1、4.1.2无理数指数幂及其运算性质 第四章4.1指数 1.能结合教材探究了解无理数指数幂. 2.结合有理数指数幂的运算性质掌握实数指数幂的运算性质. 学 习 目 标 伟大的数学家毕达哥拉斯认为：世界上只存在整数和分数，除此以外， 没有别的什么数了.可是不久就出现了一个问题：当一个正方形的边长是1的 时候，对角线的长m等于多少？是整数呢，还是分数？毕达哥拉斯和他的门 徒费了九牛二虎之力，也不知道这个m究竟是什么数.世界上除了整数和分 数以外还有没有别的数？这个问题引起了学派成员希伯斯的兴趣，他花费 了很多的时间去钻研，最终希伯斯断言：m既不是整数也不是分数，是当时 人们还没有认识的新数.从希伯斯
2、的发现中，人们知道了除了整数和分数以 外，还存在着一种新数.给新发现的数起个什么名字呢？当时人们觉得，整 数和分数是容易理解的，就把整数和分数合称为“有理数”，而希伯斯发 现的这种新数不好理解，就取名为“无理数”. 导 语 随堂演练课时对点练 一、无理数指数幂的运算 二、实际问题中的指数运算 三、实数指数幂的综合运用 内容索引 一、无理数指数幂的运算 问题阅读课本108页的探究，你发现了什么？ 提示可以发现，当指数x的取值范围从整数拓展到了无理数时，它 是一个确定的实数，在数轴上有唯一的一个点与它对应. 知识梳理 1.无理数指数幂：一般地，无理数指数幂a(a0，为无理数)是一个确 定的. 2.
3、实数指数幂的运算法则 (1)arasars(a0，r，sR). (2)(ar)sars(a0，r，sR). (3)(ab)rarbr(a0，b0，rR). 实数 注意点：注意点：特别强调底数a0，如果a0)； 解原式 a01. 663 a a a 74 663 a (3) 解原式 . 3 23 33 . 3 3 2 2 332 3 3 3 反思感悟关于无理数指数幂的运算 (1)无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同； (2)若式子中含有根式，一般把底数中的根式化为指数式，指数中的 根式可以保留直接运算. 跟踪训练1计算下列各式的值(式中字母均是正数)： 解原式 26m364m3.
4、(1) ； 2 3 33 2m 2 3 3 3 2 2m (2) 2 33 .a aa 解原式 a01. 2 33 a 二、实际问题中的指数运算 例2从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升，然后加满水，再倒出1升混合 溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒_次后才能使纯酒 精体积与总溶液的体积之比低于10%. 4 所以至少应倒4次后才能使酒精的浓度低于10%. 反思感悟指数运算在实际问题中的应用 在成倍数递增(递减)、固定增长率等问题中，常常用到指数运算，用 来计算增减的次数、增减前后的数量等. 跟踪训练2如果在某种细菌培养过程中，细菌每10分钟分裂一次(1个 分裂成2个)，那么经过1小时，一个
5、这种细菌可以分裂成_个.64 解析经过1小时可分裂6次，可分裂成2664(个). 三、实数指数幂的综合运用 例3(1)已知 ，则x2x2_. 11 22 xx 7 11 22 xx 则xx13， 两边再平方得x2x229，所以x2x27. (2)已知xx17，求值： ； 11 22 xx 解设m ，两边平方得m2xx12729， 11 22 xx 因为m0，所以m3，即 3. 11 22 xx x2x2. 解设n ，两边平方得n2xx12725， 11 22 xx 11 22 xx 1111 2222 xxxx 延伸探究本例(2)的条件不变，求x3x3的值. 解由xx17平方可得x2x247，
6、 所以x3x3(xx1)(x2x21)746322. 反思感悟利用整体代换法求分数指数幂 (1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结 论的结构特点，灵活运用恒等式是关键. (2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公 式及其变形公式. x2x2(xx1)2 2，xx1 ， 2 11 22 2xx 2 1111 2244 2.xxxx 跟踪训练3已知am4，an3，则 的值为 1.知识清单： (1)无理数指数幂的运算. (2)实际问题中的指数运算. (3)实数指数幂的综合运用. 2.方法归纳：整体代换法. 3.常见误区：在运用分数指数幂的运算性质化简时，
7、其结果不能同时 含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数. 课堂小结 随堂演练 1234 1.计算 的结果是 3 33 1234 A.B.C.D. 3 2 2 3 4 2 7 4 2 7 8 2 1234 3.已知 5(x0)，那么 等于 解析 527. 22 33 xx 11 33 xx 2 1122 3333 2xxxx 又x0，故 . 11 33 xx 1234 解析10 x3，102x9， 4.若10 x3,10y4，则102xy_. 课时对点练 基础巩固 12345678910 11 12 13 14 15 16 1.已知集合A0,1,2,4，Bx|x2n，nA，则AB等于
8、A.0,1,2 B.0,1,4 C.2,4 D.1,2,4 解析由题意得B1,2,4,16， 又A0,1,2,4， AB1,2,4. 2.对于a0，b0，以下运算正确的是 A.arasars B.(ar)sars C. arbr D.arbs(ab)rs 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析根据实数指数幂的运算性质进行判断. 12345678910 11 12 13 14 15 16 3.下列运算中正确的是 2 23 26 2 aaa 5 2 210 2 aa 解析 ，故A错误； 2 23 25 2 aaa (a2)3a23a6，(a3)2a6，故B错误； 5 2
9、210 2 aa ，故D正确. 12345678910 11 12 13 14 15 16 4.一张报纸，其厚度为0.1毫米，现将报纸对折(即沿对边中点连线折 叠)10次，这时，报纸的厚度为 A.2.56厘米 B.5.12厘米 C.10.24厘米 D.20.48厘米 解析0.0121010.24(厘米). 12345678910 11 12 13 14 15 16 a2b1. 12345678910 11 12 13 14 15 16 6.(多选)已知a2a23，则aa1等于 解析(aa1)2a2a225， 12345678910 11 12 13 14 15 16 1 3 8 0 22 3
10、2716 7 解析原式2417. 12345678910 11 12 13 14 15 16 8.化简_. 2 2 32 22 8 1 解析原式 22 22 22 222 3 33 2222 1. 2 28 12345678910 11 12 13 14 15 16 9.已知xx13(x0)，求 的值. 33 22 xx 解因为xx13，所以x2x27， 所以 x3x32(xx1)(x2x21)236220， 2 33 22 xx 所以 2 . 33 22 xx 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 综合运用 16 1
11、1.在算式2中2国2精2神29中，“中、国、精、神”分别代表四 个不同的数字，且依次从大到小，则“国”字所对应的数字为 A.4 B.3 C.2 D.1 解析由291684124232220，可得“国”字所对应的 数字为3. 12345678910 11 12 13 14 15 16 21 3 x 21 3 x 21 3 x 21 3 x 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析由题意得m0， 2am,5bm， 2 ，5 ， 1 a m 1 b m 25 ， 1111 abab mmm 12345678910 11 12 13 14 15 16 14.已知2x8y1,9y
12、3x9，则xy_.27 解析由2x8y1，得2x23y3， 所以x3y3. 由9y3x9，得32y3x9， 所以2yx9. 联立， 解得x21，y6， 所以xy27. 拓广探究 12345678910 11 12 13 14 15 16 15.22k122k122k等于 A.22k B.22k1 C.22k1 D.22k1 解析原式22k12222k1222k1(142)22k122k1. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解由题意知x1x28，x1x24. x1x2， 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)求 的值. 11 22 12 xx 11 11 22 21 22 121 2 12 xx xx x x 本课结束 更多精彩内容请登录：
