1、课时作业(三十六)数列求和 基础过关组 一、单项选择题 1数列12n 1的前 n 项和为( ) A12nB22n Cn2n1Dn22n 答案C 2数列(1)n(2n1)的前 2 022 项和 S2 022等于() A2 022B2 022 C2 021D2 021 解析S2 0221357(22 0211)(22 0221)2 022。故选 B。 答案B 3已知数列an的通项公式是 an2 n1 2n ，其前 n 项和 Sn321 64 ，则项数 n 等于() A13B10 C9D6 解析因为 an2 n1 2n 1 1 2n， 所以 S nn 1 2 1 22 1 2nn1 1 2n。 而
2、321 64 5 1 64， 所以 n1 1 2n 5 1 64。所以 n6。 答案D 4在数列an中，已知对任意 nN*，a1a2a3an3n1，则 a21a22a23a 2 n等于() A(3n1)2B1 2(9 n1) C9n1D1 4(3 n1) 解析因为 a1a2an3n1，所以 a1a2an13n 11(n2)。则当 n2 时，an23n1。 当 n1 时，a1312，适合上式，所以 an23n 1(nN*)。所以数列a2 n是首项为 4，公比为 9 的等比数 列，a21a22a2n419 n 19 1 2(9 n1)。故选 B。 答案B 5(2021浙江绍兴一中模拟)已知在数列a
3、n中，a11，an1ann1，则数列 an n 的前 n 项和为() An 25n 2 Bn 25n 4 Cn 23n 2 Dn 23n 4 解析由 an1ann1， 得 an1ann1， 所以 an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1n(n 1)21nn1 2 ，故an n n1 2 ，故数列 an n 的前 n 项和为1 2(23n1) nn3 4 n 23n 4 。故选 D。 答案D 6(2021武昌区调研考试)已知数列an的前 n 项和 Sn3 2n 21 2n，设 b n 1 anan1，T n为数列bn的前 n 项 和。若对任意的 nN*，不等式Tn9n3 恒成立，则实数
4、的取值范围为() A(，48)B(，36) C(，16)D(16，) 解析因为数列an的前 n 项和 Sn3 2n 21 2n， 所以 S n13 2(n1) 21 2(n1)(n2)， 所以 a n3n2(n2)， 经验证 n1 时也满足此式，所以 an3n2，an13n1，因为 bn 1 anan1，所以 b n 1 3n23n1 1 3 1 3n2 1 3n1 ，所以 Tn1 3 1 1 1 4 1 4 1 7 1 3n2 1 3n1 1 3 1 1 3n1 n 3n1，因为对任意的 nN *， 不等式Tn9n3 恒成立，所以对任意的 nN*，不等式 n 3n19n3 恒成立，所以 33
5、n12 n 对任意的 n N*恒成立，因为 y33x1 2 x 3 9x1 x6在1，)上单调递增，所以当 x1 时，y33x1 2 x 48，所 以0，bnan，当 n5 时，an0，bnan，所 以 T4S41044224，T30S5a6a7a302S5S302(10552)(1030302)650。 答案24650 四、解答题 12已知数列an，a14，(n1)an1nan4(n1)(nN*)。 (1)求数列an的通项公式； (2)若 bn 1 anan1，求数列b n的前 n 项和 Tn。 解(1)由(n1)an1nan4(n1)(nN*)， 可得 2a2a18,3a32a212,4a
6、43a316，nan(n1)an14n(n2)， 累加得 nana18124n， 所以 nan48124n44nn 2 2n(n1)， 所以 an2n2(n2)， 因为 a14 也适合上式，所以 an2n2(nN*)。 (2)bn 1 anan1 1 2n22n4 1 4 1 n1 1 n2 ， 所以 Tn1 4 1 2 1 3 1 3 1 4 1 n1 1 n2 1 4 1 2 1 n2 n 8n16。 13(2020全国卷)设数列an满足 a13，an13an4n。 (1)计算 a2，a3，猜想an的通项公式并加以证明； (2)求数列2nan的前 n 项和 Sn。 解(1)a25，a37。
7、猜想 an2n1。 证明如下： 当 n1,2,3 时，显然成立。 假设 nk 时，ak2k1(kN*)成立， 当 nk1 时， ak13ak4k3(2k1)4k 2k32(k1)1， 所以当 nk1 时，等式成立， 综上，可知 an2n1 猜想成立。 (2)由(1)得 2nan(2n1)2n，所以 Sn32522723(2n1)2n， 从而 2Sn322523724(2n1)2n 1 。 得Sn3222222322n(2n1)2n 1。 所以 Sn(2n1)2n 12。 素养提升组 14(2021江西省红色七校联考)已知数列an中，an0，Sn是它的前 n 项和，a13，且 S2n3n2anS
8、2n1， n2。 (1)求证：数列anan1为等差数列； (2)求an的前 n 项和 Sn。 解(1)证明：当 n2 时，因为 S2n3n2anS2n1， 所以(SnSn1)(SnSn1)3n2an， 又 an0，所以 SnSn13n2， Sn1Sn3(n1)2， 两式对应相减得 anan13(2n1)， 所以(anan1)(an1an)6n3(6n3)6， 又 n2 时，(3a2)212a29， 故 a26，同理 a39， 所以(a2a3)(a1a2)69(36)6， 所以数列anan1为等差数列。 (2)当 n 为偶数时， Sn(a1a2)(a3a4)(an1an) 337(2n1)3 n 232n1 2 3 2(n 2n)。 当 n 为奇数时， Sna1(a2a3)(an1an) 3359(2n1) 33 n1 2 52n1 2 3 2(n 2n2)3 3 2(n 2n)。 综上，Sn3 2(n 2n)。 15已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 2(Sn32 n)an15。 (1)证明：数列3n 1an是等差数列； (2)令 bn 8n10 33n 1anan 1 ，求数列bn的前 n 项和 Tn，并证明2 7T n0，所以 T n1 3， 故2 7T n1 3。
