1、课时作业(五十六)抛物线 基础过关组 一、单项选择题 1抛物线 y1 4x 2的准线方程为( ) Ay1By1 Cx1Dx 1 16 解析抛物线 y1 4x 2的标准方程为 x24y，则 p2，p 21，所以抛物线 y 1 4x 2的准线方程为 y1。 故选 A。 答案A 2已知点(2,3)与抛物线 y22px(p0)的焦点的距离是 5，则 p 的值为() A4B3 C2D1 解析y22px(p0)的焦点为 p 2，0，则 p 22 20325，解得 p4 或 p12(舍去)。故选 A。 答案A 3若抛物线 y28x 上一点 P 到其焦点的距离为 10，则点 P 的坐标为() A(8,8)B(
2、8，8) C(8，8)D(8，8) 解析设 P(xP，yP)，因为点 P 到焦点的距离等于它到准线 x2 的距离，所以 xP8，则 yP8，所 以点 P 的坐标为(8，8)。故选 C。 答案C 4(2020全国卷)设 O 为坐标原点，直线 x2 与抛物线 C：y22px(p0)交于 D，E 两点，若 OD OE，则 C 的焦点坐标为() A 1 4，0B 1 2，0 C(1,0)D(2,0) 解析将直线方程与抛物线方程联立，可得 y2 p，不妨设 D(2，2 p)，E(2，2 p)，由 ODOE， 可得OD OE 44p0，解得 p1，所以抛物线 C 的方程为 y22x，其焦点坐标为 1 2，
3、0。 答案B 5过抛物线 x24y 的焦点 F 作直线，交抛物线于 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若 y1y26，则|P1P2| () A5B6 C8D10 解析过 P1作 P1M准线 l，垂足为 M，过 P2作 P2N准线 l，垂足为 N，由抛物线定义知|P1F|P1M| y11，|P2F|P2N|y21，所以|P1P2|P1F|P2F|y1y228。故选 C。 答案C 6已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，准线为 l，l 与 x 轴的交点为 P，点 A 在抛物线 C 上，过点 A 作 AAl，垂足为 A。若四边形 AAPF 的面积为 14，且 cosFAA3 5，
4、则抛物线 C 的方程为( ) Ay28xBy24x Cy22xDy2x 解析过点 F 作 FFAA，垂足为 F。设|AF|3x，因为 cosFAA3 5，所以|AF|5x，|FF| 4x，由抛物线定义可知，|AF|AA|5x，则|AF|2xp，故 xp 2。四边形 AAPF 的面积 S |PF|AA|PA| 2 p5 2p2p 2 14，解得 p2(舍去负值)，故抛物线 C 的方程为 y24x。故选 B。 答案B 二、多项选择题 7在平面直角坐标系 xOy 中，点 M(4,4)在抛物线 y22px(p0)上，抛物线的焦点为 F，延长 MF 与抛 物线相交于点 N，则下列结论中正确的是() A抛
5、物线的准线方程为 x1 B线段 MN 的长度为17 4 C点 N 的坐标为 1 4，1 DOMN 的面积为5 2 解析将(4,4)代入抛物线方程，可得 p2，因此抛物线方程为 y24x，于是准线方程为 x1，焦点 坐标为(1,0)，故 A 正确；设 N(x2，y2)，由焦点弦的性质可知 4x22 2 4 1，所以 x21 4，代入抛物线方程可得 y21，即 N 1 4，1，所以|MN|41 42 25 4 ，故 B 错误，C 正确；OMN 的面积 S1 2|OF|(4|y 2|) 1 215 5 2。故 ACD 正确。 答案ACD 8已知抛物线 x24y 的焦点为 F，经过点 F 的直线交抛物
6、线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，点 A，B 在 抛物线准线上的射影分别为 A1，B1，则() Ax1x24 B|AB|y1y21 CA1FB1 2 DAB 的中点到抛物线的准线的距离的最小值为 2 解析抛物线 x24y 的焦点为 F(0,1)，易知直线 AB 的斜率存在，设直线 AB 的方程为 ykx1。由 ykx1， x24y， 得 x24kx40，则 x1x24k，x1x24，A 正确；|AB|AF|BF|y11y21y1 y22，B 错误；FA1 (x1，2)，FB1 (x2，2)，所以FA1 FB1 x1x240，所以FA1 FB1 ，A1FB1 2， C 正确；AB 的
7、中点到抛物线的准线的距离 d1 2(|AA 1|BB1|)1 2(y 1y22)1 2(kx 11kx212)1 2(4k 2 4)2，当 k0 时等号成立，所以 D 正确。故选 ACD。 答案ACD 三、填空题 9抛物线 yax2的焦点是直线 xy10 与坐标轴的交点，则抛物线准线的方程是_。 解析因为抛物线 yax2的焦点在纵轴上，而直线 xy10 与纵轴的交点的坐标为(0,1)，因此抛物 线准线的方程是 y1。 答案y1 10(2020新高考卷)斜率为 3的直线过抛物线 C：y24x 的焦点，且与 C 交于 A，B 两点，则|AB| _。 解析由题意得直线方程为 y 3(x1)，联立方程
8、 y 3x1， y24x， 得 3x210 x30，所以 xAxB 10 3 ，故|AB|1xA1xB210 3 16 3 。 答案 16 3 11(2021江西九校联考)已知抛物线 x22py(p0)的焦点为 F，准线为 l，点 P(4，y0)在抛物线上，K 为 l 与 y 轴的交点，且|PK| 2|PF|，则 y0_。 解析如图，过 P 作准线的垂线，垂足为 M，则|PM|PF|，所以|PK| 2|PF| 2|PM|，|KM|PM| 4，y04p 2，把 P 4，4p 2 代入抛物线方程 x22py，解得 p4，故 y02。 答案2 四、解答题 12已知 F 为抛物线 C：x212y 的焦
9、点，直线 l：ykx4 与 C 相交于 A，B 两点。 (1)O 为坐标原点，求OA OB ； (2)M 为 C 上一点，F 为ABM 的重心(三边中线的交点)，求 k。 解(1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 将 l 的方程代入 C 得，x212kx480， 所以 x1x212k，x1x248，y1y2x1x2 2 122 16， 从而OA OB x1x2y1y232。 (2)依题意得 F(0,3)，设 M(x3，y3)， 因为 F 为ABM 的重心， 所以 x1x2x30，y1y2y39， 从而 x3(x1x2)12k， y39(y1y2)9x 2 1x22 12 9x1x2 2
10、2x1x2 12 112k2。 因为 M(x3，y3)在抛物线 C 上， 所以(12k)212(112k2)，即 k2 1 24。 故 k 6 12或 k 6 12。 13(2020全国卷)已知椭圆 C1：x 2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点 F 与抛物线 C 2的焦点重合，C1的中心与 C2的顶点重合。过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C1于 A，B 两点，交 C2于 C，D 两点，且|CD|4 3|AB|。 (1)求 C1的离心率； (2)设 M 是 C1与 C2的公共点。若|MF|5，求 C1与 C2的标准方程。 解(1)由已知可设 C2的方程为 y24cx， 其中 c a2b2
11、。 不妨设 A，C 在第一象限，由题设得 A，B 的纵坐标分别为b 2 a ，b 2 a ；C，D 的纵坐标分别为 2c，2c， 故|AB|2b 2 a ，|CD|4c。 由|CD|4 3|AB|得 4c 8b2 3a ， 即 3c a22 c a 2， 解得c a2(舍去)或 c a 1 2。 所以 C1的离心率为1 2。 (2)由(1)知 a2c，b 3c，故 C1： x2 4c2 y2 3c2 1。 设 M(x0，y0)， 则 x20 4c2 y20 3c2 1，y204cx0， 故 x20 4c2 4x0 3c 1。 由于 C2的准线为 xc， 所以|MF|x0c， 而|MF|5，故
12、x05c， 代入得5c 2 4c2 45c 3c 1， 即 c22c30， 解得 c1(舍去)或 c3。 所以 C1的标准方程为 x2 36 y2 271， C2的标准方程为 y212x。 素养提升组 14(2021八省联考)已知抛物线 y22px 上三点 A(2,2)，B，C，直线 AB，AC 是圆(x2)2y21 的两 条切线，则直线 BC 的方程为() Ax2y10B3x6y40 C2x6y30Dx3y20 解析A(2,2)在抛物线 y22px 上，故 2222p，即 p1，抛物线方程为 y22x。 解法一：设 B y21 2 ，y1 ，C y22 2 ，y2 ，则直线 AB 的方程为
13、y2 y12 y21 2 2 (x2)，即 lAB：2x(y12)y2y1 0。又因为直线 AB 与圆(x2)2y21 相切，所以 dr |42y1| 22y1221，所以 3y 2 112y180，即 6x1 12y180，即 3x16y140。同理 3x26y240，所以 B(x1，y1)，C(x2，y2)都在直线 3x6y40 上。故选 B。 解法二：设过点 A(2,2)与圆(x2)2y21 相切的直线的方程为 y2k(x2)，即 kxy22k0，则 圆心(2,0)到切线的距离 d|2k022k| k21 1，解得 k 3，如图，直线 AB：y2 3(x2)，直线 AC：y 2 3(x2
14、)。 联立 y2 3x2， y22x， 得 3x2(4 314)x168 30， 故 xAxB168 3 3 ， 由 xA2 得 xB84 3 3 ， 故 yB2 36 3 ，联立 y2 3x2， y22x， 得 3x2(4 314)x168 30，故 xAxC168 3 3 ，由 xA2 得 xC84 3 3 ，故 yC2 36 3 ，故 yByC2 36 3 2 36 3 4，又由 B，C 在抛物线上可知，直 线 BC 的斜率为 kBC yByC xBxC yByC 1 2y 2 B1 2y 2 C 2 yByC 2 4 1 2 ，故直线 BC 的方程为 y 2 36 3 1 2 x84
15、3 3，即 3x6y40。故选 B。 答案B 15(多选)设 M，N 是抛物线 y2x 上的两个不同的点，O 是坐标原点。若直线 OM 与 ON 的斜率之积 为1 2，则下列结论正确的是( ) A|OM|ON|4 2 B以 MN 为直径的圆的面积大于 4 C直线 MN 过定点(2,0) D点 O 到直线 MN 的距离不大于 2 解析不妨设 M 为第一象限内的点。当直线 MNx 轴时，kOMkON，由 kOMkON1 2，得 k OM 2 2 ， kON 2 2 ，所以直线 OM，ON 的方程分别为 y 2 2 x，y 2 2 x，与抛物线方程联立，得 M(2， 2)，N(2， 2)，所以直线
16、MN 的方程为 x2，此时|OM|ON|2 6，以 MN 为直径的圆的面积 S2，AB 错误。 当直线 MN 与 x 轴不垂直时，设直线 MN 的方程为 ykxm，与抛物线方程联立消去 x，得 ky2ym0， 则14km0。设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 y1y2m k 。因为 kOMkON1 2，所以 y1 x1 y2 x2 1 2，则 2y 2y1x2x1 y21y22，则 y1y22，所以m k 2，即 m2k，所以直线 MN 的方程为 ykx2k，即 yk(x2)。综 上可知，直线 MN 为恒过定点 Q(2，0)的动直线，C 正确；易知当 OQMN 时，原点 O 到直线 M
17、N 的距离 最大，最大距离为 2，即原点 O 到直线 MN 的距离不大于 2，D 正确。 答案CD 16过 F(0,1)的直线 l 与抛物线 C：x24y 交于 A，B 两点，以 A，B 两点为切点分别作抛物线 C 的切 线 l1，l2，设 l1与 l2交于点 Q(x0，y0)。 (1)求 y0； (2)过 Q，F 的直线交抛物线 C 于 M，N 两点，求四边形 AMBN 面积的最小值。 解(1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 l：ykx1， 由 x24y， ykx1， 得 x24kx40， 所以 x1x24k， x1x24， 由 x24yy1 2x， 所以 l1：yy11 2x
18、 1(xx1)， 即 l1：y1 2x 1xx 2 1 4 。 同理 l2：y1 2x 2xx 2 2 4 ，联立得 y1 2x 1xx 2 1 4 ， y1 2x 2xx 2 2 4 ， 得 x0 x1x2 2 2k， y0 x1x2 4 1， 即 y01。 (2)因为QF x1x2 2 ，2 ， AB (x2x1，y2y1)， 所以QF AB x 2 2x21 2 2(y2y1)x 2 1x22 2 x 2 2x21 2 0， 所以QF AB ，即 MNAB， |AB|y1y22k(x1x2)44k24， 同理|MN| 4 k24(易知 k0)， S 四边形AMBN1 2|AB|MN|8(k 21) 1 k218 k2 1 k2232， 当且仅当 k1 时，四边形 AMBN 的面积取得最小值 32。
