1、课时作业(五十七)曲线与方程 基础过关组 一、选择题 1已知点 A(2,0)，B(3,0)，动点 P(x，y)满足PA PB x2，则点 P 的轨迹是() A圆B椭圆 C双曲线D抛物线 解析PA (2x，y)，PB (3x，y)，因为PA PB x2，所以(2x)(3x)y2x2，即 y2x 6，故点 P 的轨迹是抛物线。 答案D 2到点 F(0,4)的距离比到直线 y5 的距离小 1 的动点 M 的轨迹方程为() Ay16x2By16x2 Cx216yDx216y 解析由条件知，动点 M 到 F(0,4)的距离与到直线 y4 的距离相等，所以点 M 的轨迹是以 F(0,4)为 焦点，直线 y
2、4 为准线的抛物线，其标准方程为 x216y。 答案C 3(2021沈阳东北育才学校模拟) x2y 22 x2y 222 表示的曲线方程为() Ax2y21(x1)Bx2y21(x1) Cy2x21(y1)Dy2x21(y1) 解析x2y 22可看作动点(x， y)到点(0， 2)的距离， x2y 22可看作动点(x， y)到点(0， 2) 的距离，则 x2y 22 x2y 222 表示动点(x，y)到点(0， 2)和点(0， 2)的距离之差为 2，符 合双曲线的定义，且双曲线的焦点在 y 轴上，又动点到点(0， 2)的距离大于到点(0， 2)的距离，所以动 点(x，y)的轨迹为双曲线的下半支
3、，又 c 2，a1，所以 b2c2a21，故曲线方程为 y2x21(y1)。 答案C 4已知两定点 A(2,0)，B(1,0)，如果动点 P 满足|PA|2|PB|，则动点 P 的轨迹是() A直线B圆 C椭圆D双曲线 解析设 P(x，y)，则 x22y22 x12y2，整理得 x2y24x0，又 D2E24F160，所 以动点 P 的轨迹是圆。故选 B。 答案B 5如图所示，已知 F1，F2是椭圆：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左，右焦点，P 是椭圆上任意一点，过 F 2作 F1PF2的外角的角平分线的垂线，垂足为 Q，则点 Q 的轨迹为() A直线B圆 C椭圆D双曲线 解析延长 F
4、2Q，与 F1P 的延长线交于点 M，连接 OQ。因为 PQ 是F1PF2的外角的角平分线，且 PQ F2M，所以在PF2M 中，|PF2|PM|，且 Q 为线段 F2M 的中点。又 O 为线段 F1F2的中点，由三角形的 中位线定理，得|OQ|1 2|F 1M|1 2(|PF 1|PF2|)。根据椭圆的定义，得|PF1|PF2|2a，所以|OQ|a，所以点 Q 的轨迹为以原点为圆心，半径为 a 的圆。故选 B。 答案B 6设圆(x1)2y225 的圆心为 C，A(1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点。线段 AQ 的垂直平分线 与 CQ 的连线交于点 M，则 M 的轨迹方程为() A4x
5、2 21 4y 2 25 1B4x 2 21 4y 2 25 1 C4x 2 25 4y 2 21 1D4x 2 25 4y 2 21 1 解析因为 M 为 AQ 垂直平分线上一点，则|AM|MQ|，所以|MC|MA|MC|MQ|CQ|5，故 M 的轨迹为以点 C，A 为焦点的椭圆，所以 a5 2，c1，则 b 2a2c221 4 ，所以椭圆的方程为4x 2 25 4y 2 21 1。 故选 D。 答案D 7双曲线 M：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)实轴的两个顶点为 A，B，点 P 为双曲线 M 上除 A，B 外的一个动 点，若 QAPA 且 QBPB，则动点 Q 的运动轨迹为()
6、A圆B椭圆 C双曲线D抛物线 解析A(a,0)，B(a,0)，设 Q(x，y)，P(x0，y0)，kAP y0 x0a，k BP y0 x0a，k AQ y xa，k BQ y xa，由 QAPA 且 QBPB，得 kAPkAQ y0 x0a y xa1，k BPkBQ y0 x0a y xa1。两式相乘即得轨迹为双曲线。 故选 C。 答案C 二、填空题 8 已知动圆 Q 过定点 A(2,0)且 y 轴被圆截得的弦 MN 的长为 4， 则动圆圆心 Q 的轨迹方程为_。 解析设 Q(x， y)。 因为动圆 Q 过定点 A(2,0)且 y 轴被圆截得的弦 MN 的长为 4， 所以 |MN| 2 2
7、|x|2|AQ|2， 所以|x|222(x2)2y2，整理得 y24x。所以动圆圆心 Q 的轨迹方程是 y24x。 答案y24x 9设 P 为椭圆 C：x 2 7 y 2 3 1 上一动点，F1，F2分别为左、右焦点，延长 F1P 至点 Q，使得|PQ|PF2|， 则动点 Q 的轨迹方程是_。 解析由题易知 a 7，c2，因为|PF1|PF2|2a2 7，|PQ|PF2|，所以|PF1|PQ|F1Q|2 7， 所以点 Q 的轨迹是以 F1(2,0)为圆心，27为半径的圆。故圆的方程为(x2)2y228。 答案(x2)2y228 10 已知 A(2,0)， B(2,0)， 斜率为 k 的直线 l
8、 上存在不同的两点 M， N 满足|MA|MB|2 3， |NA|NB| 2 3，且线段 MN 的中点为(6,1)，则 k 的值为_。 解析解法一：因为|MA|MB|2 3，|NA|NB|2 3，由双曲线的定义知，点 M，N 在以 A，B 为 焦点的双曲线的右支上，且 c2，a 3，所以 b1，所以该双曲线的方程为x 2 3 y21。设 M(x1，y1)，N(x2， y2)， 则 x1x212， y1y22。 设直线 l 的方程为 ykxm， 代入双曲线的方程， 消去 y， 得(13k2)x26mkx 3m230，所以 x1x2 6mk 13k212 ，y1y2kx1x2)2m12k2m2，由
9、解得 k2， 经检验，符合题意。 解法二：M，N 在双曲线x 2 3 y21 上， 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，得 x21 3 y211， x22 3 y221， 得x 2 1x22 3 y21y22， 即x1x2x1x2 3 (y1y2)(y1y2)。 因为 x1x212， y1y22， 所以 4(x1x2)2(y1y2)， 所以y1y2 x1x22，即 k2。 答案2 三、解答题 11已知动点 P(x，y)与两定点 M(1,0)，N(1,0)连线的斜率之积等于常数(0)。 (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程； (2)讨论轨迹 C 的形状。 解(1)由题设知直线 PM 与 PN
10、 的斜率存在且均不为零，所以 kPMkPN y x1 y x1。 整理得 x2y 2 1(0，x1)。 (2)当0 时，轨迹 C 为中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线(除去顶点)； 当10 时，轨迹 C 为中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆(除去长轴两个端点)； 当1 时，轨迹 C 为以原点为圆心，1 为半径的圆除去点(1,0)，(1,0)； 当0，得 k21 5，设 A(x 1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2 24k2 14k2，所以 y 1 y2k(x13)k(x23)k(x1x2)6k 24k3 14k26k 6k 14k2。因为四边形 OAEB 为平行四边形，所以 OE OA
11、OB(x1x2，y1y2) 24k2 14k2， 6k 14k2，又 OE(x，y)，所以 x 24k2 14k2， y 6k 14k2， 消去 k 得，x24y2 6x0，因为 k21 5，所以 0 x 8 3。所以顶点 E 的轨迹方程为 x 24y26x0 0 x8 3 。 素养提升组 14. 如图，斜线段 AB 与平面所成的角为 60，B 为斜足，平面上的动点 P 满足PAB30，则点 P 的轨迹是() A直线B抛物线 C椭圆D双曲线的一支 解析母线与中轴线夹角为 30，然后用平面去截，使直线 AB 与平面的夹角为 60，则截面图形为 P 的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，P 的轨迹为椭
12、圆。故选 C。 答案C 15若曲线 C 上存在点 M，使 M 到平面内两点 A(5,0)，B(5,0)距离之差的绝对值为 8，则称曲线 C 为 “好曲线”。以下曲线不是“好曲线”的是() Axy5Bx2y29 C x2 25 y2 9 1Dx216y 解析因为 M 到平面内两点 A(5，0)，B(5，0)距离之差的绝对值为 8，所以 M 的轨迹是以A5，0)， B(5,0)为焦点的双曲线， 方程为 x2 16 y2 9 1。 A 项， 直线 xy5 过点(5,0)， 故直线与 M 的轨迹有交点， 是“好 曲线”；B 项，x2y29 的圆心为(0,0)，半径为 3，与 M 的轨迹没有交点，不是“好曲线”；C 项，x 2 25 y2 9 1 的右顶点为(5,0)，故椭圆 x2 25 y2 9 1 与 M 的轨迹有交点，是“好曲线”；D 项，把 x216y 代入 x2 16 y2 9 1，可得 yy 2 9 1，即 y29y90，所以 y3，曲线 x216y 是“好曲线”。 答案B
