1、第 1 页 共 9 页 上海实验学校高二上期中考数学试卷上海实验学校高二上期中考数学试卷 2020.11 一、填空题一、填空题 1过点(2, 1)且法向量为(2, 1)的直线方程是 2已知向量(3,0) a，(2,6) b，则 b在 a上的投影是 3已知( 2,0)A，(3,0)B，动点( , )P x y满足 2 6 P AP Bx，则动点P的轨迹方程 是 4直线220 xy与4230 xy的夹角是 5已知方程 22 0 xA xyyD xE yF表示一个圆的充要条件是 6圆心在直线1 yx上，且与直线20 xy相切于点(1,1)的圆的方程是 7已知点(2, 3)A，( 3, 2)B，直线l
2、过点(1,1)P且与直线A B有交点，则直线l的斜率k的 取值范围是 8已知直线:10 l xy， 1:2 20lxy，若直线 2 l与 1 l关于直线l对称，则直线 2 l的 方程为 9在A BC中， 1 2 BDD C， A EE B，点F为A D C内（包括边界）任意一点，若 E FE BE D，则2的取值范围是 10若恰有三组不全为 0 的实数对( , )a b满足关系式 22 | 23| |533|ababt ab，则 实数t的所有可能的值为 二、选择题二、选择题 11“两条直线的斜率乘积为1”是“两条直线互相垂直”的（） A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分又不必
3、要条件 12已知点( , )Ma b在圆 22 :1Oxy外，则直线1axby与圆O的位置关系是（） A相交B相切C相离D不确定 第 2 页 共 9 页 13数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 22 :1 | C xyx y就是其中之一（如 图）给出下列三个结论： 曲线C恰好经过 6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； 曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2； 曲线C所围成的“心形”区域的面积小于 3； 其中，所有正确结论的序号是（） ABCD 14 已知, ,a b c 是平面内的三个单位向量， 若ab ， 则|2 |32|acabc 的最小值是 （） A293 2B29C292
4、3D5 三、解答题三、解答题 15已知| 1 a，| 1 b，且向量 a与 b不共线 （1）若 a与 b的夹角为45，求(2) () abab； （2）若向量 kab与 kab的夹角为钝角，求实数k的取值范围 16已知A BC的顶点(2,1)A，A B边上的中线所在直线的方程为2310 xy，B的 平分线所在直线的方程为250 xy， （1）求B点坐标； （2）求BC边所在的直线方程 第 3 页 共 9 页 17在A BC中，2A C，6BC，60A CB，点O为A BC所在平面上一点，满 足 O Cm O AnO B（,Rm n，且1mn） （1）证明： 11 mn COCACB mnmn
5、； （2）若点O为A BC的重心，求,m n的值； （3）若点O为A BC的外心，求,m n的值 18 （1）已知直线l过点( 3,4)P，若直线l在两坐标轴上的截距之和为 12，求直线l的一般 式方程； （2）已知直线l过点(3,2)P且与x轴，y轴的正半轴相交于,A B两点，求A BO面积最小 值及这时直线l的一般式方程； （3）已知直线l经过点(2, 2)P，且与第一象限的平分线(0)yx x，y轴（原点除外） 分别交于,A B两点，直线l，射线(0)yx x，y轴围成的三角形O A B的面积为 12，则 符合要求的直线共有几条，并说明理由 四、附加题四、附加题 第 4 页 共 9 页
6、19已知曲线 2 :Cyax，直线 12 ,l l都过点(1, 2)且互相垂直，若曲线C与直线 12 ,l l中的至 少一条相交，求实数a的取值范围 20 设0 ab， 过两定点( ,0)A a，(0, )Bb分别引直线l和m（斜率都存在） ， 使与曲线 2 yx 有四个不同的交点，当这四个点共圆时，求直线l和m的交点P的轨迹 第 5 页 共 9 页 参考答案参考答案 一、填空题一、填空题 1250 xy223 2 yx4 3 arccos 5 50A且 22 40DEF 6 22 111 222 xy7 1 5 k 8210 xy9 8, 1 10 5 2 ， 11 53 53 ， 11 5
7、 【第 1 题解析】由直线的点法向式，得2(2)(1)0 xy，即250 xy 【第 2 题解析】 b在 a上的投影是2 | a b a 【第 3 题解析】 2 ( 2,) (3,)6 P AP Bxyxyx动点P的轨迹方程是 2 yx 【第 4 题解析】两直线的法向量为 1 (2, 1) n， 2 (4,2) n， 12 12 |3 cos 5| | nn nn ， 两直线的夹角 3 arccos 5 【第 6 题解析】由题意，圆心在过点(1,1)，直线20 xy的垂线上，易得该直线的方程 为 11 11 xy ，即yx，与1 yx联立，可求得圆心为 1 1 , 2 2 ，半径为 1 1 ,
8、 2 2 与(1,1) 的距离 2 2 ，所求的圆的方程为 22 111 222 xy 【第 7 题解析】直线A B的斜率为 1 5 k ，直线l与直线A B不平行即可， 1 5 k 【第 8 题解析】直线l与直线 1 l的交点为(1,0)，由 12 12 11 kkkk kkk k 可得直线 2 l的斜率 2 1 2 k，直线 2 l的方程为 1 0(1) 2 yx，即210 xy 【第 9 题解析】记 1 2 E GE D， 则2 E FE BE DE BE G， 由等系数和线知识，当点F在直线BG上时，21， 当点F在点A处时，由 E AE B，得此时21 ， 当点F在点C处时，由题意，
9、易得33() E CE BBCE BBDE BE BE D 第 6 页 共 9 页 23 E BE D，此时2 ，3，28 ， 综上，2的取值范围是 8, 1 【第 10 题解析】条件即 2222 | 23|533| abab t abab ，表示有且仅有三条不同的直线 :30l axby（不过原点（不过原点） ，使得点(2,1)A和点(5, 3)B到直线l的距离等于t （1） 15 | 22 tA B时，易得符合题意的直线l为线段A B的垂直平分线68290 xy以 及直线A B的两条平行线8630 xy和86470 xy； （2） 15 | 22 tA B时，有 4 条直线l会使得点(2,
10、1)A和点(5, 3)B到它们的距离相等，注 意到l不过原点，当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去， 作为增根被舍去的直线l，过原点和,A B的中点 7 , 1 2 M，其方程为270 xy， 此时 115 253 Al td，符合； 作为增根被舍去的直线l，过原点且以 A B为方向向量，其方程为430 xy， 此时 115 52 Al td，符合； 综上，满足题意的实数t为 5 2 ， 11 53 53 ， 11 5 二、选择题二、选择题 11A12A13C14B 【第 11 题解析】必要性的反例：一条直线的斜率为 0，另一条直线的斜率不存在 【第 12 题解析】由题意， 22 1ab，
11、从而 22 1 1 Ol dr ab ，直线与圆相交，选 A 【第 13 题解析】整点仅有(1,0),(11),(0,1),( 1,1),( 1,0),(0, 1)ABCDEF6 个； 0y， 22 222222 1 | |122 2 xy xyxyxyxy； “心形”区域的面积3 A BD E F SS，正确，选 C 【后话】 22 1 | xyx y所围面积与 22 1 xyxy所围面积相等， 22 1 xyxy表示椭圆，将其顺指针旋转 4 可得其标准方程， 应用坐标旋转公式可得标准方程为 22 1 2 2 3 xy ， 6 2, 3 ab， 第 7 页 共 9 页 由椭圆面积公式可得 2
12、 3 3 Sab； 还可利用椭圆的长短轴的概念求出曲线C上任意一点到原点的距离的取值范围为 6 ,2 3 【第 14 题解析】设(1,0)a ，(0,1)b ，则 1 |2 |32| 2,0|(3,2)| 2 acabccc ， 记 1 ,0 2 A ，(3,2)B，cO P ，| | 1c ， 利用共线相似构造阿氏圆， 2 P OO AO CO P AO CP， 其中( 2,0)C，于是 |1 |2 P AO A P CO P ，即| 2|P CP A， 从而|2 |32| 2| | |29acabcP AP BP CP BBC ，选 B 三、解答题三、解答题 15 （1） 22 22 2
13、(2) ()22| | cos45|1 2 ababaa bbaabb ； （2）() ()0kabkab 且kab 与kab 不平行，解得( 1,0)(0,1)k 16 （1）设( , )B a b，则A B中点为 21 , 22 ab ， B在B的平分线250 xy上，且A B中点在中线2310 xy上， 250 21 2310 22 ab ab ，解得 25 7 5 7 a b ，即B点坐标为 25 5 , 77 ； （2） 5 1 2 7 25 39 2 7 A B k ，直线250 xy的斜率为 1 2 k， 由 11 A BBC A BBC kkkk kkk k ，可得 6 5 B
14、C k， BC边所在的直线方程为 5625 757 yx ，即65250 xy 【说明】也可求出点A关于直线250 xy的对称点(0,5)A，直线A B即为所求 17 （1）()()O Cm O AnO BCOmCOO AnCOCB (1)() 11 mn mnCOm O AnCOCBCOCACB mnmn ； （2）若点O为A BC的重心，则 11 33 COCACB ， 第 8 页 共 9 页 1 113 mn mnmn ，解得1mn ； （3）若点O 为A BC的外心， 则 2 1 |2 2 COCACA ， 2 1 |18 2 COCBCB ，| | cos606CACBCACB ，
15、11 11 mn COCACACACB CA mnmn mn COCBCACBCB CB mnmn ，即 21 233 mn mn ，解得 3 7 5 7 m n 18 （1）设直线l方程为1(0) xy ab ab ，由题意 34 1 12 ab ab ，解得 9 3 a b 或 4 16 a b ， 直线l的一般式方程为390 xy或4160 xy； （2）设直线l方程为1( ,) xy a b ab R，由题意 32 1 ab ， 由基本不等式，得 323 2 12 aba b ，当且仅当6,4ab时等号成立， 24ab， 1 12 2 A BO Sab ， 即A BO面积最小值为 12
16、，此时直线l的一般式方程为23120 xy； （3）设直线l方程为(2)2yk x， （1k 或1k） ，易得 22 22 , 11 kk A kk ， (0, 22)Bk，则 122 | 22|12 21 O A B k Sk k ，化简得 2 (1) 6 1 k k ， 2 (1) 6 1 k k 时，即 2 470kk，无实根， 2 (1) 6 1 k k 时，即 2 850kk，解得421k 或421k（舍） 符合题意的直线l只有 1 条 四、附加题四、附加题 19若直线 12 ,l l中有一条斜率为 0，一条斜率不存在，则 2 yax显然与其中之一（1x） 相交下面仅研究 12 ,l
17、 l斜率都存在的情况，不妨设 1 l的斜率为(0)k k，则 2 l的斜率为 1 k ， 从反面考虑，即存在k，使得 12 ,l l都与 2 yax不相交 当0a时，由图象可知，曲线C与直线 12 ,l l必有交点 第 9 页 共 9 页 当0a时，由 2 2(1)yk x yax ，得 2 20axkxk， 2 1 4 (2)0ka k ， 解得 22 222222aaakaaa 由 2 1 2(1)yx k yax ，得 2 11 20axx kk ， 2 2 11 420a kk ， 2 14 (2)0a kk， 2 8410akak ， 解得 2 2 4 aaa k a 或 2 2 4
18、 aaa k a 由题意，若方程组无解， 则 2 2 2 222 4 aaa aaa a 且 2 2 2 222 4 aaa aaa a ，即 1 0 8 a 综上，曲线C与直线 12 ,l l中至少一条相交时，a的取值范围是 1 , 8 20设直线l的方程为0ykxka，直线m的方程为0yk xk b 于是，过,lm与 2 yx的四个不同交点的曲线方程可设为 2 ()()()0yxykxka yk xk b， 即 22 (1)()()()10ykk xykk xkak b ykk abxkk ab， 它成为圆的充要条件是 1 kk kk ，即 2 1 1 kk k 两条直线l与m的交点( , )P x y的坐标为 2 2 ab x ba yk ，即点P在线段A B的中垂线上 故P点的轨迹是直线 2 ab x 除去它与0y及 2 yx的三个交点
