1、基本不等式培优专题 (学生版) QQ 群：223476941 中学数学星空出品 未经公众号负责人授权，禁止商用与转发 2019.8.6 未经公众号负责人授权，禁止商用与转发 1 公众号中学数学星空出品编辑：戴刚锋QQ471055561数学的本质在於它的自由 搜索公众号：中学数学星空，这里是热点数学问题交流的空间 目录目录 培优点一常规配凑法02 培优点二“1”的代换02 培优点三换元法03 培优点四和、积、平方和三量减元04 培优点五轮换对称与万能 K 法05 培优点六消元法（必要构造函数求导）05 基本不等式培优专题基本不等式培优专题 培优点七不等式算两次06 培优点八齐次化06 培优点九待
2、定与技巧性强的配凑07 培优点十多元变量的不等式最值问题08 培优点十一不等式综合应用09 2 公众号中学数学星空出品编辑：戴刚锋QQ471055561数学的本质在於它的自由 搜索公众号：中学数学星空，这里是热点数学问题交流的空间 基本不等式培优专题基本不等式培优专题 培优点一常规配凑法 1 1（2018 届温州届温州 9 月模拟）月模拟） 已知242 ab +=（a，bR），则2ab+的最大值为 2 2已知实数x，y满足 2 2 1 16 y x +=，则 2 2xy+的最大值是 3 3（20182018 春湖州期末春湖州期末）已知不等式 11 ()()9xmy xy +对任意正实数x，y恒
3、成立，则正实数m 的最小值是（） A.2B.4C.6D.8 4 4（20172017 浙江模拟）浙江模拟）已知a，bR，且1a，则 1 1 abb a +- + 的最小值是 5 5（20182018 江苏一模）江苏一模）已知0a ，0b ，且 23 ab ab +=，则ab的最小值是 6 6（诸暨市诸暨市 2 2016016 届高三届高三 5 5 月教学质量检测月教学质量检测）已知0ab，1ab，则 41 2abb 的最小 值等于 7 7 （2 2018018 届浙江省部分市学校高三上学期届浙江省部分市学校高三上学期 9+9+1 1 联考联考）已知实数0a ，0b ， 11 1 11ab ，
4、则2ab的最小值是（） A.3 2B.2 2C.3D.2 培优点二“1”的代换 8 8 （2 2019019 届温州届温州 5 5 月模拟月模拟 1 13 3） 已知正数a，b满足1ab， 则 1b ab 的最小值等于， 此时a= 9 9（2 2018018 浙江期中浙江期中）若正数a，b满足 1 21a b ，则 2 b a 的最小值为（） A.4 2B.8 2C.8D.9 3 公众号中学数学星空出品编辑：戴刚锋QQ471055561数学的本质在於它的自由 搜索公众号：中学数学星空，这里是热点数学问题交流的空间 1010 （2 2017017 西湖区校级期末西湖区校级期末）已知实数x，y满足
5、0 xy，且2xy，则 41 3xyxy 的最小值是. 1 11.1.（1818 届金华十校高一下期末）届金华十校高一下期末）记max , , x y z表示x，y，z中的最大数，若0a ，0b ， 则 13 max , ,a b ab 的最小值为（） A.2B.3C.2D.3 1 12.2.已知, a b为正实数，且2ab，则 22 2 2 1 ab ab 的最小值为 1 13.3.已知正实数, a b满足 12 1 (2)b(2)abba a ，则ab的最大值为 （补充题（补充题）已知,0 x y ，则 2222 62 9 xyxy xyxy 的最大值是 培优点三换元法 1 14.4.（2
6、0192019 届超级全能生届超级全能生 2 2 月月）已知正数, x y满足1xy，则 11 112xy 的最小值是（） A. 33 28 B. 7 6 C. 32 2 5 D. 6 5 1515（20192019 届余高届余高、缙中缙中、长中长中 5 5 月模拟月模拟 7 7）已知 22 log2log11ab，则2ab取到最 小值时ab （） A3B4C6D9 1616（2 2018018 温州期中）温州期中）已知实数, x y满足20 xy，且 11 1 22xyxy ， 则xy的最小值为（） A 32 3 5 B 42 3 5 C 24 3 5 D 34 3 5 1717（2 201
7、8018 杭州期末）杭州期末）若正数, a b满足1ab，则 11 ab ab 的最大值是 1818（2 2017017 湖州期末）湖州期末）若正实数, x y满足22xy，则 22 4 122 xy yx 的最小值是 1919（20182018 河北区二模）河北区二模） 若正数, a b满足 1119 1, 11abab 的最小值为 （） A.1B.6C.9D.16 4 公众号中学数学星空出品编辑：戴刚锋QQ471055561数学的本质在於它的自由 搜索公众号：中学数学星空，这里是热点数学问题交流的空间 2020（温岭市温岭市 20162016 届高三届高三 5 5 月高考模拟月高考模拟）
8、已知实数已知实数, x y满足满足3xyxy，且且1x 则(8)y x 的最小值是 （） A.33B.26C.25D.21 2121若正数, x y满足 11 1 xy ，则 49 11 xy xy 的最小值为 22.22. （2 2018018 届嘉兴期末）届嘉兴期末）已知实数x , y满足491 xy ，则 11 23 xy 的取值范围是 2 23.3.（2 2018018 上海二模）上海二模）若实数x , y满足 11 4422 xyxy ，则22 xy S 的取值范围是 培优点四和、积、平方和三量减元 2 24.4. (2019(2019 届台州届台州 4 4 月模拟月模拟) )设实数
9、a , b满足4ab，则ab的最大值为； 22 (1)(1)ab的最小值为 2525. . （2019 届镇海中学考前练习届镇海中学考前练习 14） 已知0,0,4xyxy xy， 则xy的最大值为， 2xy的最小值为 2626. .（2018 春春 台州期末）台州期末）已知 ,2a bR ab ，则 22 11 11ab 的最大值为（） .1A 6 . 5 B 21 . 2 C .2D 2727. .（2016 宁波期末宁波期末 14）若正数 , x y满足 22 421xyxy，则xy的最大值为 2828. .（2018 届诸暨市期中届诸暨市期中）已知实数 , x y满足 41 2 xy
10、yxxy ，则 2 21 xy xy 的最大值为（） 2 3 . 3 A 3 . 2 B 2 .31 3 C 31 . 2 D 2929. . (2018(2018 台 州 一 模台 州 一 模 ) ) 非 负 实 数非 负 实 数x、y满 足 2222 44432,xyxyx y则2xy的 最 小 值,722xyxy()的最大值 3030. .（20182018 春南京）春南京）若 0、,xy 4. 2 y xxy则 22 1 217 xy x yxy 的取值范围 3131. .（20172017 武进区模拟）武进区模拟）已知正实数x、y满足2342,xyxy则54xyxy的最小值 为 5
11、公众号中学数学星空出品编辑：戴刚锋QQ471055561数学的本质在於它的自由 搜索公众号：中学数学星空，这里是热点数学问题交流的空间 3232（2012017 7 宁波期末）宁波期末）若正实数, a b满足 2 (2)1 6abab ，则 21 ab ab 的最大值为 培优点五轮换对称与万能 K 法 3333（2012019 9 嘉兴嘉兴 9 9 月基础测试月基础测试 1 17 7）已知实数 , x y满足 22 41xxyy，则2xy的最大值 为 3434（2012016 6 暨阳联谊）暨阳联谊）已知正实数, x y满足22xy，则 22 xxy的最小值为 3535 已知正实数, a b满
12、足 22 91ab，则 3 ab ab 的最大值为 3636已知实数, ,a b c满足 222 0,1abcabc，则a的最大值为 37.37.（2012018 8 届杭二高三下开学）届杭二高三下开学）若 22 9461, ,xyxyx yR，则96xy的最大值为 培优点六消元法（必要构造函数求导） 3838（2016 十二校联考十二校联考 13） 若存在正实数y，使得 yxxy xy 45 1 ，则实数x的最大值 为 3939（2019届镇海中届镇海中学学5月模拟月模拟 13） 已知 Rba,且32 ba， 则 ba 21 的最小值是， 22 21 ba 的最小值是 4040（2019 届
13、金华一中届金华一中 5 月模拟月模拟 9） 已知正实数ba，满足1ba，则 22 2 ba b ba a 的 最大值是（） A.2B.21C. 3 32 1D. 2 23 1 41（2017 西湖区校级模拟）西湖区校级模拟）已知正实数, a b满足 2 40ab ,则 23ab u ab （） A.有最大值为 14 5 B. 有最小值为 14 5 C. 没有最小值D.有最大值为 3 6 公众号中学数学星空出品编辑：戴刚锋QQ471055561数学的本质在於它的自由 搜索公众号：中学数学星空，这里是热点数学问题交流的空间 42（2018 湖州期末）湖州期末）已知, a b都为正实数，且 11 3
14、 ab ，则ab的最小值是， 1b ab 的最大值是 培优点七不等式算两次 43设设0ab,那么 2 1 () a b ab 的最小值为（） A. 2B. 3C. 4D. 5 44.44.设20ab，则 29 2 ab b ab 的最小值为 45.45.（20172017 天津）天津）若, a bR，0ab ，则 44 41ab ab 的最小值为 46.46.若, x y是正数，则 2 2 11 22 xy yx 的最小值是 47.47.已知, ,0,a b c，则 2 222 5 2 abc bcac 的最小值为 4848（20182018 天津一模）天津一模）已知0ba，则 baba a
15、23 2的最小值为 49.49.（20162016 台州期末）台州期末）已知正实数ba,，满足04 2 ba，则 ba ba u 32 （） A.有最大值为 5 14 B.有最小值为 5 14 C.，没有最小值D.有最大值为 3 50.50.已知0, 0, 0cba且2ba，则 2 5 2 c c ab c b ac 的最小值是 培优点八齐次化 5151（2019 届杭高高三下开学考 T17） 若不等式 22 2()xycx yx对满足0 xy的任 意实数, x y恒成立，则实数c的最大值为 5252 （20192019 届绍兴一中届绍兴一中 4 4 月模拟月模拟）已知0,0,23xyxy，则
16、 2 3xy xy 的最小值为（） .32 2A .2 21B. 21C. 21D 7 公众号中学数学星空出品编辑：戴刚锋QQ471055561数学的本质在於它的自由 搜索公众号：中学数学星空，这里是热点数学问题交流的空间 5353（2018浙江模拟）已知0,0ab，则 2222 62 9 abab baba 的最大值为， 若 22 425xxyy则 22 3xy的取值范围是 54.(201654.(2016 新高考研究联盟二模新高考研究联盟二模) )实数 , x y满足 22 222xxyy，则 22 2xy的最小值 是 培优点九待定与技巧性强的配凑 55.(201655.(2016 大联考
17、大联考) )若正数 , ,x y z满足3 456xyz ，则 142 2 yz yzxz 的最小值为 56.(201656.(2016 杭二最后一卷杭二最后一卷) )若正数 , x y满足 11 1 xy ，则 22 10 xxyy的最小值为 57.57.（20162016 宁波二模）宁波二模）已知正数x，y满足1xy ，则 11 112 M xy 的最小值为 58.58.（20162016 浙江模拟）浙江模拟）已知实数a，b，c满足 222 11 1 44 abc，则22abbcca的取值范 围是（） A.(,4B. 4,4C. 2,4D. 1,4 59.59.已知x，y，z(0,)且 2
18、22 1xyz，则3xyyz的最大值为 6060（20162016 大联考）大联考）设, , ,x y z wR，且满足 2222 1xyzw,则2Pxyyzzw的最大 值是 6161（2017 学年杭二高三第学年杭二高三第 3 次月考）次月考）已知 222 min,Txyzyxz，且 2xyz，则T的最大值是（） A. 8 3 B.8C. 4 3 D. 2 3 6262已知 + , ,cRa b,则 222 2 abc abbc 的最小值是 6363已知, ,a b cR，且 222 4abc，则52abbc的最大值是 6464已知, ,a b cR，且 222 4abc，则acbc的最大值
19、是；又若0abc ， 则c的最大值是 8 公众号中学数学星空出品编辑：戴刚锋QQ471055561数学的本质在於它的自由 搜索公众号：中学数学星空，这里是热点数学问题交流的空间 培优点十多元变量的不等式最值问题 6565（2019 届浙江名校新高考研究联盟届浙江名校新高考研究联盟 9 题）题）已知正实数, , ,a b c d满足1,1abcd，则 11 abcd 的最小值是（） A.10B.9C.4 2D.3 3 6666（20192019 届杭四仿真考）届杭四仿真考）已知实数xyz， ，满足 5 12 222 zyx zxy ，则xyz的最小值 为；此时z= 67.67.（20192019
20、 届慈溪中学届慈溪中学 5 5 月模拟月模拟）若正实数cba,满足bccbaa则 cb a 的最大值 为 68.68. （1 17 7浙江期末浙江期末） 已知Rcba,且0abc,abc,则 22 b ac 的取值范围是（） A. 5 5 , 5 5 B. 1 1 , 5 5 C. 2, 2D. 5 2, 5 6969. .（20182018浦江县模拟）浦江县模拟）已知实数, ,a b c满足 222 1abc，则abc的最小值为 （） A.-2B. 3 2 C.-1D. 1 2 70.70.（20162016秋湖州期末秋湖州期末）已知实数, ,a b c满足 222 231abc，则2ab的
21、最大值是（） A.3B.2C.5D.3 71.71.（20201919江苏一模）江苏一模）若正实数, ,a b c满足2 ,2abababcab c ，则c的最大值为 7272. .（2018 秋秋辽宁期末）辽宁期末）设abc、 、是正实数满足abc，则 ba abc 的最小值为 7373. .（2017 秋秋苏州期末）苏州期末）已知正实数, ,a b c满足 11 1 ab ， 11 1 a bc ，则c的取值范围是 74:74:（2019 届浙江名校协作体高三下开学考届浙江名校协作体高三下开学考 17）若正数, ,a b c满足 222 1abcabbc，则c 的最大值是 75.（2018
22、 届衢州二中 5 月模拟 12）已知非负实数, ,a b c满足1abc ，则()()ca cb的 取值范围为 76.（2018 届上虞 5 月模拟 16）若实数, ,x y z满足231xyz， 222 491xyz，则z 的最小值是 9 公众号中学数学星空出品编辑：戴刚锋QQ471055561数学的本质在於它的自由 搜索公众号：中学数学星空，这里是热点数学问题交流的空间 培优点十一不等式综合应用 77.（2018 春衢州期末）已知,0 x y ，若 41 46xy xy ，则 41 xy 的最小值是（） A.6B.7C.8D.9 7878（20182018 嘉兴模拟）嘉兴模拟）已知 14
23、8( ,0)xyx y xy ,则xy的最小值为（） . 5 3A .9B.42 26C.10D 79（2018018 越城区校级越城区校级）已知,0,x y 且 1119 24 xy xy ，则 37 16xy 的最小值是 8080（20162016 台州期末台州期末）已知实数, ,(0,1)a b c，设 21 1ab ， 21 1bc ， 21 1ca 这三个数的 最大值为M，则M的最小值为 （） A.5B.32 2C.32 2D.不存在 81.81. （20192019 乐山模拟乐山模拟） 已知实数, x y满足1,0 xy， 且 11 4+11 1 xy xy ， 则 11 1xy 的 最大值为 8282 （20192019 乐山模拟乐山模拟）已知 x,y 为正实数,且满足 2 13()()()22xyyy,则 1 x y 的最大值 为 8 83.3.（20192019 届镇海中学最后一卷）届镇海中学最后一卷）已知, 0 x y ，且 2 81 1 xy ，则x y 的最小值
