1、第 1 页 共 2 页 2020-20212020-2021 学年上期学年上期 20202020 届高二期中考试届高二期中考试 理科数学试卷理科数学试卷命题人：肖晓 审题人:张文思 一、选择题（本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分） 1已知数列，则是这个数列的第（）项 A20B21C22D23 2在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a2，b4，B45，则 A（） A30B60C30或 150D60或 120 3已知 0, 2 （）x ， :sinpxx ， 2 :sinqxx ，则 p 是q的（） A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件D
2、既不充分也不必要条件 4 张丘建算经是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织， 日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”其中“日减功迟”的具体 含义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织布的尺数为（） ABCD 5方程表示的曲线是（） A一条射线B双曲线 C双曲线的左支D双曲线的右支 6已知点（3，1）和（4，6）在直线 3x2y+a0 的两侧，则实数 a 的取值范围是（） Aa7 或 a24Ba7 或 a24 C24a7D7a24 7设数列an的前 n 项和为 Sn，若对于 nN*都有 Sn+1，Sn，Sn+2，成等差数列，且 a24，
3、则 a9（） A512B512C1024D1024 8已知等差数列an的前 n 项和 Sn有最小值，且，则使得 Sn0 成立的 n 的 最小值是（） A11B12C21D22 9 已知等比数列an的前 n 项和为 Sna4n 1+ b1 （a0， b0） ， 则的最小值为 （） ABCD 10已知 F 为双曲线的左焦点，P，Q 为 C 右支上的点，若 PQ 的长等于虚 轴长的 2 倍，点 A（5，0）在线段 PQ 上，则PFQ 的周长为（） A 28B36C44D48 11已知双曲线 C 的两个顶点分别为 A1，A2，若 C 的渐近线上存在点 P，使得 ，则 C 的离心率的取值范围是（） A
4、（1，3B3，+）C （1，2D2，+） 12在ABC 中，若4，|3，则ABC 面积的最大值为（） A BC12D6 第 2 页 共 2 页 二、填空题二、填空题（本题共本题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.） 13 已知方程ax2+bx+10的两个根为， 3， 则不等式ax2+bx+10的解集为 14若 x，y 满足约束条件，则的最小值为 15ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 cosA，bcosC+ccosB4，则 ABC 的外接圆的面积为 16设数列an的前 n 项和为Sn（）n，如果存在正整数 n 使得 （man） （man+1
5、）0成立，则实数 m 的取值范围是 三、三、解答题解答题（本大题共本大题共 6 个小题，共个小题，共 70 分分.） 17 （10 分） 命题 p：方程表示焦点在 x 轴上的双曲线：命题 q：若存在 4 , 4 0 x ，使得 m2tanx00 成立 （1）如果命题 p 是真命题，求实数 m 的取值范围； （2）如果“pq”为假命题，“pq”为真命题，求实数 m 的取值范围 18 （12 分）已知等差数列an前三项的和为3，前三项的积为 8 （）求等差数列an的通项公式； （）若a2，a3，a1成等比数列，求数列|an|的前 n 项和 19（12 分）（）已知中心在原点的双曲线 C 的焦点坐标
6、为，且渐近线方 程为，求双曲线 C 的标准方程； （）在圆 x2+y23 上任取一点 P，过点 P 作 y 轴的垂线段 PD，D 为垂足，当点 P 在该圆上运 动时，求线段 PD 的中点 M 的轨迹方程 20（12 分）已知在锐角ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， 且 bsinAacos（B） （1）求 B； （2）设 b，a4，D 为 AC 上一点，若SABD2，求 AD 的长 21 （12 分）数列an中，a11，点p（an，an+1）在直线 xy+20 上 （1）求数列an的通项公式； （2）令 bn，数列bn的前 n 项和为 Sn （ i）求 Sn； （ ii）
7、是否存在整数（0） ，使得不等式（1）n（nN*）恒成立？若存 在，求出所有的值；若不存在，请说明理由 822 （12 分）已知椭圆 C：+1（ab0）短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等 边三角形，椭圆 C 上任意一点到椭圆左右两个焦点的距离之和为 4 （）求椭圆 C 的方程； （）椭圆 C 与 X 轴负半轴交于点 A，直线过定点（1，0）交椭圆于 M，N 两点，求 AMN 面积的最大值 第 1页 共 20页第 2页 共 20页 一、一、选择题选择题 1-51-5 D D A A B B C C D D6-106-10 D D A A D D D D C C11-1211-12 A A B B
8、 1已知数列，则是这个数列的第（）项 A20B21C22D23 【解答】解：数列，则该数列的通项公式为 an， 若3，即 2n145，解可得 n23， 则是这个数列的第 23 项；故选：D 2在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a2，b4，B45，则 A （） A30B60C30或 150D60或 120 【解答】 解： a2， b4， B45， 由正弦定理， 可得：， 解得 sinA，ab，AB，A30故选：A 3已知 0, 2 x （），:sinpxx， 2 :sinqxx，则p是q的（） A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条
9、件 【解答】 ：B 4 （5 分） 张丘建算经是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题： “今有女不 善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”其中“日减功迟” 的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织布的尺数为（） ABCD 【分析】此数列为等差数列an，设公差为 d由题意可得：a15，an1，Sn90利用通 项公式与求和公式即可得出 【解答】解：此数列为等差数列an，设公差为 d 与题意可得：a15，an1，Sn9090，解得 n30 5+29d1，解得 d每天比前一天少织布的尺数为故选：C 5方程表示的曲线是（） A一条射线B双曲线 C双
10、曲线的左支D双曲线的右支 【解答】解：方程，表示点 P（x，y）到两定点 F1（1， 0） ，F2（1，0）的距离之差等于定值 1|F1F2|， 其轨迹是以 F1（1，0） ，F2（1，0）为焦点，1 为长轴长的双曲线的右支， 第 3页 共 20页第 4页 共 20页 故选：D 6已知点（3，1）和（4，6）在直线 3x2y+a0 的两侧，则实数 a 的取值范围是（） Aa7 或 a24Ba7 或 a24 C24a7D7a24 【分析】 根据二元一次不等式组表示平面区域， 以及两点在直线两侧， 建立不等式即可求解 【解答】解：点（3，1）与 B（4，6） ，在直线 3x2y+a0 的两侧， 两
11、点对应式子 3x2y+a 的符号相反， 即（92+a） （1212+a）0， 即（a+7） （a24）0， 解得7a24， 故选：D 7 （5 分）设数列an的前 n 项和为 Sn，若对于 nN*都有 Sn+1，Sn，Sn+2，成等差数列，且 a2 4，则 a9（） A512B512C1024D1024 【解答】解：Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列， 2SnSn+1+Sn+2，Sn+1Sn+Sn+2Sn0， an+1+an+2+an+10，an+22an+1， an从第二项起是公比为2 的等比数列， 29512 故选：A 8已知等差数列an的前 n 项和 Sn有最小值，且，则使得 Sn0 成
12、立的 n 的最 小值是（） A11B12C21D22 【解答】解：由题意可得等差数列an的公差 d0 因为，所以 a120，a110，所以 a11+a120， 则，S2121a110故使得 Sn0 成立的 n 的最 小值是 22故选：D 9 （5 分）已知等比数列an的前 n 项和为 Sna4n 1+ b1（a0，b0） ，则的最 小值为（） ABCD 【解答】解：Sna4n 1+ b1（a0，b0） ，S1a+， 当 n2 时，anSnSn13a4n 2 ，数列an是等比数列， 第 5页 共 20页第 6页 共 20页 a1，a+b4， 则， 当且仅当且 a+b4 即 a1，b3 时取得最小
13、值为，故选：D 10已知 F 为双曲线的左焦点，P，Q 为 C 右支上的点，若 PQ 的长等于虚轴长 的 2 倍，点 A（5，0）在线段 PQ 上，则PFQ 的周长为（） A 28B36C44D48 【解答】解： 双曲线 C：的左焦点 F（5，0） ， 点 A（5，0）是双曲线的右焦点， 则 b4，即虚轴长为 2b8； 双曲线图象如图： |PF|AP|2a6 |QF|QA|2a6 而|PQ|16， +得：|PF|+|QF|PQ|12， 周长为 l|PF|+|QF|+|PQ|12+2|PQ|44， 故选：C 11 已知双曲线C的两个顶点分别为A1， A2， 若C的渐近线上存在点P， 使得， 则
14、C 的离心率的取值范围是（） A （1，3B3，+）C （1，2D2，+） 【分析】 设 P（x，） ，然后利用两点间距离公式表示出，得到关于 x 的一元二次方程，有解，则判别式0，得到关于 a，b，c 的不等式，即可求出 e 的范围 【解答】解：由题意设一条渐近线为：，取点 P（） ，且 A1（a，0） ，A2（a， 0） 因为， （x+a）2+2（xa）2+， 整理得，该方程有解时，存在符合题意的 P 点， 故，化简得， 第 7页 共 20页第 8页 共 20页 1e3 故选：A 12 （5 分）在ABC 中，若4，|3，则ABC 面积的最大值为（） A BC12D6 【分析】由已知4，结
15、合向量的数量积可求 a2+c2b2，然后结合|， 可求 b 及 a2+c2，然后代入三角形的面积公式，结合基本不等式即可求解 【解答】解：accosB4， ac4，a2+c2b28， |3，b3，a2+c226， SABC ，当且仅当 ac 时取等号， ABC 面积的最大值为，故选：B 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知方程 ax2+bx+10 的两个根为，3，则不等式 ax2+bx+10 的解集为 3 , 4 1 【分析】根据题意，方程 ax2+bx+10 的两个根为，3，由根与系数的关系分析可得 a
16、0，结合一元二次不等式的解法分析可得答案 【解答】解：根据题意，方程 ax2+bx+10 的两个根为，3， 则有（）3，解可得 a0， 则 ax2+bx+10 x3， 即不等式的解集为x|； 故答案为：x| 【点评】本题考查一元二次不等式的解法，注意分析 a 的范围 14 （5 分）若 x，y 满足约束条件，则的最小值为 【分析】作出不等式组对应的平面区域，通过目标函数的几何意义，利用数形结合即可的得 到结论 【解答】解：x，y 满足约束条件，得到其可行域如图： 第 9页 共 20页第 10页 共 20页 则的几何意义是可行域内的点与（8，4）的斜率，然后求解最小值，由可 得 P（，） ，所以
17、 kAP 故答案为： 15 （5 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 cosA，bcosC+ccosB4， 则ABC 的外接圆的面积为49 【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式，化简已知等式可得 sinA（R 为 ABC 外接圆的半径） ，利用同角三角函数基本关系式可求 sinA，进而可求 R7，根据圆 的面积公式即可计算得解 【解答】解：因为 bcosC+ccosB4， 由正弦定理， 可得： bcosC+ccosB2R （sinBcosC+sinCcosB） 2RsinA 4， 可得： sinA（R 为ABC 外接圆的半径） ， 因为：cosA， 所以解得：si
18、nA，R7， S49 故答案为：49 16 （5 分）设数列an的前 n 项和为 Sn（）n，如果存在正整数 n，使得（man） （m an+1）0 成立，则实数 m 的取值范围是（，） 【分析】利用：可以求出数列an的通项公式 ， 再对其进行分析 可知：当 n2k 时，即 n 为偶数时，50，且随着 k 的增大 而减小；当 n2k+1 时，即 n 为奇数时，0，且随着 k 的增大而增 大；存在正整数 n，使得（man） （man+1）0 成立；即存在正整数 k 使得 a2k+1ma2k 成立，由此求解即可 【解答】解：， 当 n1 时，； 当 n2 时，； 由此可知：当 n2k 时，即 n
19、为偶数时，50，且随着 k 第 11页 共 20页第 12页 共 20页 的增大而减小； 当 n2k-1 时 ，即 n 为奇数时，0，且随着 k 的增大而增大； 存在正整数 n， 使得（man） （man+1）0 成立； 即存在正整数 k 使得 a2k-1ma2k成立； a1a3a2k-1ma2ka4a2， a1ma2； 故答案为： （） 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 个小题，共个小题，共 70 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分） 命题 p：方程表示焦点在 x 轴上的双曲线：命题 q：若存在 ，使得 m
20、2tanx00 成立 （1）如果命题 p 是真命题，求实数 m 的取值范围； （2）如果“pq”为假命题， “pq”为真命题，求实数 m 的取值范围 【分析】 （1）利用双曲线的性质，列出不等式即可求解 m 的范围 （2）命题 q 是真命题，求出 m 的范围，然后利用复合命题的真假，求解 m 的范围即可 【解答】解： （1）命题 p：方程表示焦点在 x 轴上的双曲线，若命题 p 为真 命题，则 3m10，m30， 即 m 的取值范围是 （2） 若命题 q 为真命题，则 m2tanx0在有解，得2m2， 又“pq”为假命题， “pq”为真命题，则 p、q 两个命题一真一假， 若 p 真 q 假，
21、则，解得 2m3， 若 p 假 q 真，则，解得， 综上，实数 m 的取值范围为 18已知等差数列an前三项的和为3，前三项的积为 8 （）求等差数列an的通项公式； （）若 a2，a3，a1成等比数列，求数列|an|的前 n 项和 【分析】 （）设等差数列an的公差为 d，由等差数列an前三项的和为3，前三项的积 为 8，利用等差数列的通项公式列出方程组，求公差和首项，由此能求出等差数列an的通 项公式 （） 由（）和 a2，a3，a1分别为1，2，4，成等比数列，知|an|3n7| ，由此能求出数列|an|的前 n 项和为 Sn 第 13页 共 20页第 14页 共 20页 【解答】解：
22、（）设等差数列an的公差为 d， 则 a2a1+d，a3a1+2d， 等差数列an前三项的和为3，前三项的积为 8， ， 解得，或， 所以由等差数列通项公式，得 an23（n1）3n+5，或 an4+3（n1）3n7 故 an3n+5，或 an3n7 （）当 an3n+5 时，a2，a3，a1分别为1，4，2，不成等比数列； 当 an3n7 时，a2，a3，a1分别为1，2，4，成等比数列，满足条件 故|an|3n7|， 记数列|an|的前 n 项和为 Sn 当 n1 时 S1|a1|4；当 n2 时，S2|a1|+|a2|5； 当 n3 时， SnS2+|a3|+|a4|+|an| 5+（3
23、37）+（347）+（3n7） 5+ 当 n2 时，满足此式 综上所述， 19 （）已知中心在原点的双曲线 C 的焦点坐标为，且渐近线方程为 ，求双曲线 C 的标准方程； （）在圆 x2+y23 上任取一点 P，过点 P 作 y 轴的垂线段 PD，D 为垂足，当点 P 在该圆 上运动时，求线段 PD 的中点 M 的轨迹方程 【分析】 （）由题意可设双曲线方程为，且求得 c，再由渐近线 方程及隐含条件列式求得 a，b 的值，则双曲线的渐近线方程可求； （）设轨迹上任一点 M 的坐标为（x，y） ，点 P 的坐标为（x0，y0） ，则依题意可知 D 点坐 标为（0，y0） ，由中点坐标公式把 P
24、的坐标用 M 的坐标表示，再把 P 的坐标代入圆的方程， 整理可得 M 的轨迹方程 【解答】解： （）依题可知双曲线的焦点在 y 轴上， 设其方程为：，且， 双曲线的渐近线方程为，即 第 15页 共 20页第 16页 共 20页 又a2+b2c2，由可得 得双曲线方程为：； （）设轨迹上任一点 M 的坐标为（x，y） ，点 P 的坐标为（x0，y0） ， 则依题意可知 D 点坐标为（0，y0） ， PD 的中点为 M，即， 点 P 在圆 x2+y23 上运动，得 4x2+y23， 经检验所求方程符合题意， 点 M 的轨迹方程为 20（12 分）已知在锐角ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分
25、别为 a，b，c，且 bsinAacos （B） （1）求 B； （2）设 b，a4，D 为 AC 上一点，若 SABD2，求 AD 的长 【分析】 （1） 由正弦定理化简已知等可得 sinBcos（B） ，化简可得：tanB，结 合范围 B（0，） ，情况 B 的值 （2）由题意及余弦定理可求 c 的值为 1 或 3，由于当 c1 时，cosA0，A 为钝角不符合题 意，可求 c3，根据题意利用三角形的面积之比即可求得 AD 的值 【解答】 （本题满分为 12 分） 解： （1）bsinAacos（B） 由正弦定理，可得 bsinAasinB， 可得：asinBacos（B） ，可得：sin
26、Bcos（B） ，化简可得：tanB， B（0，） ， B6 分 （2）由 b2a2+c22accosB，可得：c24c+30，解得：c1 或 c3，8 分 当 c1 时，cosA0，则 A 为钝角，不符合题意，故 c3，9 分 又SABCacsinB3， ， ADb12 分 21 （12 分）数列an中，a11，点 p（an，an+1）在直线 xy+20 上 （1）求数列an的通项公式； （2）令 bn，数列bn的前 n 项和为 Sn （ i）求 Sn； （ ii）是否存在整数（0） ，使得不等式（1）n（nN*）恒成立？若存在， 第 17页 共 20页第 18页 共 20页 求出所有的值；
27、若不存在，请说明理由 【解答】 解： （1）a11，点 p（an，an+1）在直线 xy+20 上，an+1an2， 即数列an为等差数列，公差为 2， an2n1 （2） （）， ， ， （）存在整数使得不等式（1）n（nN*）恒成立 因为 要使得不等式（1）n（nN*）恒成立， 应有 （1）n的最小值（nN*） （a）当 n 为奇数时，即 所以当 n1 时，的最大值为， 所以只需 （b）当 n 为偶数时， 所以当 n2 时，的最小值为， 所以只需 由（） （）可知存在，0 又为整数，所以值为1，1 日期：2020/10/24 17:37:51 ；用户：肖晓；邮箱：13939889201 ；
28、学号：30321718 箱： 13939889201 ；学号： 30371822 （12 分）已知椭圆 C：+1（ab0）短轴的两个顶点与右焦点的连线构成 等边三角形，椭圆 C 上任意一点到椭圆左右两个焦点的距离之和为 4 （）求椭圆 C 的方程； （）椭圆 C 与 X 轴负半轴交于点 A，直线过定点（1，0）交椭圆于 M，N 两点，求AMN 面积的最大值 【分析】 （）由题意 a2b，根据椭圆 C 上任意一点到椭圆左右两个焦点的距离之和为 4， 利用椭圆的定义求出 a，可得 b，即可求椭圆 C 的方程； （）设直线 MN：xmy1，联立椭圆方程，消去 x，运用韦达定理，再由AMN 面积为 S|AD|y1y2|，代入化简整理，再由对勾函数的性质，即可得到最大值 【解答】解： （）由题意 a2b，（2 分） 又 2a4，所以 a2，b1（4 分） 第 19页 共 20页第 20页 共 20页 椭圆方程为（5 分） （）A 点坐标为（2，0） ，直线 MN 过定点（1，0） ， 令直线 MN 的方程为 xmy1，（6 分） 联立，消去 x 得（m2+4）y22my30，（8 分） ，（9 分） （11 分） ，（12 分） 令 tm2+3，t3， ，（14 分） 当且仅当 tm2+33 即 m0 时，AMN 面积的最大值为（15 分）
