1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 期中数学（理科）考试题期中数学（理科）考试题 （9090 分钟分钟 满分满分 100100） 一、选择题（本题有一、选择题（本题有 1212 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，共分，共 3636 分分. .每题只有一个正确选项，不选、多选每题只有一个正确选项，不选、多选、 错选都不得分）错选都不得分） 1.在复平面内,复数 i 1i z 所对应的点位于（） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】A 【解析】 ii(1 i)1 i 1 i(1 i)(1 i)2 z ,在复平面内对应的点为 1 1 (
2、, ) 2 2 ,在第一象限,故选A. 2.若复数z满足12zii，则复数z等于（） A.1 iB.1iC. 1 2 2 iD. 2 【答案】A 【解析】 【分析】 直接利用复数的除法运算化简即可. 【详解】由12zii，得 2 1222 1 1112 iiii zi iii . 故选：A. 【点睛】本题考查了复数代数形式的除法运算，属于基础题. 3.已知 sincosf xxx，则 f等于（） A.2sinB.2sin 4 C.cosD.sin 【答案】B 【解析】 【分析】 利用函数的求导法则，求出 fx ，再令x求出 f . 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 -
3、 【详解】由 sincosf xxx，得 cossin2sin 4 fxxxx ， 所以， 2sin 4 f . 故选：B. 【点睛】本题考查了函数求导法则，函数值的运算，属于基础题. 4. 2 0 sin xdx （） A. 4B. 2C. -2D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】 根据积分公式直接计算即可. 【详解】 2 2 0 0 sincos |cos2cos01 10 xdxx . 故选：D. 【点睛】本题主要考查积分的计算，要求熟练掌握常见函数的积分公式，属于基础题. 5.曲线 y=x 3+x-2 在点 P 0处的切线平行于直线 y=4x，则点 P0的坐标是（ ） A. (0,
4、1)B. (1,0)C. (-1,-4)或（1,0）D. (-1,-4) 【答案】B 【解析】 解：因为曲线 y=x 3+x-2 在点 P 0处的切线平行于直线 y=4x 所以 y=3x 2+1,在 x=x 0处的斜率为 4，即 3x0 2+1=4，x 0=1 其坐标为(-1,-4)或（1,0） 6.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于 60”时，反设正确 的是() A. 假设三内角都不大于 60B. 假设三内角都大于 60 C. 假设三内角至多有一个大于 60D. 假设三内角至多有两个大于 60 【答案】B 【解析】 【分析】 “至少有一个”的否定变换为“一个都没有”，即可求出
5、结论. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - 【详解】“三角形的内角中至少有一个不大于 60”时， 反设是假设三内角都大于60. 故选：B. 【点睛】本题考查反证法的概念，注意逻辑用语的否定，属于基础题. 7.“四边形ABCD是矩形，四边形ABCD的对角线相等.”补充以上演绎推理的大前提 是（） A. 四边形ABCD是矩形B. 矩形是对角线相等的四边形 C. 四边形ABCD的对角线相等D. 矩形是对边平行且相等的四边形 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意，用三段论的形式分析，即可得到结论. 【详解】由题意，用演绎推理的三段论形式推导一个结论成立，大前提应该是结论
6、成立的依 据， 由四边形ABCD为矩形，得到四边形ABCD的对角线相等的结论， 大前提一定是矩形的对角线相等. 故选：B. 【点睛】本题考查演绎推理的定义，关键是掌握演绎推理的形式，属于基础题. 8.(3)(4)(9)(10)(,10)nnnnnnN可表示为（） A. 9 3 AnB. 8 3 AnC. 7 3 AnD. 7 3 Cn 【答案】B 【解析】 (3)(4).(9)(10)nnnn(3)(3 1).(36)(37)nnnn 8 3 An，故选B 9.设i为虚数单位，若复数z满足 1 z i i ，其中z为复数z的共轭复数，则z （） A. 1B. 2 C. 2 2 D. 2 【答案
7、】B 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 【解析】 【分析】 设复数zabi，则共轭复数z abi ，利用复数代数形式的乘除运算化简即可. 【详解】由题意，设复数zabi，则共轭复数z abi ， 由 1 z i i ，得11ziiiabi ， 所以1a ，1b ，即1zi ，故2z . 故选：B. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的共轭复数，考查复数的摸，属于基 础题. 10.函数 yf x在定义域 3 (,3) 2 内可导，其图象如图所示，记 yf x的导函数为 yfx ，则不等式 0fx 的解集为（） A. 1 ,12,3) 3 B. 14 8
8、 1, 23 3 C. 3 1 ,1,2 2 2 D. 31 48 , 1,3 22 33 【答案】A 【解析】 【分析】 根据导数大于 0 时函数单调递增，导数小于 0 时原函数单调递减，确定函数 ( )f x的单调性 【详解】解：由图象可知，即求函数的单调减区间， 从而有解集为 1 ,12,3) 3 ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 故选：A 【点睛】本题主要考查了函数的单调性与导数的关系，解题的关键是识图，属于基础题 11.设 * 111 12 f nnN nnnn ，那么 1f nf n等于（） A. 11 211nn B. 11 221nn C. 1
9、11 21221nnn D. 11 2122nn 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意，写出1f n，作差即可. 【详解】由题意， 111 12 f n nnnn ， 则 11111 1 1 11211111 f n nnnnnnnn ， 所以 111111 1 232212 f nf n nnnnnnn ， 即 111 1 21221 f nf n nnn . 故选：C. 【点睛】本题考查数学归纳法，正确弄清由n到1n时增加和减少的项是解题的关键，属于 基础题. 12.已知对任意实数，有()( ), ()( )fxf x gxg x ，且时( )0,( )0fxg x， 则时（ ） A.
10、( )0,( )0fxg xB.( )0,( )0fxg x C.( ) 0,( ) 0fxg xD.( )0,( )0fxg x 【答案】B 【解析】 试题分析：()( ), ()( )fxf x gxg x ，所以 fx是奇函数，关于原点对称， g x是 偶函数，关于 y 轴对称，时( )0,( )0fxg x则 ,f xg x都是增函数，由对称性 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 可知时 fx递增， g x递减，所以( )0,( )0fxg x 考点：函数奇偶性单调性 二、填空题二、填空题： （本大题共（本大题共 4 4 小题；每小题小题；每小题 3 3 分
11、，共分，共 1212 分分. .） 13.复数 2 12 i i 的共轭复数是 _ 【答案】i. 【解析】 2(2)(12 )5 1 2(1 2 )(12 )5 iiii i iii ，故该复数的共轭复数为i. 14.函数 f(x)x 33ax23(a2)x1 有极大值又有极小值，则 a 的范围是 【答案】 【解析】 【分析】 将原问题转化为二次函数有两个不相等的实数根的问题，然后求解a的取值范围即可. 【详解】由题意可得： 2 3632fxxaxa， 若函数有极大值又有极小值，则一元二次方程 2 36320 xaxa有两个不同的实数根， 即： 2 64 3 320aa ，整理可得：整理可得：
12、36120aa， 据此可知a的取值范围是2a 或1a . 【点睛】(1)可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在x0左侧与右 侧f(x)的符号不同 (2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增 或减的函数没有极值 15.安排 5 名歌手的演出顺序时，要求甲歌手不第一个出场，另一名歌手乙不最后一个出场， 不同的排法种数是_ （用数字作答） 【答案】78. 【解析】 分析：分两种情况：甲在最后一个位置时，乙在剩下的位置中任意选择即可，当甲不在第一 个和最后一个时，甲有 3 种选择，乙也有三种选择，剩下的人全排列. 详解
13、： 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - 当甲在最后一个位置时，乙在剩下的位置中任意选择即可，方法种数为 4 4 A种，当甲不在第一 个和最后一个时，甲有 3 种选择，乙也有三种选择，剩下的人全排列即可， 3 3 3 354A 共 有 54+24=78 种. 故答案为78. 点睛:排列与组合问题要区分开，若题目要求元素的顺序则是排列问题，排列问题要做到不重 不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素,高考中常见的排列 组合问题还有分组分配问题，即不同元素分到不同组内时，通常先分组后分配. 16.给出下列不等式: 11 11 23 1113 1 2
14、372 111 12 2315 则按此规律可猜想第n个不等式为_ 【答案】 * 1 1111 1 23212 n n n N 【解析】 观察各式左边为 的和的形式，项数分别为 3,7,15，可猜想第n个式子中左边应有 2 n1 1 项，不等式右边分别写成 ， ， ，猜想第n个式子中右边应为，按此规律可 猜想此类不等式的一般形式为：1 (nN N *) 三、解答题三、解答题： （本大题共（本大题共 5 5 小题，共小题，共 5252 分分. .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. .） 17.计算： （1） 78 1010 CC； （2） 2 2 2(2
15、 4)xx dx . 【答案】 （1）165（2）2 【解析】 【分析】 （1）直接根据组合数公式计算即可； 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - （2）直接利用牛顿莱布尼茨公式，定积分的几何意义计算即可. 【详解】 （1） 7883 10101111 11 10 9 165 3 2 1 CCCC . （2） 222 22 222 2424xxdxxdxx dx ， 其中 2 2 2 2 2 2|440 xdxx ， 2 2 2 4x dx 表示的是半径为2的圆的面积的 1 2 ，即 2 2 2 42x dx ， 所以 2 2 2 24022xxdx . 【点睛】本题
16、考查组合数公式的计算，定积分的计算，解题的关键是理解定积分的几何意义， 考查学生的运算能力，属于基础题. 18.已知曲线 3 :C f xxx. (1)求曲线C在点 1,1f处的切线方程； (2)求与直线53yx平行的曲线C的切线方程. 【答案】(1)220 xy(2) 54 20 xy或54 20 xy. 【解析】 【分析】 (1)由题意可得 10f， 切线的斜率为 12kf ， 据此可得切线方程为220 xy. (2)设与直线53yx平行的切线的切点为 00 ,xy，由导函数与切线的关系可得 0 2x ，则切线方程为54 20 xy或54 20 xy. 【详解】(1) 3 f xxx， 1
17、0f，求导数得 2 31fxx， 切线的斜率为 12kf ， 所求切线方程为21yx，即220 xy. (2)设与直线53yx平行的切线的切点为 00 ,xy， 则切线的斜率为 2 00 31kfxx. 又所求切线与直线53yx平行， 2 0 315x ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - 解得 0 2x ，代入曲线方程 3 f xxx得切点为 2,2或 2,2， 所求切线方程为25(2yx)或25(2yx)， 即54 20 xy或54 20 xy. 【点睛】本题主要考查导函数研究函数的切线方程及其应用，导数的几何意义等知识，意在 考查学生的转化能力和计算求解能力
18、. 19.设mR，复数 22 23232zmmmmi,试求m为何值时，z分别为： (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数 【答案】(1) 1 或 2 时; (2)1m且;(3) 1 2 . 【解析】 【分析】 （1）利用虚部等于零列方程求解即可； （2）利用虚部不等于零可得结果； （3）利用实部等于 零且虚部不等于零求解即可. 【详解】(1)当z为实数时，则有m 23m20，解得 m1 或 2.即m为 1 或 2 时，z为实数 (2)当z为虚数时，则有m 23m20，解得 m1 且m2.即m1 且m2 时，z为虚数 (3)当z为纯虚数时，则有 2m 23m-20 且 m 23m20，解得 m.
19、【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚 部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的分类问题，一定要注意 计算的准确性. 20.已知数列 n a中， 11 1,21 nn aaa ， （）求 2345 ,a a a a； （）猜想 n a的表达式，并用数学归纳法证明 【答案】(I） 2345 3,7,15,31aaaa； （II）见解析. 【解析】 试题分析： （1）由已知直接求出 2345 ,a a a a的值； （2）猜想21 n n a ，注意数学归纳法的 步骤 试题解析：(1） 2345 3,7,15,31aaaa； 高考资源网（
20、）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - （2）猜想：21 n n a 证明：当 n=1 时， 1 1 211a ，猜想成立. 假设 n=k 时成立，即21 k k a ， 则当 n=k+1 时，由 1 21 nn aa 得 1 1 212 21121 kk kk aa 所以n=k+1 时，等式成立. 所以由知猜想21 n n a 成立. 21.已知函数 ln x fxexm，其中mR且m为常数. （1）试判断当0m 时函数 fx在区间1,上的单调性，并说明理由； （2）设函数 fx在0 x 处取得极值，求m的值，并讨论函数 fx的单调性. 【答案】 （1）当0m 时函数 fx在区
21、间1,上为增函数.见解析（2）1m ， fx在 1,0上单调递减，在0,单调递增. 【解析】 【分析】 （1）将0m 代入函数得 ln x f xex，求得导函数，再判断导函数的符号即可； （2）根据题意由 00 f 得1m ，从而可得 fx，进而判断 fx的单调区间，再由导 函数零点可知其符号变化情况，从而可得 fx的单调性. 【详解】 （1）当0m 时， ln x f xex，则 1 x fxe x . 当1,x时， x ee ， 1 1 x ，即 0fx ， 当0m 时函数 fx在区间1,上为增函数. （2）由题意，得 1 x fxe xm ， 因0 x 是 fx的极值点，得 00f，即 0 1 0e m ，解得1m ， 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - 于是 ln1 x fxex，定义域为1, ， 1 1 x fxe x ， 显然函数 1 1 x fxe x 在1, 上单调递增，且 00f， 因此当1,0 x 时， 0fx ；当0,x时， 0fx ， 所以 fx在1,0上单调递减，在0,单调递增. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，正确理解导数与函数单调性的关系是 解题关键，属于基础题. 高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 -
