1、椭圆的标准方程椭圆的标准方程 (说课稿) 江苏省宿迁中学江苏省宿迁中学陆陆 威威 各位专家： 您好！我叫陆威，来自江苏省宿迁中学，今天我说课的课题是“椭圆的标准方程” ，下面 我从教材分析、教法设计、学法设计、学情分析、教学程序、板书设计和评价设计等七个方 面向各位阐述我对本节课的构思与设计。 一、教材分析一、教材分析 1 1、地位及作用、地位及作用 圆锥曲线是一个重要的几何模型，有许多几何性质，这些性质在日常生活、生产和科学 技术中有着广泛的应用。同时，圆锥曲线也是体现数形结合思想的重要素材。 推导椭圆的标准方程的方法对双曲线、抛物线方程的推导具有直接的类比作用，为学习 双曲线、抛物线内容提
2、供了基本模式和理论基础。因此本节课具有承前启后的作用，是本章 的重点内容。 2 2、教学内容与教材处理、教学内容与教材处理 椭圆的标准方程共两课时，第一课时所研究的是椭圆标准方程的建立及其简单运用，涉 及的数学方法有观察、比较、归纳、猜想、推理验证等，我将以课堂教学的组织者、引导者、 合作者的身份，组织学生动手实验、归纳猜想、推理验证，引导学生逐个突破难点，自主完 成问题，使学生通过各种数学活动，掌握各种数学基本技能，初步学会从数学角度去观察事 物和思考问题，产生学习数学的愿望和兴趣。 3 3、教学目标、教学目标 根据教学大纲和学生已有的认知基础,我将本节课的教学目标确定如下： 1.知识目标
3、建立直角坐标系，根据椭圆的定义建立椭圆的标准方程， 能根据已知条件求椭圆的标准方程， 进一步感受曲线方程的概念，了解建立曲线方程的基本方法，体会数形结合的数学思 想。 2.能力目标 让学生感知数学知识与实际生活的密切联系，培养解决实际问题的能力， 培养学生的观察能力、归纳能力、探索发现能力， 提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力。 3.情感目标 亲身经历椭圆标准方程的获得过程，感受数学美的熏陶， 通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨， 养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度。 4 4、重点难点、重点难点 基于以上分析，我
4、将本课的教学重点、难点确定为： 重点：感受建立曲线方程的基本过程，掌握椭圆的标准方程及其推导方法， 难点：椭圆的标准方程的推导。 二、教法设计二、教法设计 在教法上，主要采用探究性教学法和启发式教学法。以启发、引导为主，采用设疑的形 式，逐步让学生进行探究性的学习。探究性学习就是充分利用了青少年学生富有创造性和好 奇心，敢想敢为，对新事物具有浓厚的兴趣的特点。让学生根据教学目标的要求和题目中的 已知条件，自觉主动地创造性地去分析问题、讨论问题、解决问题。 三、学法设计三、学法设计 通过创设情境，充分调动学生已有的学习经验，让学生经历“观察猜想证明 应用”的过程，发现新的知识，把学生的潜意识状态
5、的好奇心变为自觉求知的创新意识。 又通过实际操作，使刚产生的数学知识得到完善，提高了学生动手动脑的能力和增强了研究 探索的综合素质。 四、四、学情分析学情分析 1.能力分析能力分析 学生已初步掌握用坐标法研究直线和圆的方程， 对含有两个根式方程的化简能力薄弱。 2.2.认知分析认知分析 学生已初步熟悉求曲线方程的基本步骤， 学生已经掌握直线和圆的方程及圆锥曲线的概念， 对曲线的方程的概念有一定的了解， 学生已经初步掌握研究直线和圆的基本方法。 3.情感分析情感分析 学生具有积极的学习态度，强烈的探究欲望，能主动参与研究。 五、教学程序五、教学程序 从建构主义的角度来看，数学学习是指学生自己建构
6、数学知识的活动，在数学活动过程 中，学生与教材及教师产生交互作用，形成了数学知识、技能和能力，发展了情感态度和思 维品质。基于这一理论，我把这一节课的教学程序分成六个步骤来进行，下面我向各位作详 细说明： 教学过程设计意图 1.1.创设问题情境创设问题情境： 情境 1 请同学们举出生活中椭圆形物体的实例 （展示一些椭圆形物体图片） 情 境 2宿 迁 中 学 校 园 内 一 些 椭 圆 形 小 花 坛 （展示自拍图片） 问题 1 施工时工人师傅是怎样砌建小花坛的？ （复习椭圆定义，动画演示） 问题 2 宿迁中学新校区绿化、美化工作正在进行，准 备在一块长 10 米、宽 6 米的矩形空地上建造一个
7、椭圆形花 园，要尽可能多地利用这块空地，请问：如何画这个花园的 边界线？ 问题情境的创设应有利于 激发学生的求知欲。 为了复习椭 圆的定义， 我设计如下两个学生 熟悉的情境： 通过情境 1，让学生感受到 椭圆的存在非常普遍。 小到日常 生活用品，大到建筑物的外形， 天体的运行轨道。 通过情境 2 和问题 1，让学 生主动思考如何画椭圆及椭圆 的定义。 通过问题 2，要求学生以小 6米 10米 （动画演示，书写课题） 组为单位进行实验、 观察、 归纳、 猜想、概括，激发学生探索的欲 望和浓厚的学习兴趣， 使学生的 主体地位得到体现。 2.2. 探求椭圆方程探求椭圆方程 回 顾 圆 的 方 程 的
8、 建 立 过 程 ， 首 先 是 做 什 么 ？ （提问学生） 如何选择适当的坐标系来建立椭圆的方程呢？ （学生回答） 在学生复习圆的方程的建 立过程的基础上， 让学生讨论思 考如何选择适当的坐标系来建 立椭圆的方程， 我想学生通过这 些活动能够建立几种常见的坐 标系，并列出相应的代数方程。 我认为这样有利于培养学生的 动手实验，分析比较，相互协作 等能力。 让学生体验到知识的产 生过程。 在不同建系下， 列出关于x， y的等式。 它们都含有两个根式， 如何化简这种方程？ （学生思考 回答，师生共同比较选择） x y OF1F2 M 图1 由于化简两个根式的方程 的方法特殊，难度较大，估计学
9、生容易想到直接平方， 这时可让 学生预测这样化简的难度， 从而 22 22 22 nn xyxym 2 222 xyxnym F1F2 M x y O 图 2 确定移项平方可以简化计算。 为 此， 我首先启发学生如何去掉根 号较好，让学生动手比较，最后 得出移项平方化简方程比较简 单， 这样有利于培养学生的分析 比较能力。 法一 以两定点 F1、F2所在直线为x轴，线段 F1F2的垂 直平分线为 y 轴，建立直角坐标系（如图 1） 设M(x,y)为椭圆上的任意一点，设 MF1+MF2=m，F1F2=n， 在比较如何化简方程简单 后，我选择放手让学生化简，让 （m n0） 则 1 n F -0
10、2 ，、 2 n F0 2 ， 由 MF1+MF2=m 得 22 22 22 nn xyxym 移项得 22 22 22 nn xymxy 平方得 222 2222 2 222 nnn xymmxyxy 整理得 2 22 22 2 n nxmmxy 再平方得 2 2 2222 244 2 n nx-mmxm y 再整理得 22222222 44m -nxm ymmn 所 以 22 222 44 1 xy mmn 即 22 222 1 222 xy mmn 令m=2a,n=2c即 MF1+MF2=2a, F1F2=2c,上面方程 化简可得 22 222 1 xy aac x y OF1F2 M
11、图1 学生体验化简方程的艰辛， 经受 锻炼，尝试成功，提高学生参与 教学过程的积极性。 移项后移项后 再平方再平方 为了让学生明白设常数 2a、 2c 的合理性。我选择首先设常 数 m,n，然后以 2a,2c 替换，其 目的是让学生体会到设 2a,2c 的合理性。 结合图形， 找出方程中a、 c 对应的线段 如图，OF2=c，MF2=a， a 与 c 可以看成 RtMOF2的 斜边和直角边那么 a2-c2就 是另一直角边的平方，因此我们令b2=a2-c2（b0）， 则方程变为 22 22 1 xy ab （ab0） x y OF1F2 M c a 这里我选择设这里我选择设b b 2 2=a =
12、a 2 2-c -c 2 2（ （b0b0） 其作用是其作用是 首先美化方程首先美化方程： 使方程使方程简洁简洁 美、对称美、和谐美，美、对称美、和谐美， 其次使其次使 b b 具有明显的几何具有明显的几何 意义意义： 原点与椭圆和原点与椭圆和 y y 轴的交点轴的交点 之间的线段长。之间的线段长。 由上述过程可知，椭圆上的点的坐标(x,y)都满足上面 这个方程；满足这个方程的点(x,y)都在已知的椭圆上。 所以，这个方程就是所求得椭圆的方程. 法 二以两 定点 F1、 F2所在直 线为 x 轴， F1为原 点，建立直角坐 标系（如图 2） 设M(x,y)为椭圆上的任意一点， 设 MF1+ M
13、F2=m, F1F2=n， mn0，则 1 F 0 0，、 2 F n 0， 由 MF1+MF2=m 得 2 222 xyxnym 类似第一种方法,移项后平方，整理可得 2222 2m x +y= m -n +2nx 再平方，整理可得 n 2222 2222 4(m-n )(x -)+4m y= (m-n )m 2 所以 2 4()2 4 2 1 222 - n x y mmn 即 2 ()2 2 1 222 - 222 n x y mmn 令 m=2a,n=2c 即 MF1+MF2=2a, F1F2=2c, 上 面 方 程 为 2 2 222 1 xcy aac F1F2 M x y O 图
14、 2 令b2=a2-c2（ b0 ），则方程变为 22 22 () 1(0) xcy ab ab 通过比较可知，方程 22 22 1 xy ab （ab0）更简洁。 把方程 22 22 1 xy ab 叫做椭圆的标准方程。 总结推导椭圆的标准方程的步骤： （1）建系建立适当适当的坐标系 （2）设点 （3）列式 （4）化简化简 曲线相对于曲线相对于 坐标轴有较坐标轴有较 多的对称性多的对称性 移项后移项后 再平方再平方 x y O F1F2 M 22 22 1 xy ab x y O F1F2 M 2 2 22 1 cxy a - b （5）证明 如果椭圆竖起放置， 怎样建系？ 建立如图所示的直
15、角坐标系， 类 似于刚才的推导过程可得椭圆的方程， 过程留给同学们课后 完成。 让学生猜想结论： 22 22 1 yx ab （ab0） ， 并说明理由。 教师从另一角度分析：得到方程 22 22 1 xy ab 的原始 等式为 2222 x+c +y +x-c +y =2a 而焦点在 y 轴上时，由 MF1+MF2=2a 得 2222 x + y+c+ x + y-c=2a 对比这两个等式，能发现什么结论？ 互换 x，y 因此，焦点在 y 轴上的椭圆的方程为 22 22 1 yx ab 由于这两种形式的方程都很简单， 因此我们把这两种方 程都叫椭圆的标准方程（其中 b 2=a2-c2） 3.
16、3. 标准方程比较标准方程比较 O F1 F2 x y M 通过这两种方法所得到的 椭圆方程的比较， 让学生在比较 中体会哪种方程更能反映椭圆 的对称美， 从而引出椭圆的标准 方程。 （1）相同点 方程中 x，y 表示椭圆上任意一点的坐标； 关于 x，y 的二元二次方程； 方程右边是常数 1，左边是平方和的形式； a 是椭圆上的点到两焦点距离和的一半， b 2a2-c2， c 是焦距的一半； a 2b2+c2，ab0, ac0,b 与 c 大小不定 焦点位置的判定： 焦点在较大分母对应的变量的坐标 轴上 （2）不同点 标 准 方 程 01 2 2 2 2 ba b y a x 1 2 2 2
17、2 b x a y 0 ba 图 形 在得到椭圆的标准方程之 后， 我和学生共同总结推倒椭圆 标准方程的步骤， 其目的是进一 步强化求曲线方程的一般步骤， 同时也让学生享受成功的喜悦。 对于焦点在 y 轴上的椭圆 的标准方程的建立， 我选择让学 生在比较、分析、猜想得到。 互换互换 x，y O F1 F2 x y M A1 x y OF1F2 M A1A2 B1 B2 A2 B1 B2 焦 点 坐 标 F F1 1(-c,0(-c,0） ，F F2 2(c,0(c,0）F F1 1(0,c(0,c） ， F F2 2(0,-c(0,-c） 与 坐 标 轴 交 点 A1（-a-a，0 0）A2（
18、a a， 0 0） B1（0 0，-b-b）B2（0 0， b b） A1（0 0，a a）A2（0 0， -a-a） B1（-b-b，0 0）B2（b b， 0 0） 4.4.初步运用知识初步运用知识 （1）若椭圆的焦距为 8，a=5，那么它的标准方程是 （ 22 1 259 xy 或或 22 1 259 yx ） （2）已知椭圆的方程为 22 1 94 yx ，则 a_，b _，c_，焦点坐标为，与坐标轴交点坐标 为，焦距等于；如果点 P 为该椭 圆上一点，则 PF1+PF2_（ F1，F2为焦点）. ( 总结： 定位 、 定量待定系数法 ) 在得到焦点在 y 轴上的椭 圆的标准方程过程中
19、， 考虑到学 生对这一标准方程可能有怀疑 的情绪， 我选择引导学生回到建 立方程的起始， 让学生对比分析 原来两个方程只是交换两个变 量。 5.5.课堂小结课堂小结 1.推导椭圆的标准方程 2. 椭圆两种标准方程的比较 3 椭圆的标准方程的基本求法及应用 4.自主探索，合作交流 （总结本课学习内容及学习方式） 为了让学生建构自己的知 识体系， 我让学生自己概括所学 的内容。 我认为这样既能培养了 学生的概括能力， 又能营造民主 和谐的师生关系。 6.6.课后作业布置课后作业布置 1.基础训练题：课本 P281. 2. 2.动手操作题：课本 P297（或用几何画板探求） 3.课后思考题：有关资料
20、显示：有关资料显示：“神舟六号神舟六号”飞船的运行轨道是飞船的运行轨道是 以地球的中心以地球的中心 F2位一个焦点的椭圆。已知它的近地点位一个焦点的椭圆。已知它的近地点 A(离地面最离地面最 近的点近的点)距地面距地面 200 公里，远地点公里，远地点 B (离地面最远的点离地面最远的点) 距地面距地面 347 为了进一步巩固椭圆的标 准方程，我布置如下作业： 公里公里，并且在并且在 F2、A、B 同一直线上同一直线上，地球半径约为地球半径约为 6371km。你能你能 计算出计算出“神舟六号神舟六号”飞船的轨道方程吗飞船的轨道方程吗? (精确到 0.01 km) （动画模拟演示） 六、板书设计
21、六、板书设计 我选择这样的板书设计，其目的是让学生清楚的认识到本节课的重要内容。 七、评价设计七、评价设计 1、在“椭圆的标准方程”的引入与推导中，充分利用教具演示，并运用“实验猜想 推导应用”的思想方法，逐步由感性到理性地认识定理。我认为这样安排符合学生 的认识规律，揭示了知识的发生、发展过程；也符合现代教育理论中的“要把学生学习知识 当作认识事物的过程来进行教学”的观点。 2、在教学的过程中始终本着“教师是课堂教学的组织者、引导者、合作者”的原则，让 2.2.1 椭圆的标准方程（一） 一、椭圆的两个标准方程 二、求曲线方程的基本步骤 三、初步尝试 学生通过实验、观察、思考、分析、推理、交流、合作、反思等过程建构新知识，并初步学 会从数学的角度去观察事物和思考问题，产生学习数学的浓厚兴趣。 3、在创设情境、推导椭圆的标准方程的过程中，培养学生的实验、归纳能力，在辨析几 种建系方法所得到方程的繁简，比较两个标准方程的特点过程中培养学生的分析、判别能力， 在运用标准方程中，培养学生解决实际问题的能力；另外，通过学法指导，引导学生思维向 更深更广发展，以培养学生良好的思维品质，并为以后进一步学习双曲线和抛物线作好辅垫。 以上是我对椭圆的标准方程的第一课时的构思与设计，欢迎各位专家批评指正。 谢谢！
