1、再练一课再练一课(范围：范围：3.13.3) 一、单项选择题 1已知 A 为抛物线 C：y22px(p0)上一点，点 A 到 C 的焦点的距离为 12，到 y 轴的距离为 9，则 p 等于() A2B3C6D9 答案C 解析设抛物线的焦点为 F，由抛物线的定义知|AF|xAp 212，即 129 p 2，解得 p6. 2设抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，若 F 到直线 y 3x 的距离为 3，则 p 为() A2B4C2 3D4 3 答案B 解析依题意得，F p 2，0， 因为 F 到直线 y 3x 的距离为 3， 所以| 3p 2| 31 3， 所以|p|4，因为 p0，所以 p4.
2、 3已知双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的 2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双 曲线的标准方程为() A.x 2 4 y 2 4 1B.y 2 4 x 2 4 1 C.y 2 4 x 2 8 1D.x 2 8 y 2 4 1 答案B 解析由题意，得 a2， 2a2b 22c， a2b2c2， 解得 a2，b2.易知双曲线的焦点在 y 轴上， 所以双曲线的标准方程为y 2 4 x 2 4 1. 4 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与 短半轴长的乘积若椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1，F2均在 x 轴上，C 的面积为 2 3，过 点 F1的直
3、线交 C 于点 A，B，且ABF2的周长为 8.则 C 的标准方程为() A.x 2 4 y21B.x 2 3 y 2 4 1 C.x 2 4 y 2 3 1D.x 2 16 4y2 3 1 答案C 解析因为ABF2的周长为 8， 所以|AB|AF2|BF2|8|AF1|BF1|AF2|BF2|8(|AF1|AF2|)(|BF1|BF2|)8， 由椭圆的定义可知，|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a， 所以 2a2a8a2， 由题意可得 ab2 3， 解得 b 3， 因为椭圆的焦点在 x 轴上， 所以 C 的标准方程为x 2 4 y 2 3 1. 52020 年 3 月 9 日，我国
4、在西昌卫星发射中心用长征三号运载火箭，成功发射北斗系统第 54 颗导航卫星第 54 颗导航卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆设地球半径为 R， 若其近地点、远地点离地面的距离大约分别是 1 15R， 1 3R，则第 54 颗导航卫星运行轨道(椭圆) 的离心率是() A.2 5 B.1 5 C.2 3 D.1 9 答案D 解析如图，以运行轨道的中心为原点， 长轴所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系， 令地心 F2为椭圆的右焦点， 设标准方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)， 则地心 F2的坐标为(c,0)，其中 a2b2c2. 由题意，得 acR 1 15R，acR 1 3R， 解得
5、2a12 5 R,2c 4 15R，所以 e c a 1 9. 6已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的两条渐近线均和圆 C：x 2y26x50 相切，且双曲 线的右焦点为圆 C 的圆心，则该双曲线的方程为() A.x 2 5 y 2 4 1B.x 2 4 y 2 5 1 C.x 2 3 y 2 6 1D.x 2 6 y 2 3 1 答案A 解析双曲线的一条渐近线方程为 yb ax， 即 bxay0， x2y26x50 变形为(x3)2y24， 圆心为(3,0)，r2， |3b| a2b22， 3b2c，9(c2a2)4c2， c3，a25，b24， 双曲线方程为x 2 5 y
6、2 4 1. 二、多项选择题 7 设椭圆x 2 9 y 2 3 1 的右焦点为 F， 直线 ym(0m 3)与椭圆交于 A， B 两点(xAxB)， 则() A|AF|BF|为定值 BABF 的周长的取值范围是6,12 C当 m 3 2 时，ABF 为直角三角形 D当 m1 时，ABF 的面积为 6 答案ACD 解析设椭圆的左焦点为 F， 则|AF|BF|，|AF|BF|AF|AF|6 为定值，A 正确； ABF 的周长为|AB|AF|BF|， |AF|BF|为定值 6， |AB|的取值范围是(0,6)， ABF 的周长的取值范围是(6,12)，B 错误； 将 y 3 2 与椭圆方程联立， 可
7、解得 A 3 3 2 ， 3 2 ，B 3 3 2 ， 3 2 ，又F( 6，0)， AF BF 63 3 2 63 3 2 3 2 20， ABF 为直角三角形，C 正确； 将 y1 与椭圆方程联立，解得 A( 6，1)，B( 6，1)， SABF1 22 61 6，D 正确 8下列判断正确的是() A抛物线 y2x 与直线 xy 20 仅有一个公共点 B双曲线 x2y21 与直线 xy 20 仅有一个公共点 C若方程 x2 4t y2 t11 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 5 2t4 答案BD 解析对于 A，抛物线方程 y2x 与直线方程 xy 20 联立，消去 x，可得 y2y 2 0
8、，14 20，所以抛物线 y2x 与直线 xy 20 有两个公共点，故 A 错误； 对于 B，双曲线 x2y21 的渐近线方程为 yx，直线 xy 20 与渐近线 yx 平行， 故双曲线 x2y21 与直线 xy 20 仅有一个公共点，故 B 正确； 对于 C，若方程 x2 4t y2 t11 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 4tt10，解得 1t 5 2，故 C 错误； 对于 D，若方程 x2 4t y2 t11 表示焦点在 y 轴上的双曲线，则 4t0， 解得 t4，故 D 正 确 三、填空题 9 设抛物线 y24x 的焦点为 F， 准线为 l.则以 F 为圆心， 且与 l 相切的圆的方程
9、为_ 答案(x1)2y24 解析抛物线 y24x 中，2p4，p2，焦点 F(1,0)，准线 l 的方程为 x1， 以 F 为圆心，且与 l 相切的圆的方程为 (x1)2y222，即(x1)2y24. 10已知双曲线x 2 m y2 m61(m0)的虚轴长是实轴长的 2 倍，则双曲线的标准方程为 _ 答案 x2 2 y 2 8 1 解析由题意可得，a2m，b2m6， 则实轴长为 2 m，虚轴长为 2 m6， 由题意有 2 m22 m6， 解得 m2， 代入x 2 m y2 m61，可得双曲线方程为 x2 2 y 2 8 1. 11 设 P 是抛物线 y22x 上任意一点， 则点 P 到直线 x
10、y30 的距离的最小值为_， 点 P 的坐标为_ 答案 5 2 4 1 2，1 解析方法一设 P(x0，y0)是 y22x 上任意一点， 则点 P 到直线 xy30 的距离 d|x0y03| 2 | y20 2 y03| 2 |y01 25| 2 2 ， 当 y01 时，dmin5 2 4 ， 此时点 P 的坐标为 1 2，1. 方法二设与抛物线相切且与直线 xy30 平行的直线方程为 xym0(m3)， 由 xym0， y22x， 得 y22y2m0， 因为(2)242m0， 所以 m1 2. 所以平行直线的方程为 xy1 20， 此时点到直线的最短距离转化为两平行线之间的距离， 则 dmi
11、n| 31 2| 2 5 2 4 ，此时点 P 的坐标为 1 2，1. 12已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的焦距为 2c，右顶点为 A，抛物线 x 22py(p0)的焦点 为 F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 2c，且|AF|c，则双曲线的渐近线方程为 _ 答案yx 解析由已知|OA|a，|AF|c， |OF|p 2b， 把 yp 2b 代入双曲线方程 x2 a2 y2 b21，得 x 22a2， 所以直线 yp 2被双曲线截得的线段长为 2 2a， 从而 2 2a2c，c 2a， 所以 a2b22a2， 所以 ab，所以所求渐近线方程为 yx. 四、解答题 13已知
12、双曲线过点(3，2)，且与椭圆 4x29y236 有相同的焦点 (1)求双曲线的标准方程； (2)若点 M 在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|MF2|6 3，试判断MF1F2的形状 解(1)椭圆方程可化为x 2 9 y 2 4 1， 焦点在 x 轴上，且 c 94 5， 故设双曲线方程为x 2 a2 y2 b21(a0，b0)， 则有 9 a2 4 b21， a2b2c2， 解得 a23，b22. 所以双曲线的标准方程为x 2 3 y 2 2 1. (2)不妨设 M 点在右支上，则有|MF1|MF2|2 3 ， 又|MF1|MF2|6 3， 故解得|MF1|4 3，|MF2|2
13、3， 又|F1F2|2 5， 因此在MF1F2中，|MF1|边最长， 而 cos MF2F1|MF2| 2|F1F2|2|MF1|2 2|F1F2|MF2| 0)经过点 P(1,2)过点 Q(0，1)的直线 l 与抛物线 C 有两个不 同的交点 A，B，且直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N. (1)求直线 l 的斜率的取值范围； (2)设 O 为原点，QM QO ，QN QO ，求证：1 1 为定值 (1)解因为抛物线 y22px 经过点 P(1,2)， 所以 42p，解得 p2， 所以抛物线的方程为 y24x. 由题意可知直线 l 的斜率存在且不为 0， 设直线 l
14、的方程为 ykx1(k0) 由 y24x， ykx1， 得 k2x2(2k4)x10. 依题意得，(2k4)24k210， 解得 k0 或 0k1.又 PA，PB 与 y 轴相交， 故直线 l 不过点(1，2)从而 k3. 所以直线 l 斜率的取值范围是(，3)(3,0)(0,1) (2)证明设 A(x1，y1)，B(x2，y2) 由(1)知 x1x22k4 k2 ，x1x21 k2. 直线 PA 的方程为 y2y12 x11(x1) 令 x0，得点 M 的纵坐标为 yMy12 x11 2kx11 x11 2. 同理得点 N 的纵坐标为 yNkx21 x21 2. 由QM QO ，QN QO ， 得1yM，1yN. 所以1 1 1 1yM 1 1yN x11 k1x1 x21 k1x2 1 k1 2x1x2x1x2 x1x2 1 k1 2 k2 2k4 k2 1 k2 2. 所以1 1 为定值
