1、任意角的三角函数教学设计任意角的三角函数教学设计 福建师大附中张春晓 一、教学内容解析一、教学内容解析 三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型，在其它学科领域也有着广泛的应用.任 意角的三角函数是函数的下位概念，它建立在数学 1中函数概念的基础上，是对锐角三角函数概念的 扩张. 引入锐角三角函数的概念，目的是为了研究三角形中的边角关系，定义侧重于从几何的角度，在直角 三角形中得到角与边的比值之间的确定关系.而引入任意角三角函数的概念，是为了研究周期变化现象， 定义侧重于从代数的角度，以单位圆为工具，得到角和其终边与单位圆交点坐标的确定关系.在弧度制下， 是数集到数集的映射. 本节
2、课是在学习完“任意角和弧度制”后的第一节新授课，教材中对任意角的三角函数的定义有两种 单位圆定义法和终边定义法.从研究任意角的三角函数作用看，单位圆定义法显得更为简单直观，为 后续研究三角函数性质埋下伏笔；从数学史发展看，单位圆定义法对描述周期性变化规律模型起到推动作 用.因此，本教学设计从学生已有的反映周期现象变化的日常经验出发，以数学实际应用为线索，完成任 意角的三角函数的建构过程. 二、教学目标二、教学目标 知识与技能知识与技能：理解任意角三角函数的定义，树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数. 过程与方法：过程与方法：经历单位圆定义法，培养合情猜测的能力，体会函数模型的作
3、用. 情感情感、态度与价值观态度与价值观：通过学生积极参与知识“发现”与“形成”的过程，加深对数学概念本质的理解， 感悟数学概念的严谨性与科学性. 重点重点: : 任意角三角函数的定义. 难点：难点：任意角三角函数概念的建构过程. 三、教学流程三、教学流程 1 1复习复习 通过对任意角的概念的学习，你认为它与初中角的概念有什么区别？ 设计意图设计意图对任意角概念的理解是学习本节课的基础. 2 2创设情境、引出主题创设情境、引出主题 问题问题：已知摩天轮的中心离地面的高度为 0 h,它的直径为2r，逆时针方向做匀速转动，转动一周需要360 秒，若现在你坐在座舱中，从初始位置点A出发，求相对于地面
4、的高度h与时间t的函数关系式. 师：让我们一起分析一下，在整个运动过程中，高度h是怎样变化的? 师生：开始高度h先渐渐增高至最高点，再渐渐降低至最低点，再渐渐升高， 最后回到初始位置；第二周，第三周，周而复始，呈现周期现象. 设计意图设计意图以解决实际问题为背景，引入任意角三角函数概念，突出研究问题 的“周期性”特点. 师：我们该用怎样的函数模型来刻画这种运动呢？ 让我们先从特殊情形入手.例如，过了 20s 后，人距离地面的高度是多少？ 生： 0 0 sin20hhr. 师：你能对这个式子做一解释吗？ 生： 0 h表示水平位置OA距离地面的高度， 0 sin20r表示P距离水平位置OA的高度，
5、即 0 |MP|hh. 师：如果过了40s 呢？对上面式子做怎样修改？ 师生：将 0 20换成 0 40，即： 0 0 sin40hhr.一般地，过了t秒呢？猜想: 0 sinhhrt 师： 这样猜想合情， 但合理吗？随着摩天轮的转动，POA从最初的锐角被推广到了任意角.对任意角， sin该如何定义呢？这就是这节课我们要学习的内容，任意角的三角函数. 设计意图设计意图为引出任意角的三角函数做准备，按照从特殊到一般地策略来探究，让学生感受到接下来学习 新知识的必要性. 3 3概念生成概念生成 师： 当P在水平但位置OA上方时， 0 |MP|hh； 当P在水平位置OA下方时， 0-|MP| hh，
6、 即： 0 |MP|hh 与 0 sinhhrt相比较，要想两者和谐统一，必须有：sin|MP|rt ，即： MP sin r t . 师生小结：当点P在圆周上运动时，POA随之变化，任一个POA，对应着唯一点P，进而有唯一 |MP，得到： MP sin r t . 师：不过这样表述|MP|时，还是不够简洁,MP何时取正值，何时取负值？能否用一个量去代替MP， 使上述表示形式更简单？它的绝对值与MP的长度相等，符号在OA上方表示正的，OA下方表示负的. 生:引入直角坐标系，用点P的纵坐标y来替代|MP或-|MP. 设计意图设计意图让学生感受到任意角三角函数定义中，坐标系的引入是自然的，有必要的
7、. 师：接下来，我们把角放在平面直角坐标系中，以原点为圆心，半径为r做圆，与角的终边交于点P， 假设点P坐标为( , )x y，利用我们刚才对上述问题的分析，这里，sin= y r . 师：当是锐角时，此规定与初中规定是否吻合？ 生：吻合，利用初中对锐角三角函数定义， |MP| sin= |OP| ，|MP|即y，|OP|即r. 师：三角函数只有这一个吗？ 生：还有余弦，正切. 师：你能仿照正弦给出它们的类似定义吗？ 生：cos x r ，tan y x 师：从高中函数定义来看，他们是真正意义上的函数吗？ 生：是的，任意给定角，其终边唯一确定，终边与圆的交点P就唯一确定，比值随之唯一确定. 师
8、：比值会随着点P在终边上的变化而变化吗？ 生：不会，由相似三角形知识，比值是唯一确定的. 师：很好，任意给定唯一确定比值.那如果是任意角呢，我们不妨 假设此时终边落在第二象限，终边与圆的交点仍然是P，坐标为( , )x y， 显然，我们已经不能把放在一个锐角三角形内，但是我们同样可以发现，当给定后，终边唯一确定， 其与圆的交点P唯一确定，仍然符合函数的定义. 师：这种比值形式能进一步简化吗？ 生：另=1r，则sin=y，cosx，tan y x 师：此时点P具有什么特点？ 生：点P即是角终边与单位圆的交点. 师：它们是函数吗？ 生：是的，当给定时，点P即定，函数值唯一确定. 师：既然是函数，则
9、有三要素，它们的定义域是什么？ 生：siny，cosy的定义域均为R，tany的定义域是 |k +,kZ 2 师：很好，我们就把上面这三个函数称为任意角的三角函数.其实，我们可以发现，任意角的三角函数是 以角作为自变量，以坐标或者坐标的比值为函数值的函数，即从角的集合到实数集的一种对应关系. 设计意图设计意图这里采用概念同化的学习方式，让学生理解定义的合理性，理解概念的背景和生成过程. 4 4概念运用概念运用 例 1.（口算）求下列三角函数值： (1) 0 sin270;(2)cos3;(3) 3 tan() 4 . 变式：若已知cos1 ,你能写出的一个角吗？ 例 2.角的终边经过点 13
10、( ,) 22 P，求它的三角函数值. 设计意图设计意图让学生熟悉定义，从中概括出用定义解题的步骤. 例 3.设sin0且tan0,确定是第几象限的角. 设计意图设计意图通过定义的应用，让学生了解三种定义域及函数值在各象限的符号的变化规律，并从中进一步 理解三角函数的概念，体会数形结合的思想. 例 4.不求值，判断下列三角函数值的符号. (1) 0 sin( 1060 );(2) 16 cos() 5 ;(3) 0 tan556. 设计意图设计意图 引出公式一sin(2 )sink，cos(2 )cosk，tan(2 )tank，突出 函数周期变化的特点，以及数形结合的思想. 5 5探究发现探
11、究发现 在如图所示的单位圆中，角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边为OP，则有向线段 ,MP OM AT BS OT OS分别称为角的正弦线，余弦线，正切线，余切线，正割线和余割线.图中的 正弦线MP， 余弦线OM均为圆O上的弦的一段.如MP是圆O的弦上 PP的一段，OM是圆O的弦AA 上的一段.图中正切线AT,余切线BS均为圆O上的切线段.图中正割线OT,余割线OS均为圆O上的割 线段.你能否据此给出三角函数名称的一种几何解释，并说明理由？ 设计意图设计意图针对学生素质差异，设计有层次的思考题，留给学生课后自主探究， 也为即将介绍“三角函数线”埋下伏笔. 6 6小结反思小结反思 通过本节课的学习，谈谈你对三角函数有哪些新的认识？在认知过程中有哪些体会？ 设计意图设计意图让学生回顾所学内容，体会任意角三角函数是刻画圆周运动的重要数学模型，它实质上就是以 角为自变量，以角的终边与单位圆交点坐标或坐标比为函数值的函数.体会数形结合、化归等思想方法的 应用.
