1、第1课时基本不等式 第二章2.2基本不等式 1.了解基本不等式的证明过程. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 学 习 目 标 从前有个金店的天平坏了，天平的两臂长短不相等，店主不想购置新 的天平，又怕别人说他缺斤少两，于是他想出一个办法：先把顾客要 购买的黄金放入左边的托盘中，右边托盘中加砝码得到一个读数，再 把黄金放入右边的托盘中，在左边托盘加砝码得到第二个读数，然后 把两个读数相加除以2作为黄金的最终质量出售.你觉得店主这个买卖 做到诚信无欺了吗？要解决这个问题，我们一起进入今天的课堂吧！ 导 语 随堂演练课时对点练 一、基本不等式的证明与理解 二、求简单代数式的最值 三、最
2、值定理 内容索引 一、基本不等式的证明与理解 问题1如图是不等式第一节课我们抽象出来的在北京召开第24届国际 数学家大会的会标，你还记得我们得出什么样的结论吗？ 故正方形的面积为a2b2， 而四个直角三角形的面积为2ab， 故有a2b22ab， 当且仅当ab时，等号成立. 实际上该不等式对任意的实数a，b都能成立，我们称该不等式为重要不 等式. 问题2现在我们讨论一种特别的情况，如果a0，b0，我们用 分别替换上式中的a，b，能得到什么样结论？ 当且仅当ab时，等号成立. 问题3上述不等式是在重要不等式基础上转化出来的，是否对所有的 a0，b0都能成立？请给出证明. 提示方法一(作差法) 当且
3、仅当ab时，等号成立. 方法二(性质法) 当且仅当ab时，等号成立. 方法三(利用几何意义证明) 如图AB是圆的直径，点C是AB上一点，ACa，BCb， 过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD， 由于CD小于或等于圆的半径， 由此也可以得出圆的半径不小于半弦. 知识梳理 1.基本不等式：如果a0，b0，则 ，当且仅当 时，等 号成立. 2.其中 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平 均数. 3.两个正数的算术平均数它们的几何平均数. ab 不小于 二、求简单代数式的最值 解因为x0， 因为x0， 故原式的最大值为4. 解因为x1，故有x10， 因此所求最小值为5. 反思感悟
4、在利用基本不等式求最值时要注意三点 一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，(恰 当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成 立的条件是否具备，检验多项式取得最值时的x的值是否为已知范围内 的值，故三点缺一不可. 解析A中，a，b为正实数， B中，aR，a0，不符合基本不等式的条件， D中，对任意的a，bR，都有a2b22ab， 三、最值定理 问题4你能写出基本不等式的几种变形吗？ 由此我们发现若两个正数的和为定值时， 我们可以求这两个数乘积的最大值， 若两个数的乘积为定值时，我们可以求这两个数和的最小值. 知识梳理 最值定理 已知x，y都为正数，则(1)
5、如果积xy等于定值P，那么当且仅当xy时， 和xy有最小值 ；(2)如果和xy等于定值S，那么当且仅当xy时， 积xy有最大值 ，简记为：积定和最小，和定积最大. 注意点：注意点： (1)三个关键点：一正、二定、三相等.一正：各项必须为正；二定： 各项之和或各项之积为定值；三相等：必须验证取等号时的条件是 否具备.(2)探求过程中常需依据具体的问题进行合理的拆项、凑项、配 项等变换. 例2(1)设x0，y0，且xy18，则xy的最大值为 A.80 B.77C.81 D.82 解析因为x0，y0， 当且仅当xy9时，(xy)max81. (2)已知0 x ，则yx(12x)的最大值为_. 反思感
6、悟通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用 拼凑法求最值应注意以下几个方面：拼凑的技巧，以整式为基础， 注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价转换；代数 式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；拆项、添项应注意检验利 用基本不等式的前提. 跟踪训练2(1)当x取什么值时，x2 取得最小值？最小值是多少？ (2)已知1x1，求1x2的最大值. 解当x1时，1x20. 当1x0,1x0， 当且仅当1x1x， 即x0时取等号. 1x2的最大值为1，此时x0. 1.知识清单： (1)基本不等式的推导与证明. (2)求简单代数式的最值. (
7、3)最值定理. 2.方法归纳：拼凑法. 3.常见误区：利用基本不等式的条件“一正、二定、三相等”缺一不 可，尤其是“当且仅当，等号成立”这八个字，更是不能缺少. 课堂小结 随堂演练 1.不等式a212a中等号成立的条件是 A.a1 B.a1 C.a1 D.a0 1234 解析当a212a，即(a1)20， 即a1时，等号成立. 1234 1234 1234 解析选项A不满足“取等号时的条件”，故不正确； 选项C不满足“各项必须为正”，故不正确； 选项D不满足“积为定值”，故不正确. 1234 4.当a，bR时，下列不等关系成立的是_. 课时对点练 基础巩固 12345678910 11 12
8、13 14 15 1.下列不等式中正确的是 16 若a1，b1，则a2b20，y0，xyp，xys，则下列命题正确的是 A.如果s是定值，那么当且仅当xy时p的值最大 B.如果s是定值，那么当且仅当xy时p的值最小 C.如果p是定值，那么当且仅当xy时s的值最大 D.如果p是定值，那么当且仅当xy时s的值最小 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 6.(多选)下列条件可使 2成立的有 A.ab0 B.ab0，b0 D.a0，b0 12345678910 11 12 13 14 15 16 7.已知0 x1，则x(1x)的最大值为_，此时x_. 解析因为0 x0， 当
9、且仅当x1x， 12345678910 11 12 13 14 15 16 2 解析由基本不等式可知正确. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解因为x3，所以x30， 12345678910 11 12 13 14 15 16 故当x1时，ymax1. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 综合运用 16 即x2时，等号成立，故最小值为4. 12345678910 11 12 13 14 15 16 当且仅当x4x， 即x2时等号成立， 故最大值为2. 13.已知x0，y0，且x2y4，则(1
10、x)(12y)的最大值为 A.16 B.9 C.4 D.36 12345678910 11 12 13 14 15 16 当且仅当1x12y， 即x2，y1时，等号成立. 12345678910 11 12 13 14 15 16 14.已知x0，y0,2x3y6，则xy的最大值为_. 解析因为x0，y0,2x3y6， 当且仅当2x3y， 拓广探究 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析设矩形的长和宽分别为x，y， 12345678910 11 12 13 14 15 16 解x，y为正实数，3x2y10， 当且仅当3x2y,3x2y10， 本课结束 更多精彩内容请登录：
