1、空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算 （4545 分钟分钟100100 分）分） 一、选择题一、选择题( (每小题每小题 6 6 分分, ,共共 3030 分分) ) 1.若 a,b 均为非零向量,则 ab=|a|b|是 a 与 b 共线的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 2.已知空间向量 a,b 满足 ab=0,|a|=1,|b|=2,则|2a-b|= () A.0B.2C.4D.8 3.(2013天水高二检测)已知四边形 ABCD 满足:0,0, 0,0,则该四边形为() A.平行四边形B.梯形 C.平面四边形D.空间四边形 4.如图,在
2、大小为 45的二面角 A-EF-D 中,四边形 ABFE,CDEF 都是边长为1 的正 方形,则 B,D 两点间的距离是() A.B.C.1D. 5.(2013杭州高二检测)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,AB=BC=AA1,ABC= 90,点 E,F 分别是棱 AB,BB1的中点,则直线 EF 和 BC1所成的角是() A.45B.60C.90D.120 二、填空题二、填空题( (每小题每小题 8 8 分分, ,共共 2424 分分) ) 6.(2013安阳高二检测)已知向量 a 与 b 的夹角是 120,且|a|=|b|=4,则 b(2a+b)=. 7.如图所示,在几何体 A-B
3、CD 中,AB平面 BCD,BCCD,且 AB=BC=1,CD=2,点 E 为 CD 的中点,则 AE 的长为. 8.如图BAC=90,等腰直角三角形 ABC 所在的平面与正方形 ABDE 所在的平面 互相垂直,则异面直线 AD 与 BC 所成角的大小是. 三、解答题三、解答题(9(9 题题,10,10 题题 1414 分分,11,11 题题 1818 分分) ) 9.如图所示,直三棱柱 ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,BCA=90, 棱 AA1=2,M,N 分别是 A1B1,A1A 的中点. (1)求的长. (2)求 cos的值. (3)求证:A1BC1M. 10.(2013 济南高
4、二检测)如图,PA 垂直于矩形 ABCD 所在 的平面,M,N 分别是 AB,PC 的中点, (1)求证:MNCD. (2)若PDA=45,求证:MN平面 PCD. 11.(能力挑战题)如图所示,矩形 ABCD 中,AB=1,BC=a, PA平面 ABCD(点 P 位于平面 ABCD 上方),问 BC 边上 是否存在点 Q,使? 答案解析答案解析 1.【解析】选 A.ab=|a|b|cos=|a|b|cos=1=0,即 a,b 同向,故是充分条件;当 a 与 b 反向时,不能成立,不是必要条件. 2.【解析】选 B.|2a-b|= = =2,故选 B. 3.【解析】选 D.由题意知,0,0,0
5、,0,即四边 形的四个内角均为钝角,所以该四边形为空间四边形. 4.【解析】选 D.=+ =(+) 2 =+2(+) 由题意知,|=|=|=1, =|cos135 =11(-)=-, =0, 2 2=3+2(- )=3-, BD=. 5.【解析】选 B.设=a,=b,=c, |a|=|c|=1,则|b|=, =+=+= a+ c, =+=-+ =-a+b+c, =( a+ c)(-a+b+c) =- a 2+ ab+ ac- ac+ bc+ c2 =- |a| 2+ ab+ bc+ |c|2 =- + ab+0+ = ab. 由题意知,=45, ab=|a|b|cos=1cos45=1, =
6、1= , =, cos= = , cos=60, EF 与 BC1所成的角为 60. 6.【解析】b(2a+b)=2ab+b 2=2|a|b|cos120+|b|2=244(- )+42=0. 答案:0 7.【解析】=(+) 2, =| 2+| | 2+| | 2+2( +), 由题意知,|=|=1=|, 且=0. =3, AE 的长为. 答案: 【举一反三】若将题条件中“BCCD”改为“BCD=120”,其他条件不变,结 果如何? 【解析】由本题解答知, =| 2+| | 2+| | 2+2( +), |=|=1=|, =0, =|cos =11cos60= , =3+2 =4, 故 AE
7、的长是 2. 答案:2 8.【解析】设正方形 ABDE 的边长为 1, =+,=-, =(+)(-) =-+-, =0-1+0-0=-1, |= = =, |= = =, cos=- , =120,故 AD 与 BC 所成角为 60. 答案:60 9.【解析】(1)由题可知,BA=,BAAN, =(+) 2 =+2+ =() 2+20+12=3, BN=.即的长为. (2)=+,=+, =(+)(+) =+ =|cos135+0+0+ =1(-)+2 2=3, |= =, |= =, cos= =. (3)=+, = (+), = (+)(+) = (+) 由题意知,=0, =|cos =1c
8、os135=-1, =|cos =1cos45=1, = (-1+1)=0, ,即 A1BC1M. 10.【证明】(1)设=a,=b,=c, 则=+ =+- =+- (+) =+- = (+)= (b+c), = (b+c)(-a) =- (ab+ac), 四边形 ABCD 是矩形,PA平面 ABCD, ab,ac,ab=ac=0, =0, ,故 MNCD. (2)由(1)知,MNCD,= (b+c), =-=b-c, = (b+c)(b-c) = (|b| 2-|c|2), PA平面 ABCD,PAAD, 又PDA=45, PA=AD,|b|=|c|, =0,MNPD, CD,PD平面 PC
9、D,且 CDPD=D, MN平面 PCD. 【拓展提升】巧用数量积证明垂直问题 垂直问题有线线垂直、线面垂直、面面垂直三类问题,这三类问题通常会转化为 线线垂直问题,证明线线垂直问题又转化为向量的数量积为 0,具体方法是: (1)先确定两个向量为两直线的方向向量. (2)用已知向量(通常是三个已知向量,其模及其夹角已知)表示方向向量. (3)计算两个方向向量的数量积,通过线性运算、化简得出其数量积为 0,得出两 个方向向量垂直. (4)把向量垂直的结论转化为两直线垂直. 11.【解题指南】由得 PQQD,在平面 ABCD 内,点 Q 在以 AD 为直径的圆 上,此时需讨论 AD 与 AB 的大
10、小关系,若此圆与 BC 相切或相交,则 BC 边上存在点 Q,否则不存在. 【解析】假设存在点 Q(Q 点在边 BC 上),使,即 PQQD,连接 AQ. PA面 ABCD,PAQD. 又=+且, =0,即+=0. 又由=0,=0, ,AQD=90, 即点 Q 在以边 AD 为直径的圆上,圆的半径为 . 又AB=1,由图知, 当 =1,即 a=2 时,该圆与边 BC 相切,存在 1 个点 Q 满足题意; 当 1,即 a2 时,该圆与边 BC 相交,存在 2 个点 Q 满足题意; 当 1,即 a2 时,该圆与边 BC 相离,不存在点 Q 满足题意. 综上所述,当 a2 时,存在点 Q;当 0a2 时,不存在点 Q. 关闭关闭 WordWord 文档返回原板块文档返回原板块
