以两圆相内切，所以 2a2b2211， 整理得 4a2b21. 8经过直线 xy10 与圆 x2y22 的交点，且过点(1,2)的圆的方程为_ 答案x2y23 4x 3 4y 11 4 0 解析由已知可设所求圆的方程为 x2y22(xy1)0，将(1,2)代入，可得3 4，故 所求圆的方程为 x2y23 4x 3 4y 11 4 0. 9已知两圆 C1：x2y24，C2：(x1)2(y2)2r2(r0)，直线 l：x2y0. (1)当圆 C1与圆 C2相交且公共弦长为 4 时，求 r 的值； (2)当 r1 时，求经过圆 C1与圆 C2的交点且和直线 l
18、相切的圆的方程 解(1)由圆 C1： x2y24， 知圆心 C1(0,0)， 半径 r12， 又由圆 C2： (x1)2(y2)2r2(r0)， 可得 x2y22x4y5r20，两式相减可得公共弦所在的直线方程为 2x4y9r20. 因为圆 C1与圆 C2相交且公共弦长为 4，此时相交弦过圆心 C1(0,0)，即 r29(r0)，解得 r 3. (2)设过圆 C1与圆 C2的圆系方程为(x1)2(y2)21(x2y24)0(1)，即(1)x2 (1)y22x4y4(1)0，所以 x 1 1 2 y 2 1 24 21 12，由圆心到直线 x 2y0 的距离等于圆的半径，可得| 1 1 4 1|
19、 5 421 |1| ，解得1，故所求圆的方程为 x2 y2x2y0. 10已知圆 C：x2y26x8y210. (1)若直线 l1过定点 A(1,1)，且与圆 C 相切，求 l1的方程； (2)若圆 D 的半径为 3，圆心在直线 l2：xy20 上，且与圆 C 外切，求圆 D 的方程 解(1)圆 C：x2y26x8y210 化为标准方程为(x3)2(y4)24， 所以圆 C 的圆心为(3,4)，半径为 2. 若直线 l1的斜率不存在，即直线为 x1，符合题意 若直线 l1的斜率存在，设直线 l1的方程为 y1k(x1) 即 kxyk10.由题意知，圆心(3,4)到已知直线 l1的距离等于半径
20、 2， 所以|3k4k1| k21 2，即|2k3| k212， 解得 k 5 12，所以直线方程为 5x12y70. 综上，所求 l1的方程为 x1 和 5x12y70. (2)依题意，设 D(a，a2) 又已知圆 C 的圆心为(3,4)，半径为 2， 由两圆外切，可知|CD|5， a32a2425， 解得 a1 或 a6. D(1,1)或 D(6,8)， 所求圆 D 的方程为(x1)2(y1)29 或(x6)2(y8)29. 11. 设两圆 C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆圆心的距离|C1C2|为() A4B4 2C8D8 2 答案C 解析两圆与两坐标轴都相切，且都经
21、过点(4,1)， 两圆圆心均在第一象限且都在直线 yx 上 设两圆的圆心分别为(a，a)，(b，b)， 则有(4a)2(1a)2a2，(4b)2(1b)2b2， 即 a，b 为方程(4x)2(1x)2x2的两个根， 整理得 x210 x170，ab10，ab17. (ab)2(ab)24ab10041732， |C1C2| ab2ab2 3228. 12(多选)圆 O1：x2y22x0 和圆 O2：x2y22x4y0 的交点为 A，B，则有() A公共弦 AB 所在直线的方程为 xy0 B线段 AB 中垂线的方程为 xy10 C公共弦 AB 的长为 2 2 DP 为圆 O1上一动点，则 P 到
22、直线 AB 距离的最大值为 2 2 1 答案ABD 解析对于 A，由圆 O1：x2y22x0 与圆 O2：x2y22x4y0 的交点为 A，B， 两式作差可得 4x4y0，即公共弦 AB 所在直线方程为 xy0，故 A 正确； 对于 B，圆 O1：x2y22x0 的圆心为(1,0)，又 kAB1，则线段 AB 中垂线的斜率为1， 即线段 AB 中垂线的方程为 y01(x1)，整理可得 xy10，故 B 正确； 对于 C，圆 O1：x2y22x0，圆心 O1(1,0)到直线 xy0 的距离 d |10| 1212 2 2 ，半 径 r1，所以|AB|21 2 2 2 2，故 C 不正确； 对于
23、D，P 为圆 O1上一动点，圆心 O1(1,0)到直线 xy0 的距离为 d 2 2 ，半径 r1，即 P 到直线 AB 距离的最大值为 2 2 1，故 D 正确 13在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C1: x2y28 与圆 C2: x2y22xya0 相交于 A，B 两点若圆 C1上存在点 P，使得ABP 为等腰直角三角形，则实数 a 的值组成的集合 为_ 答案 8，82 5，82 5 解析由题知，直线 AB 为 2xy8a0， 当PAB90或PBA90时， 设 C1到 AB 的距离为 d， 因为ABP 为等腰直角三角形， 所以 d1 2|AB|，即 d 8d 2， 所以 d2，所以
24、|8a| 2212d2， 解得 a82 5， 当APB90时，AB 经过圆心 C1， 则 8a0，即 a8. 14过两圆 x2y22y40 与 x2y24x2y0 的交点，且圆心在直线 l：2x4y10 上的圆的方程是_ 答案x2y23xy10 解析设圆的方程为 x2y24x2y(x2y22y4)0(1)， 则(1)x24x(1)y2(22)y40， 把圆心 2 1， 1 1 代入直线 l：2x4y10 的方程， 可得1 3， 所以所求圆的方程为 x2y23xy10. 15在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C：x22axy22ay2a210 上存在点 P 到点(0,1)的 距离为 2，则实数
25、a 的取值范围是_ 答案 1 17 2 ，0 1，1 17 2 解析因为圆 C：x22axy22ay2a210， 所以(xa)2(ya)21，其圆心 C(a，a)，半径 r1. 因为点 P 到点(0,1)的距离为 2， 所以 P 点的轨迹为 x2(y1)24. 因为 P 又在(xa)2(ya)21 上， 所以圆 C 与圆 x2(y1)24 有交点， 即 21 a2a1221， 所以1 17 2 a0 或 1a1 17 2 . 所以实数 a 的取值范围是 1 17 2 ，0 1，1 17 2. 16已知圆 M 与圆 N： x5 3 2 y5 3 2r2关于直线 yx 对称，且点 D 1 3， 5
26、 3 在圆 M 上 (1)判断圆 M 与圆 N 的位置关系； (2)设 P 为圆 M 上任意一点，A 1，5 3 ，B 1，5 3 ，P，A，B 三点不共线，PG 为APB 的平 分线，且交 AB 于 G，求证：PBG 与APG 的面积之比为定值 (1)解N 5 3， 5 3 关于直线 yx 的对称点为 M 5 3， 5 3 ， 所以圆 M 的半径 r |MD|2 5 3 1 3 2 5 3 5 3 24 3， 所以圆 M 的方程为 x5 3 2 y5 3 216 9 . 又|MN| 10 3 2 10 3 210 2 3 4 32， 故圆 M 与圆 N 相离 (2)证明设 P(x0，y0)， 则|PA|2(x01)2 y05 3 2(x01)216 9 x05 3 24 3x 0，|PB|2(x01)2 y05 3 2(x0 1)216 9 x05 3 216 3 x0， 所以 |PA| |PB| 21 4，即 |PA| |PB| 1 2. 又 PG 为APB 的平分线，故S BPG SAPG |PB| |PA|2 为定值
