1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 洛阳市洛阳市 2019201920202020 学年第二学期期中考试学年第二学期期中考试 高二数学试卷（文）高二数学试卷（文） 本试卷分第本试卷分第卷（选择题）和第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共卷（非选择题）两部分，共 150150 分分. .考试时间考试时间 120120 分钟分钟. . 第第卷（选择题，共卷（选择题，共 6060 分）分） 注意事项：注意事项： 1.1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卷上答题前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卷上. . 2.2.考试结束，将答题卷
2、交回考试结束，将答题卷交回. . 一一、选择题选择题：本大题共本大题共 1212 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. . 1.若复数z满足1i zi ，则z的共轭复数的虚部是（） A.iB.iC. 1D.1 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意结合复数的除法法则可得1zi ，再根据共轭复数、复数虚部的概念即可得解. 【详解】由题意 2 11 11 iii zii ii ， 所以z的共轭复数 1zi ，则z的共轭复数的虚部为 1. 故选：C. 【点睛】本题考查了复
3、数的运算，考查了共轭复数及复数虚部的概念，属于基础题. 2.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于 60”时，反设正确 的是() A. 假设三内角都不大于 60B. 假设三内角都大于 60 C. 假设三内角至多有一个大于 60D. 假设三内角至多有两个大于 60 【答案】B 【解析】 【分析】 “至少有一个”的否定变换为“一个都没有”，即可求出结论. 【详解】“三角形的内角中至少有一个不大于 60”时， 反设是假设三内角都大于60. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 故选：B. 【点睛】本题考查反证法的概念，注意逻辑用语的否定，属于基础题. 3.对下列
4、三种图像，正确的表述为（） A. 它们都是流程图B. 它们都是结构图 C. （1） 、 （2）是流程图， （3）是结构图D. （1）是流程图， （2） 、 （3）是结构图 【答案】C 【解析】 试题分析：根据流程图和结构图的定义分别判断三种图形是流程图还是结构图 解： （1）表示的是借书和还书的流程，所以（1）是流程图 （2）表示学习指数函数的一个流程，所以（2）是流程图 （3）表示的是数学知识的分布结构，所以（3）是结构图 故选 C 点评：本题主要考查结构图和流程图的识别和判断，属于基础题型 4.有线性相关关系的变量 , x y有观测数据( , )(1,2,.,15) ii x yi ，已知
5、它们之间的线性回归方程 是 511yx ，若 15 1 18 i i x ，则 15 1 i i y （） A.17B.86C.101D.255 【答案】D 【解析】 【分析】 先计算 18 1.2 15 x ，代入回归直线方程，可得5 1.2 1117y ，从而可求得结果. 【详解】因为 15 1 18 i i x ，所以 18 1.2 15 x ， 代入回归直线方程可求得5 1.2 1117y ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - 所以 15 1 17 15255 i i y ， 故选 D. 【点睛】该题考查的是有关回归直线的问题，涉及到的知识点有回归直线一定
6、会过样本中心 点，利用相关公式求得结果，属于简单题目. 5. 分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的（ ） A. 充分条件B. 必要条件 C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 试题分析：本题考查的分析法和综合法的定义，根据定义分析法是从从求证的结论出发，“由 果索因”，逆向逐步找这个不等式成立需要具备的充分条件；综合法是指从已知条件出发， 借助其性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题，其特点和思 路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”我们易得答案 解：分析法是逆向逐步找这个结论成立需要具备的充分条件； 分析法是从要证的不
7、等式出发，寻求使它成立的充分条件 故选 A 点评：分析法通过对事物原因或结果的周密分析，从而证明论点的正确性、合理性的论 证方法，也称为因果分析，从求证的不等式出发，“由果索因”，逆向逐步找这个不等式成 立需要具备的充分条件；综合法是指从已知条件出发，借助其性质和有关定理，经过逐步的 逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题，其特点和思路是“由因导果”，即从“已知”看 “可知”，逐步推向“未知” 6.有一段演绎推理：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线平面， 直线平面，则”的结论显然是错误的，这是因为（ ） A. 大前提错误B. 小前提错误 C. 推理形式错误D. 非以上错误 【答案
8、】A 【解析】 演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导，得出具体陈述或个别结论的过程，演绎推 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 理一般有三段论形式，本题中直线平行于平面，则平行于平面内所有直线是大前提，它是错 误的. 考点：演绎推理. 7.如图：图O内切于正三角形ABC，则3 ABCOABOACOBCOBC SSSSS ，即 11 |3| 22 BChrBC ，3hr，从而得到结论：“正三角形的高等于它的内切圆的半 径的 3 倍”；类比该结论到正四面体，可得到结论：“正四面体的高等于它的内切球的半径 的a倍”，则实数a （） A. 5B. 4C. 3D. 2
9、【答案】B 【解析】 【分析】 利用等体积，即可得出结论. 【详解】解：设正四面体的高为h，底面积为S，内切球的半径为r， 则 11 4 33 VShSr， 4hr ， 则4a . 故选：B. 【点睛】本题考查类比推理，考查等体积方法的运用，考查学生的计算能力，比较基础. 8.观察下列各式，1ab， 22 3ab ， 33 4ab ， 44 7ab， 55 11ab ，则 99 ab（ ） A. 47B. 76C. 121D. 123 【答案】B 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 【解析】 【分析】 根据题目所给等式，归纳出正确结论. 【 详 解 】 根 据 题
10、目 所 给 等 式 可 知 ： 6677 7 1118,11 1829abab， 88 182947ab ， 99 294776ab . 故选：B 【点睛】本小题主要考查合情推理，属于基础题. 9.若 5Paa ，23Qaa（0a ） ，则P，Q的大小关系是（） A.PQB.PQC.P Q D.P，Q的 大小由a的取值确定 【答案】A 【解析】 2222 2525252232556PQaa aaaaaaaa （） 且 22 556aaaa ， 22 PQ，又,0P Q ，PQ，故选 C. 10.阅读如图所示的程序框图，若输入2020m ，则输出S为输出（） A. 2 2020 B. 2 100
11、9 C. 2 1010 D. 2 1011 【答案】D 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 【解析】 【分析】 运行程序，根据循环结构程序框图计算出输出的结果. 【详解】运行程序，2020m ，0,1Si，1S ，判断是，3,13iS ， 判断是， ， 2019,0 1 32019iS ，判断是，2021,1 32021iS ，判断否，输出 2 12021 1 3202110111011 2 S . 故选：D 【点睛】本小题主要考查根据程序框图计算输出结果，属于基础题. 11.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断 迭代的方程
12、式，即一种基于递归的反馈系统分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺木的融 合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义如图，由波兰数学家谢尔 宾斯基 1915 年提出的谢尔宾斯基三角形就属于种分形，具体作法是取一个实心三角形，沿 三角形的三边中点连线，将它分成 4 个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余 3 个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形 若在图中随机选取点，则此点取自阴影部分的概率为（） A. 9 28 B. 19 28 C. 27 64 D. 37 64 【答案】C 【解析】 【分析】 根据图,归纳得出阴影部分的面积与大三角形的面积之比,再用几何概型的概率公式 可得
13、答案. 【详解】依题意可得:图中阴影部分的面积等于大三角形的面积, 图中阴影部分的面积是大三角形面积的 3 4 , 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - 图中阴影部分的面积是大三角形面积的 9 16 , 归纳可得,图中阴影部分的面积是大三角形面积的 27 64 , 所以根据几何概型的概率公式可得在图中随机选取点，则此点取自阴影部分的概率为 27 64 . 故选:C 【点睛】本题考查了归纳推理,考查了几何概型的概率公式,属于基础题. 12.已知复数z满|12 |2| 2 2zizi （i是虚数单位） ， 若在复平面内复数z对应的 点为Z，则点Z的轨迹为（） A. 双曲线
14、B. 双曲线的一支C. 两条射线D. 一条射线 【答案】B 【解析】 【分析】 利用两个复数的差的绝对值表示两个复数对应点之间的距离，得出等式的几何意义，结合双 曲线的定义，即可求解. 【详解】因为复数z满|12 |2| 2 2zizi （i是虚数单位） ， 在复平面内复数z对应的点为Z， 则点Z到点(1,2)的距离减去到点( 2, 1)的距离之差等于2 2， 而点(1,2)与点( 2, 1)之间的距离为3 2， 根据双曲线的定义，可得点Z表示(1,2)和( 2, 1)为焦点的双曲线的一支. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了复数的几何意义及其应用，其中解答中根据复数模的几何意义，结 合双曲线
15、的定义求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 第第卷（非选择题，共卷（非选择题，共 9090 分）分） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. . 13.设复数1zi ，则 2 2 |z z _. 【答案】 5 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 【解析】 【分析】 利用复数运算化简得到 2 2 12zi z ，再计算复数模得到答案. 【详解】1zi ，则 22 22 111 1 1 2 2 2 i i ziiiii z ， 则 22 2 2 215z z . 故答案为： 5
16、. 【点睛】本题考查了复数的计算，复数的模，意在考查学生的计算能力和转化能力. 14.我们知道：在平面内，点 00 ,xy到直线0AxByC的距离公式为 00 22 AxByC d AB ，通过类比的方法，可求得在空间中，点2,4,1到平面 2310 xyz 的距离为_. 【答案】 14 【解析】 【分析】 利用点到直线的距离公式类比到空间点 000 ,xyz到平面0AxByCzD的距离为 000 222 AxByCzD d ABC ，进而可求得点2,4,1到平面2310 xyz 的距离. 【详解】在平面内，点 00 ,xy到直线0AxByC的距离公式为 00 22 AxByC d AB ，
17、类比到空间中，则点 000 ,xyz到平面0AxByCzD的距离为 000 222 AxByCzD d ABC ， 因此，点2,4,1到平面2310 xyz 的距离为 222 22 43 1 1 14 123 d . 故答案为： 14. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - 【点睛】本题考查类比推理，考查点到平面的距离的计算，考查推理能力与计算能力，属于 基础题. 15.设 11 ( )()() () 11 nn ii f nn i N i ，则集合 |( )x xf n的子集个数是_. 【答案】8 【解析】 【分析】 化简得到 ( ) nn if ni ，计算结合复
18、数乘方的周期性得到|( )2,0,2x xf n ， 得到答案. 【详解】 22 111 ( )()()()() 111111 1 nnn n n n iii f n iiiiii i ii ， 00 (0)2ifi ， 11 (1)0ifi ， 22 (2)2ifi ， 33 (3)0ifi ， 44 (4)2ifi ， 根据 n i的周期性知 |( )2,0,2x xf n ，子集个数为 3 28 . 故答案为：8. 【点睛】本题考查了复数的运算，集合的子集，意在考查学生的计算能力和综合应用能力， 周期性的利用是解题的关键. 16.给出下列命题： 线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越
19、强；反之，线性相关性越弱； 用 2 R 来刻画回归效果， 2 R 越大，说明模型的拟合效果越好； 根据22列联表中的数据计算得出的 2 K 的值越大，两类变量相关的可能性就越大； 在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好； 从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每 10 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测， 这样的抽样是分层抽样 其中真命题的序号是_ 【答案】 【解析】 【分析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 根据“残差”的意义线性相关系数和相关指数的意义等统计学知识，逐项判断，即可作出正 确的判断 【详解】对，根据线性相关系数r的绝对值越接
20、近1，两个变量的线性相关性越强；反之， 线性相关性越弱，故错误； 对，根据用相关指数 2 R 刻画回归的效果时， 2 R 的值越大说明模型的拟合效果就越好，故 正确； 对，22 列联表中的数据计算得出的 2 K 越大，“X与Y有关系”可信程度越大，相关性 就越大，故正确； 对，根据比较模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟 合效果就越好，故正确； 对，新产品没有明显差异，抽取时间间隔相同，故属于系统抽样，故错误. 综上所述，正确的是. 故答案为： 【点睛】本题解题关键是掌握统计学的基本概念和“残差”的意义线性相关系数和相关指数 的意义，考查了分析能力和计算能力，属于
21、基础题 三三、解答题解答题：本大题共本大题共 6 6 个小题个小题，共共 7070 分分，解答应写出必要的文字说明解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步证明过程或演算步 骤骤. . 17.已知m为实数，设复数 22 (56)(253)zmmmmi. （1）当复数z为纯虚数时，求m的值； （2）当复数z对应的点在直线70 xy的上方，求m的取值范围. 【答案】 （1）2.（2）(, 4)(4,) 【解析】 【分析】 （1）直接根据复数的类型得到方程，解得答案. （2）直线70 xy的上方的点的坐标, x y应满足70 xy，代入数据解不等式得 到答案. 【详解】 （1）由题意得： 2 2 5
22、60 2530, mm mm ，解得2m . 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - （2）复数z对应的点的坐标为 22 56,253mmmm， 直线70 xy的上方的点的坐标, x y应满足70 xy， 即： 22 (56)(253)70mmmm，解得4m或4m ， m的取值范围为(, 4)(4,) . 【点睛】本题考查了根据复数的类型和复数的对应点的位置求参数，意在考查学生的计算能 力和转化能力. 18.（1）已知0ab，求证： 3322 22ababa b ； （2）若x，y都是正实数，且2xy，用反证法证明：12 x y 与 1 2 y x 中至少有一个 成立
23、. 【答案】 （1）证明见解析.（2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）利用作差法即可证明. （2）假设 1 2 x y ， 1 2 y x ，从而可得12xy，12yx，两不等式相加即可找出 矛盾点，即证. 【详解】 （1） 33222222 222 ()()ababa ba abb ab ()()(2)ab abab， 0ab， 0ab，0ab，20ab， 从而：20ababab， 3322 22ababa b . （2）假设 1 2 x y ， 1 2 y x ， 则12xy，12yx， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - 所以1122xyyx ，所以2
24、xy， 与条件2xy矛盾， 所以假设不成立，即 1 2 x y 与 1 2 y x 中至少有一个成立. 【点睛】本题考查了作差法证明不等式、反证法，反证法关键找出矛盾，属于基础题. 19. 为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中数学老师分别用两种不同的教学方式 对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学（勤奋程度和自觉性都 一样）.以下茎叶图为甲、乙两班（每班均为 20 人）学生的数学期末考试成绩 （1）学校规定：成绩不低于 75 分的为优秀请画出下面的2 2列联表 甲班乙班合计 优秀 不优秀 合计 （2）判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关” 下面临界值表仅供参
25、考： 0.150.100.050.0250.0100.0050.001 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd 【答案】 （1）表格解析； （2）有 97.5的把握认为成绩优秀与教学方式有关 【解析】 试题分析： 解题思路： （1）根据茎叶图中的数据，按不同区间进行填表即可； （2）利用公式求值，结 合临界值表进行判断. 规律总结：以图表给出的统计题目一般难度不大，主要考查频率直方图、茎叶图、频率分布 表给出；
26、利用列联表判定两个变量间的相关性，要正确列出或补充完整列联表，利用 公式求值，结合临界值表进行判断. 试题解析:（1） 甲班乙班合计 优秀61420 不优秀14620 合计202040 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - （2）= 因此，我们有 97.5的把握认为成绩优秀与教学方式有关. 考点：1.茎叶图；2.独立性检验. 20.在数列 n a中， 1 1a ， * 1 3 () 3 n n n a a a Nn （1）求 234 ,a a a，猜想数列 n a的通项公式; （2）证明：数列 1 n a 是等差数列. 【答案】 （1） 234 331 , 452
27、aaa， 3 2 n a n ； （2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）根据 * 11 3 1,() 3 n n n a an a a N ，分别令1,2,3n ，即可求解 234 ,a a a的值，猜想得 出数列的通项公式； （2）由 * 1 3 () 3 n n n a an a N ，得到 1 111 3 nn aa ，利用等差数列的定义，即可得到证明. 【详解】 （1）由题意，数列 n a中， 1 1a ， * 1 3 () 3 n n n a an a N ， 令1n ，可得 1 2 1 333 33 14 a a a ； 令2n ，可得 2 3 2 33 35 a a a ；
28、 令3n ，可得 3 4 3 331 362 a a a ； 所以 234 331 , 452 aaa， 猜想：数列 n a的通项公式 3 2 n a n . 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 - （2）由 * 1 3 () 3 n n n a an a N ，可得 1 1311 33 n nnn a aaa ，即 1 111 3 nn aa （常数） ， 又由 1 1a ，所以 1 1 1 a = ， 所以数列 1 n a 是以 1 为首项，以 1 3 为公差的是等差数列. 【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，以及利用等差数列的定义的应用，考查了 推理与运
29、算能力，属于基础题. 21.已知点1,2A是椭圆C： 22 22 1(0) yx ab ab 上的一点，椭圆C的离心率与双曲线 22 1xy的离心率互为倒数，斜率为 2直线l交椭圆C于B，D两点，且A、B、D三点互 不重合 （1）求椭圆C的方程； （2）若 12 ,kk分别为直线AB，AD的斜率，求证： 12 kk为定值 【答案】 （1） 22 1 42 yx （2）详见解析 【解析】 【分析】 （1）根据椭圆的定义和几何性质，建立方程，即可求椭圆 C 的方程； （2）设直线BD的方程为2yxm，代入椭圆方程，设D（x1，y1） ，B（x2，y2） ，直线AB、 AD的斜率分别为：, ABAD
30、 kk，则 12 12 22 11 ABAD yy xx kk ，由此导出结果. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 16 - 【详解】 （1）由题意，可得e= c a = 2 2 ，代入A（1， 2）得 22 21 1 ab ， 又 222 abc ，解得2,2abc， 所以椭圆C的方程 22 1 42 yx （2）证明：设直线BD的方程为y= 2x+m， 又A、B、D三点不重合，0m， 设D（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 则由 22 2 24 yxm xy 得 4x 2+2 2mx+m 2-4=0 所以=-8m 2+640，所以 2 2 m2 2 x1+x2=-
31、 2 2 m， 2 12 4 4 m xx 设直线AB、AD的斜率分别为：kAB、kAD， 则kAD+kAB= 1212 121212 222 2 2 111 yyxx m xxx xxx = 2 2 2 2 2 22 22 20 42 1 42 m m m m 所以kAD+kAB=0，即直线AB，AD的斜率之和为定值 【点睛】该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有椭圆方程的求解直线与 椭圆的位置关系，直线斜率坐标公式，属于中档题目. 22.已知函数( )ln1f xxax （1）若曲线( )yf x在点1, (1)Af处的切线l与直线4330 xy垂直，求实数a的值； 高考资源网
32、（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 17 - （2）若( )0f x 恒成立，求实数a的取值范围； （3）证明： 111 ln(1) 231 nnN n 【答案】 （1） 1 4 a （2）1.a（3）证明见解析 【解析】 【详解】试题分析： （1）利用导数的几何意义求曲线在点1, (1)Af处的切线方程，注意这个 点的切点； （2）对于恒成立的问题，常用到以下两个结论： ( )af x 恒成立 max ( )af x，( )af x 恒成立 min ( )af x； （3）证明不等式，注意应用前几问的结论. 试题解析： （1）函数的定义域为 1 0,( )fxa x ， 所以 11
33、fa ，又切线l与直线4330 xy垂直， 所以切线l斜率为 3 4 ，从而 3 1 4 a，解得 1 4 a , （2）若0a ，则 1 0,fxa x 则 fx在0,上是增函数 而 11,0fa f x 不成立，故0.a 若0a ，则当 1 0,x a 时， 1 0fxa x ； 当 1 ,x a 时， 1 0.fxa x 所以 fx在 1 0, a 上是增函数，在 1 , a 上是减函数, 所以 fx的最大值为 1 ln .fa a 要使 0f x 恒成立，只需ln0a，解得1.a （3）由（2）知，当1a 时，有 0f x 在0,上恒成立， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 18 - 且 fx在0,1上是增函数， 10f所以ln1xx在0,1x上恒成立 . 令 1 n x n ，则 1 ln1, 111 nn nnn 令1,2,3. ,nn则有 11211 ln,ln,.,ln. 223311 n nn 以上各式两边分别相加， 得 12111 lnln.ln. 231231 n nn 即 1111 ln., 1231nn 故 111 ln1. 231 n n 考点： （1）求切线方程； （2）函数在闭区间上恒成立的问题； （3）不等式证明. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 19 -
