1、课时作业(六十九)离散型随机变量及其分布列 基础过关组 一、选择题 1抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为，则“5” 表示的试验结果是() A第一枚 6 点，第二枚 2 点 B第一枚 5 点，第二枚 1 点 C第一枚 1 点，第二枚 6 点 D第一枚 6 点，第二枚 1 点 解析第一枚的点数减去第二枚的点数不小于 5，即只能等于 5。故选 D。 答案D 2设离散型随机变量的分布列如下表所示： 10123 P 1 10 1 5 1 10 1 5 2 5 则下列各式正确的是() AP(1)4 5 CP(24)2 5 DP(0.5)0 解析P(1) 1 5 2 5 3
2、 5，B 错误；P(24)P(3) 2 5， C 正确；P(0，所以 a1，所以 E(X)01 21 1 2 1 2。故选 C。 答案C 5设离散型随机变量 X 的可能取值为 1,2,3,4，P(Xk)akb，X 的数学期望 E(X)3，则 a b() A 1 10 B0 C 1 10 D1 5 解析依题意可得 X 的分布列为 X1234 Pab2ab3ab4ab 则由题意得 ab2ab3ab4ab1，(ab)2(2ab)3(3ab)4(4ab)3，解得 a 1 10，b0，故 ab 1 10。故选 A。 答案A 6有 10 张卡片，其中 8 张标有数字 2,2 张标有数字 5，从中任意抽出
3、3 张卡片，设 3 张卡片上 的数字和为 X，则 X8 的概率是() A 4 15 B 7 15 C 8 15 D3 5 解析由题意知，X 的可能取值为 6,9,12，又 P(X9)C 2 8C12 C310 7 15，P(X12) C18C22 C310 1 15，所以 X8 的概率为 7 15 1 15 8 15。故选 C。 答案C 7一个袋中有 4 个红球，3 个黑球，小明从袋中随机取球，设取到一个红球得 2 分，取到一个 黑球得 1 分，从袋中任取 4 个球，则小明的得分大于 6 分的概率是() A13 35 B14 35 C18 35 D22 35 解析记得分为 X，则 X 的可能取
4、值为 5,6,7,8，因为 P(X7)C 3 4C13 C47 12 35，P(X8) C44C03 C47 1 35， 所以 P(X6)P(X7)P(X8)12 35 1 35 13 35。 答案A 8若 P(x2)1，P(x1)1，其中 x1x2，则 P(x1x2)等于() A(1)(1)B1() C1(1)D1(1) 解析由分布列的性质得 P(x1x2)P(x2)P(x1)1(1)(1)11( )。 答案B 9已知在 10 件产品中可能存在次品，从中抽取 2 件检查，其次品数为，已知 P(1)16 45， 且该产品的次品率不超过 40%，则这 10 件产品的次品率为() A10%B20%
5、C30%D40% 解析设 10 件产品中有 x 件次品，则 P(1)C 1 xC110 x C210 x10 x 45 16 45，所以 x2 或 x8。因 为次品率不超过 40%，所以 x2，所以次品率为 2 1020%。 答案B 二、填空题 10某射击选手射击环数的分布列为 X78910 P0.30.3ab 若射击不小于 9 环为优秀，其射击一次的优秀率为_。 解析由分布列的性质得 ab10.30.30.4，故射击一次的优秀率为 40%。 答案40% 11(2021吉林白山期末)随机变量 X 的分布列为 X246 Pabc 其中 a，b，c 成等差数列，且 c1 2ab，则 P(X2)_。
6、 解析由题意得 2bac， c1 2ab， abc1， 解得 a4 7， b1 3， c 2 21， 则 P(X2)4 7。 答案 4 7 12一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一个球，记下它的颜色，然后放回，再取一个 球，又记下它的颜色，则这两次共取出白球的个数的分布列为_。 解析的所有可能取值为 0,1,2。 因为 P(0)C 1 1C11 C12C12 1 4， P(1) C11C112 C12C12 1 2， P(2) C11C11 C12C12 1 4。所以的分布列为 012 P 1 4 1 2 1 4 答案 012 P 1 4 1 2 1 4 三、解答题 13有编号为 1,2,
7、3，n 的 n 个学生，入座编号为 1,2,3，n 的 n 个座位，每个学生规定 坐一个座位， 设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为 X， 已知 X2 时， 共有 6 种坐法。 (1)求 n 的值； (2)求随机变量 X 的分布列。 解(1)因为当 X2 时，有 C 2 n种坐法，所以 C2n6， 即nn1 2 6，n2n120， 解得 n4 或 n3(舍去)，所以 n4。 (2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为 X， 由题意知 X 的可能取值为 0,2,3,4， 所以 P(X0) 1 A44 1 24， P(X2)C 2 41 A44 6 24 1 4， P(X3)
8、C 3 42 A44 8 24 1 3， P(X4)1 1 24 1 4 1 3 3 8， 所以随机变量 X 的分布列为 X0234 P 1 24 1 4 1 3 3 8 14.(2021成都诊断性检测)某公司有 1 000 名员工，其中男性员工 400 名，采用分层抽样的方法 随机抽取 100 名员工进行 5G 手机购买意向的调查，将计划在今年购买 5G 手机的员工称为“追光 族”，计划在明年及明年以后才购买 5G 手机的员工称为“观望者”。调查结果显示抽取的这 100 名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有 20 人。 (1)完成下面 22 列联表， 并判断是否有 95%的把握认为
9、该公司员工属于“追光族”与“性别” 有关； 属于“追光族”属于“观望者”合计 女性员工20 男性员工20 合计100 (2)已知被抽取的这 100 名员工中有 10 名是人事部的员工，这 10 名中有 3 名属于“追光族”， 现从这 10 名中随机抽取 3 名，记被抽取的 3 名中属于“追光族”的人数为随机变量 X，求 X 的分布 列及数学期望。 附：K2 nadbc2 abcdacbd，其中 nabcd。 P(K2k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 解(1)由题意得 22 列联表
10、为 属于“追光族”属于“观望者”合计 女性员工204060 男性员工202040 合计4060100 所以 K210020204020 2 60404060 25 9 2.7783.841， 所以没有 95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关。 (2)由题意得随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3。 P(X0)C 0 3C37 C310 35 120 7 24， P(X1)C 1 3C27 C310 63 120 21 40， P(X2)C 2 3C17 C310 21 120 7 40， P(X3)C 3 3C07 C310 1 120。 所以 X 的分布列为 X012
11、3 P 7 24 21 40 7 40 1 120 所以 E(X)0 7 241 21 402 7 403 1 120 9 10。 素养提升组 15某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测试家长 对小孩饮食习惯的了解程度。在每一轮游戏中，主持人给出 A，B，C，D 四种食物，要求小孩根据 自己的喜爱程度对其排序，然后由家长猜测小孩的排序结果。设小孩对四种食物排出的序号依次为 xA，xB，xC，xD，家长猜测的序号依次为 yA，yB，yC，yD，其中 xA，xB，xC，xD和 yA，yB，yC，yD都 是 1,2,3,4 四个数字的一种排列。 定义随机变量 X(x
12、AyA)2(xByB)2(xCyC)2(xDyD)2，用 X 来衡量家长对小孩饮食习惯 的了解程度。 (1)若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解。 求他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率； 求 X 的分布列(简要说明方法，不用写出详细计算过程)； (2)若有一组小孩和家长进行了三轮游戏，三轮的结果都满足 X4，请判断这位家长对小孩饮食 习惯是否了解。说明理由。 解(1)若家长对小孩的饮食习惯完全不了解，则家长对小孩的排序是随意猜测的，先考虑小 孩的排序 xAxBxCxD为 1234 的情况，家长的排序有 A4424 种等可能结果， 其中满足“家长的排序与小孩排序对应位置的
13、数字完全不同”的情况有 9 种，分别为： 2143,2341,2413,3142,3412,3421,4123,4312,4321， 所以家长的排序与小孩排序对应位置的数字完全不同的概率 P 9 24 3 8。 若小孩对四种食物的排序是其他情况，只需将角标 A，B，C，D 按照小孩的排序调整即可，其 实这样处理后与第一种情况的计算结果是一致的， 所以他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率为3 8。 根据的分析，同样只考虑小孩排序为 1234 的情况，此时家长的排序一共有 24 种情况。 列出所有情况，分别计算每种情况下的 X 的值。 X 的分布列如下表： X02468101214161820 P 1 24 1 8 1 24 1 6 1 12 1 12 1 12 1 6 1 24 1 8 1 24 (2)这位家长对小孩的饮食习惯比较了解。 理由如下： 假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，由(1)可知，在一轮游戏中，P(X4)P(X0)P(X2) 1 6。 三轮游戏结果都满足“X4”的概率为 1 6 3 1 216 5 1 000， 这个结果发生的可能性很小， 所以这位家长对小孩饮食习惯比较了解。
