1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 2019-20202019-2020 学年度第二学期期中调研考试高二数学学年度第二学期期中调研考试高二数学 一、单选题：一、单选题：( (本大题本大题 9 9 小题，共小题，共 4545 分分) ) 1.若复数12zi ，则z （） A. 5 B. 10 C.2 3D. 13 【答案】A 【解析】 分析：直接利用复数模的计算公式即可得结果. 详解：12iz ，则 22 125z ，故选 A. 点睛：本题主要考查复数模的计算公式，意在考查对基本公式的掌握情况，属于简单题. 2.如果 2 1 1 mi i （mR，i表示虚数单位） ，
2、那么m() A.1B.1C. 2D. 0 【答案】B 【解析】 分析：复数方程左边分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为abi abR，的形式，利用 复数相等求出m即可 详解： 2 1 1 mi i 2 1 1 11 i mi ii 2222imi 解得1m 故选B 点睛：本题主要考查了复数相等的充要条件，运用复数的乘除法运算法则求出复数的表达式， 令其实部与虚部分别相等即可求出答案 3.已知函数 ( )f x的导函数为 ( )fx ，且满足( )3(2)lnf xfxx ，则(2) f 为() A. 1 4 B. 1 4 C. ln2 2 D. ln2 2 【答案】B 高考资源网（）您身边的高
3、考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 【解析】 【分析】 对函数 ( )f x求导，即可得出(2) f . 【详解】 1 ( )3(2) x fxf 1 (2)3(2) 2 ff，解得： 1 (2) 4 f 故选：B 【点睛】本题主要考查了求某点处的导数值，属于基础题. 4.下列求导运算正确的是() A. 2 11 1x xx B. 2 1 (log) ln2 x x C. 3 (3 )3 log xx e D.(sin2 )cos2xx 【答案】B 【解析】 【分析】 由导数公式，导数的运算法则以及复合函数求导的法则，进行判断即可. 【详解】 1 2 11 ( )1xxx xx 2 1 l
4、og ln2 x x 33 ln3 xx 函数sin2yx可看作函数sinyu和2ux的复合函数，根据复合函数的求导法则有 sin( ) (2 )2cos2cos2 xux yyuuxux 故选：B 【点睛】本题主要考查了导数公式，导数的运算法则以及复合函数求导的法则的应用，属于 基础题. 5.用数学归纳法证明： 111 11 2331 n n nNn ，时， 在第二步证明从nk到 1nk成立时，左边增加的项数是（） 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - A.23kB.3kC. 1 3k D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出 n=k+1 时左边最后的一项，
5、再求左边增加的项数. 【详解】n=k+1 时左边最后的一项为 1 1 31 k ，n=k 时左边最后一项为 1 31 k ， 所以左边增加的项数为 1 31 312 3 kkk . 故选 A 【点睛】本题主要考查数学归纳法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 6.二项式 10 2 2 ()x x 展开式中的常数项是() A. 180B. 90C. 45D. 360 【答案】A 【解析】 【分析】 在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于 0，求出r的值，即可求得常数项 【详解】解：二项式 10 2 2 ()x x 展开式的通项公式为 5 5 2 110 2 r rr r TCx ， 令 5
6、 50 2 r ，求得2r ，可得展开式中的常数项是 22 10 2180C ， 故选A 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数， 二项式系数的性质，属于基础题 7.某高校外语系有 8 名志愿者,其中有 5 名男生,3 名女生,现从中选 3 人参加某项测试赛的翻 译工作,若要求这 3 人中既有男生,又有女生,则不同的选法共有() A. 45 种B. 56 种C. 90 种D. 120 种 【答案】A 【解析】 【分析】 将3人中既有男生又有女生分成两种情况：1个男生2个女生；2个男生1个女生.然后利用分 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源
7、网 - 4 - 步计数原理计算出两种情况的方法数，再相加求得总的选法数. 【详解】3人中既有男生又有女生分成两种情况：1个男生2个女生；2个男生1个女生.“1个 男生2个女生”的方法数有 12 53 15C C . “2个男生1个女生”的方法数有 21 53 30C C .故总 的方法数有153045种.所以本题选 A. 【点睛】本小题主要考查分类加法计数原理，考查分步乘法计数原理，属于基础题.对于比较 复杂的计数问题，往往先通过分类的方法，将复杂的问题转化为几个较为简单的问题来计算. 在计算每个简单的问题过程中，又是用分步计数原理来计算方法数.最后相加得到总的方法 数. 8.由0,1,2,3
8、,5组成的无重复数字的五位偶数共有（ ） A.36个B.42个C.48个D.120个 【答案】B 【解析】 分两类：一、若五位数的个位数是0，则有 1 4 3 2 124n 种情形； 二、若五位数的个位数是2，由于0不排首位，因此只有1,3,5有3种情形，中间的三个位置 有32 16 种情形，依据分步计数原理可得 2 3 618n 种情形 由分类计数原理可得所有无重复五位偶数的个数为 12 24 1842nnn，应选答案 B 9.已知 2 1 ln(0) 2 f xa xxa，若对任意两个不等的正实数 1 x， 2 x，都有 12 12 2 f xf x xx 恒成立，则a的取值范围是（） A
9、.0,1B.1,C.0,1D.1, 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：根据 12 12 ( )() 2 f xf x xx 可知 1122 12 ()2 ()2 0 f xxf xx xx ， 令 2 1 ( )2ln()20 2 g xfxxa xaxx为增函数， 所以 200,0 a gxxxa x 恒成立，分离参数得2axx，而当0 x 时， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 2xx最大值为1，故1a . 考点：函数导数与不等式，恒成立问题 二、多选题：二、多选题：( (本大题本大题 3 3 小题，共小题，共 1515 分分) ) 10.若 10210
10、 01210 (21),xaa xa xa xxR，则（） A. 0 1a B. 0 0a C. 10 01210 3aaaaD. 01210 3aaaa 【答案】AC 【解析】 【分析】 根据选项的特点，采用赋值法求解. 【详解】因为 10210 01210 (21),xaa xa xa xxR， 令0 x 得 0 1a ，故 A 正确. 令1x 得 10 01210 3aaaa，故 C 正确. 故选:AC 【点睛】本题主要考查二项式定理展开式的项的系数和系数的和，一般采用通项公式和赋值 法，属于中档题.， 11.定义在R上的可导函数 yf x的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（） A
11、. -3 是 fx的一个极小值点； B. -2 和-1 都是 fx的极大值点； C. fx的单调递增区间是3, ； D. fx的单调递减区间是, 3 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 【答案】ACD 【解析】 【分析】 由导函数与单调性、极值的关系判断 【详解】当3x 时，( )0fx ，( 3,)x 时( )0fx ， 3是极小值点，无极大值点，增区间是3, ，减区间是, 3 故选：ACD. 【点睛】本题考查导数与函数单调性、极值的关系，一定要注意极值点两侧导数的符号相反 12.已知 2 1 () (0) n axa x 的展开式中第 5 项与第 7 项的二项数
12、系数相等，且展开式的各项系 数之和为 1024，则下列说法正确的是（） A. 展开式中奇数项的二项式系数和为 256 B. 展开式中第 6 项的系数最大 C. 展开式中存在常数项 D. 展开式中含 15 x 项的系数为 45 【答案】BCD 【解析】 【分析】 由二项式的展开式中第 5 项与第 7 项的二项数系数相等可知10n ,由展开式的各项系数之和 为 1024 可得1a ,则二项式为 10 10 1 22 2 1 xxx x ,易得该二项式展开式的二项式系 数与系数相同,利用二项式系数的对称性判断 A,B；根据通项判断 C,D 即可. 【详解】由二项式的展开式中第 5 项与第 7 项的二
13、项数系数相等可知10n , 又展开式的各项系数之和为 1024,即当1x 时, 10 11024a,所以1a , 所以二项式为 10 10 1 22 2 1 xxx x , 则二项式系数和为 10 21024 ,则奇数项的二项式系数和为 1 1024512 2 ,故 A 错误； 由10n 可知展开式共有 11 项,中间项的二项式系数最大,即第 6 项的二项式系数最大, 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - 因为 2 x与 1 2 x 的系数均为1,则该二项式展开式的二项式系数与系数相同,所以第6项的系数最 大,故 B 正确； 若展开式中存在常数项,由通项 1 2 10
14、 2 110 r rr r TC xx 可得 1 2 100 2 rr,解得8r ,故 C 正确； 由通项 1 2 10 2 110 r rr r TC xx 可得 1 2 1015 2 rr,解得2r = =,所以系数为 2 10 45C,故 D 正确, 故选: BCD 【点睛】本题考查二项式的定理的应用,考查系数最大值的项,考查求指定项系数,考查运算能 力. 三、填空题：三、填空题：( (本大题本大题 4 4 小题，共小题，共 2020 分分) ) 13. 12345 55555 CCCCC_ 【答案】31 【解析】 【分析】 由题意结合组合数公式计算所给的式子即可. 【详解】由题意可得：
15、 12345 55555 CCCCC 5 10 105 1 31. 故答案为 31 【点睛】本题主要考查组合数的计算，属于基础题. 14.函数 x yxe在其极值点处的切线方程为_. 【答案】 1 y e 【解析】 ( )( )(1) xx yf xxefxx e，令( )01fxx ，此时 1 ( 1)f e 函数 x yxe在其极值点处的切线方程为 1 y e 考点： ：导数的几何意义. 15.设 0( ) cosfxx， 10 fxfx， 21 fxfx， 1nn fxfx nN，若ABC 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 的内角A满足 1232022 (
16、)( )( )( )0f AfAfAfA，则sin A=_. 【答案】 2 2 【解析】 【分析】 低次求导，归纳出一般的规律，然后代入已知等式计算 【 详 解 】 由 已 知 0( ) cosfxx， 10 ( )( )sinf xfxx ， 21 ( )( )cosfxfxx ， 32 ( )( )sinfxfxx ， 43 ( )( )cosfxfxx ， 54 ( )( )sinfxfxx ， ( ) n fx是周期数列，周期为 4，且 1234 ( )( )( )( )0f xfxfxfx， 123202212 ( )( )( )( )( )( )sincos0f AfAfAfAf
17、AfAAA ，tan1A ， 又A是三角形内角，135A， 2 sin 2 A 故答案为： 2 2 【点睛】本题考查三角函数的求导公式，考查归纳法，解题关键是从1n 开始，依次求出导 数 12345 ( ),( ),( ),( ),( )f xfxfxfxfx，得出( ) n fx的周期性 16.设函数 3 3 2 xx xa f x x xa ， ， ，若 fx无最大值，则实数a的取值范围是_ 【答案】1a 【解析】 【分析】 若f（x）无最大值，则 3 1 23 a aaa ，或 3 1 23 22 a aaa a ，解得答案 【详解】f（x） 2 33 2 xxa xa ， ， ， 令f
18、（x）0，则x1， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - 若f（x）无最大值，则 3 1 23 a aaa ，或 3 1 23 22 a aaa a ， 解得：a（，1） 故答案为1a 【点睛】本题主要考查导数和分段函数的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析 推理能力. 四、解答题四、解答题( (本大题本大题 6 6 小题，共小题，共 7070 分分) ) 17.（1）计算： 233 100100101 ()CCA （2）解方程： 322 1 326 XXX AAA 【答案】 （1） 1 6 ； （2）5x . 【解析】 分析：分析：灵活运用排列组合公式 详解
19、详解： （1） （+） = =； （2）3=2+6， 3x（x1） （x2）=2x（x+1）+6x（x1） ， 化简得 3x 217x+10=0， 解得 x=5，x=（不合题意，舍去） ； x=5 点睛：点睛：本题主要考查了组合及组合数、排列公式的灵活应用，考查学生的计算能力，属于基 础题 18.已知函数( )ln ()f xxax aR. （）当2a 时，求曲线y fx在点(1, (1)Af处的切线方程； （）求函数 fx的极值. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 【答案】(1)xy20；(2) 当a0 时，函数f(x)无极值；当a0 时，函数f(x)在xa
20、处取得极小值aalna无极大 【解析】 解：函数 f(x)的定义域为(0，)，f(x)1 a x . (1)当 a2 时，f(x)x2ln x， f(x)1 2 x (x0)， 因而 f(1)1，f(1)1， 所以曲线 yf(x)在点 A(1，f(1)处的切线方程为 y1(x1)，即 xy20. (2)由 f(x)1 a x xa x ，x0 知： 当 a0 时，f(x)0，函数 f(x)为(0，)上的增函数，函数 f(x)无极值； 当 a0 时，由 f(x)0，解得 xa， 又当 x(0，a)时，f(x)0， 从而函数 f(x)在 xa 处取得极小值，且极小值为 f(a)aaln a，无极大
21、值 综上，当 a0 时，函数 f(x)无极值； 当 a0 时，函数 f(x)在 xa 处取得极小值 aaln a，无极大值 19.已知数列 n a满足 1 1 2 a ， * 1 211 n n n a anN na . （1）计算 2 a， 3 a， 4 a，根据计算结果，猜想 n a的表达式； （2）用数学归纳法证明你猜想的结论. 【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析. 【解析】 分析： （1）计算 2 a， 3 a， 4 a，根据计算结果，猜想 * 1 1 n anN n n . （2）用数学归 纳法证明猜想的结论. 详解： （1）当2n 时， 1 2 1 1 416 a a a
22、； 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - 当3n 时， 2 3 2 1 6112 a a a ； 当4n 时， 3 4 3 1 8120 a a a ， 由此猜想 * 1 1 n anN n n ； （2）下面用数学归纳法证明 * 1 1 n anN n n ， 当1n 时，显然成立， 假设当1nk k时猜想成立，即 1 1 k a k k ， 由题意得 1 1 21112 k k k a a kakk ，当1nk时猜想也成立； 由和，可知猜想成立，即 * 1 1 n anN n n . 点睛：在利用数学归纳法证明数学问题时，一定要注意利用前面的1nk k时的假 设
23、，否则就是伪数学归纳法，是错误的. 20.毕业季有6位好友欲合影留念，现排成一排，如果： （1）A、B两人不排在一起，有几种排法？ （2）A、B两人必须排在一起，有几种排法？ （3）A不在排头，B不在排尾，有几种排法？ 【答案】 （1）480； （2）240； （3）504. 【解析】 【分析】 （1）利用插空法可求出排法种数； （2）利用捆绑法可求出排法种数； （3）分两种情况讨论：若A在排尾；若A不在排尾.分别求出每一种情况的排法种数， 由加法原理计算可得出答案. 【详解】 （1）将A、B插入到其余4人所形成的5个空中，因此，排法种数为 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网
24、- 12 - 42 45 24 20480A A ； （2）将A、B两人捆绑在一起看作一个复合元素和其他4人去安排， 因此，排法种数为 25 25 2 120240A A ； （3）分以下两种情况讨论： 若A在排尾，则剩下的5人全排列，故有 5 5 120A 种排法； 若A不在排尾，则A有4个位置可选，B有4个位置可选，将剩下的4人全排列，安排在 其它4个位置即可，此时，共有 114 444 384C C A 种排法. 综上所述，共有120384504种不同的排法种数. 【点睛】本题考查了排列、组合的应用，同时也考查了插空法、捆绑法以及分类计数原理的 应用，考查计算能力，属于中等题. 21.如
25、图， 某隧道的剖面图是由半圆及矩形ABCD组成， 交通部门拟在隧道顶部安装通风设备 （视作点P） ，为了固定该设备，计划除从隧道最高点Q处使用钢管垂直向下吊装以外，再在 两侧自,A B两点分别使用钢管支撑.已知道路宽8ABcm，设备要求安装在半圆内部，所使 用的钢管总长度为L. （1）设PQx，将L表示为关于x的函数； 设PAB，将L表示为关于的函数； （2）请选用（1）中的一个函数关系式，说明如何设计，所用的钢管材料最省？ 【答案】 （1） 2 2416 04Lxxx ； 2sin 440 cos4 L （2） 见解析 【解析】 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13
26、- 【分析】 （1）延长QP交AB于点E，利用解直角三角形可得 2 2416 04Lxxx 且 2sin 440 cos4 L . （2）选取中的函数关系式，利用导数可求其最小值. 【详解】 （1）延长QP交AB于点E，则 QEAB，且E为AB的中点， 所以 1 4 2 EAEBEQAB，由对称性可知，PAPB. 若PQx，则04x，4EPx， 在Rt PAE中， 2 22 416PAPEAEx ， 所以 2 22416 04LPQPAxxx ， 若PAB，则0 4 ， 在Rt PAE中， 4 coscos AE PA ，tan4tanPEAE， 所以44tanPQQEPE， 所以 42sin
27、 244tan2440 coscos4 LPQPA . （2）选取中的函数关系式， 2sin 440 cos4 L ， 记 2sin 0 cos4 f ， 则由 2 2sin1 0 cos f 及0 4 可得， 6 ， 当 0, 6 时 0f ，此时 f单调递减， 当, 6 4 时 0f ，此时 f单调递增， 所以当 6 时， f取得最小值， 从而钢管总长度为L取得最小值，即所用的钢管材料最省. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - 【点睛】本题为应用题，主要考查数学建模和解模，注意建模时要依据图形特征选择合适的 构建方法并关注自变量的范围，解模时可以依据模型的函数
28、特点选择合适的解模方法（如基 本不等式、导数等）. 22.已知函数 2 1 1ln 2 axafxxx aR . （1）当0a 时，求函数 fx的最小值； （2）当0a 时，求函数 fx的单调区间； （3）当0a 时，设函数 g xxf x，若存在区间 1 , 2 m n ，使得函数 g x在 ,m n上的值域为22,22k mk n ，求实数k的取值范围. 【答案】 （1）1； （2）见解析； （3） 92ln2 (1, 10 . 【解析】 【分析】 （1）求 ( )fx ，当0a 时，求出0fxfx 的解，进而得到单调区间，求出极小值， 最小值； （2）求出( )0fx的根，对a分类讨论，
29、求出0fxfx 的解，即可得出结论； （3）求出( ),( )g x g x，得到( )g x在 1 ,) 2 单调区间，求出( )g x在 , m n的最值，转化为 ( )(2)2g xk x 在 1 ,) 2 上至少有两个不同的根 ,m n，分离参数得到 ( )2 2 g x k x ，求出 yk与函数 ( )21 () 22 g x yx x 图象至少有两交点时，k的取值范围. 【详解】 （1） 1 ( )1fxaxa x ， 当0a 时， 11 ( )1 x fx xx ， ( )0,01,( )0,1fxxfxx， ( )f x单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)， 1x
30、 时， ( )f x取得极小值，也是最小值， ( )f x的最小值为(1)1f； 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 - （2）当0a 时， 1(1)(1) ( )1 xax fxaxa xx ， 令( )0,1fxx或 1 x a ， 若1a 时，( )0fx恒成立，函数 ( )f x单调递减区间是(0,)， 若1a 时， 1 1 a ，当 1 0 x a 或1x 时， ( )0fx ， 当 1 1x a 时，( )0fx， 即函数 ( )f x递减区间是 1 (0,),(1,) a ，递增区间是 1 (,1) a ， 若01a时， 1 1 a ，当01x或 1 x
31、 a 时， ( )0fx ， 当 1 1x a 时，( )0fx， 即函数 ( )f x递减区间是 1 (0,1),(,) a ，递增区间是 1 (1, ) a ， 综上，若1a 时，函数 ( )f x的递减区间是(0,)，无递增区间 若1a 时，函数 ( )f x的递减区间是 1 (0,),(1,) a ，递增区间是 1 (,1) a ， 若01a时，函数 ( )f x的递减区间是 1 (0,1),(,) a ，递增区间是 1 (1, ) a ； （3）当0a 时，设函数 2 ( )( )lng xxf xxxx， 则( )2ln1g xxx，设 1 ( )( ),( )2(0)h xg x
32、 h xx x ， 当 1 2 x 时，( )0,( )h xg x为增函数， 1 ( )( )ln20,( ) 2 g xgg x 在 1 ,) 2 为增函数， ( )g x在区间 1 , 2 m n 上递增， 函数 g x在,m n上的值域为22,22k mk n ， ( )(2)2, ( )(2)2g mk mg nk n， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 16 - ( )(2)2g xk x 在 1 ,) 2 上至少有两个不同的根 1 , ,() 2 m n mn， 即 ( )2 2 g x k x ，令 2 ln21 ( )() 22 xxx F xx x ，
33、 2 2 32ln4 ( ) (2) xxx F x x ，令 2 1 ( )32ln4() 2 G xxxxx， 则 2(21)(2)1 ( )230,() 2 xx G xxx xx 恒成立， ( )G x在 1 ,) 2 递增， 1 ( )0,(1)0 2 GG， 当1)1, 2 x时，( )0,( )0G xF x， 当(1,)x时，( )0,( )0G xF x， 所以( )F x在 1 ,1) 2 单调递减，在(1,)单调递增， 当,( )xF x ， 192ln2 (1)( ),1 210 FkFk ， 即实数k的取值范围是 92ln2 (1, 10 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值最值，零点，构造函数是解题的关键， 考查了分类讨思想及逻辑推理、运算求解能力，属于较难题. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 17 -
