1、 ？ 高中数学必修第一册高中数学必修第一册 优化优化设计设计 精品课件精品课件 ？ 等式性质与不等式性质等式性质与不等式性质 第第1 1课时不等关系与比较大小课时不等关系与比较大小 ？ 课标定位课标定位 素养阐释素养阐释 1.通过具体情境感受在现实世界和日常生活中通过具体情境感受在现实世界和日常生活中 存在着大量的不等关系存在着大量的不等关系,了解不等式了解不等式(组组)的实际的实际 背景背景. 2.理解不等式的概念理解不等式的概念. 3.学习用不等式学习用不等式(组组)来描述不等关系来描述不等关系,了解不等了解不等 式式(组组)是研究不等关系的数学工具是研究不等关系的数学工具,理解不等式理解
2、不等式 (组组)对于刻画不等关系的意义和价值对于刻画不等关系的意义和价值. 4.提升数学抽象和数学运算能力提升数学抽象和数学运算能力. 自主自主预习预习新知新知导学导学 合作合作探究探究释疑释疑解惑解惑 易易 错错 辨辨 析析 随随 堂堂 练练 习习 ？ 自主自主预习预习新知导学新知导学 ？ 一、不等式与不等关系一、不等式与不等关系 【问题思考】【问题思考】 1.给出下列问题给出下列问题: (1)今天的今天的天气预报天气预报显示显示:明天早晨的最低温度为明天早晨的最低温度为7 ,白天的白天的 最高温度为最高温度为13 ; (2)ABC的任意两边之和大于第三边的任意两边之和大于第三边. 你能用不
3、等式你能用不等式(组组)表示上述两个问题的不等关系吗表示上述两个问题的不等关系吗? ？ 提示提示:(1)设明日白天的气温为设明日白天的气温为t,则则7t13(单位单位:). ？ 2.我们我们经常用经常用不等式不等式来研究含有不等关系的问题来研究含有不等关系的问题,常用的不等常用的不等 号号有有 、b a-b0 ; a=b a-b=0 ; ab a-b0 . 从这三条基本事实可知从这三条基本事实可知,要比较两个实数的大小要比较两个实数的大小,可以转化为可以转化为 比较比较它们的差它们的差与与0的大小的大小. ？ 3.做一做做一做:已知已知x1,则则x2+2与与3x的大小关系为的大小关系为. 解析
4、解析:x2+2-3x=(x-2)(x-1), x1,x-20,x-10,x2+23x. 答案答案:x2+23x ？ 三、不等式三、不等式: a,bR,a2+b22ab 【问题思考】【问题思考】 1.在北京召开的第在北京召开的第24届国际数学家大会的会标如图届国际数学家大会的会标如图所示所示,将将 其抽象成如图其抽象成如图的形式的形式.设直角三角形的两条直角边的长为设直角三角形的两条直角边的长为 a,b(ab),那么正方形的边长为那么正方形的边长为 图图(1) 图图(2) ？ (1)根据抽象的图形根据抽象的图形,你能从中得到一个什么样的不等关系你能从中得到一个什么样的不等关系? (2)当中间的四
5、边形当中间的四边形EFGH缩为一点缩为一点,即四个直角三角形变为即四个直角三角形变为 等腰直角三角形时等腰直角三角形时,可以得到什么结论可以得到什么结论?结合问题结合问题(1)你有什么你有什么 发现发现? (3)你能用两个实数大小关系的基本事实你能用两个实数大小关系的基本事实,证明上述发现吗证明上述发现吗? 提示提示:(1)由正方形由正方形ABCD的面积大于的面积大于4个直角三角形的面积个直角三角形的面积 和和,得到不等式得到不等式a2+b22ab. (2)a2+b2=2ab;由问题由问题(1)(2),可得可得a2+b22ab. (3)能能,由由a2+b2-2ab=(a-b)20,得得a2+b
6、22ab. 当且仅当当且仅当a=b时时,等号成立等号成立. ？ 2.一般一般地地, a,bR,有有a2+b2 2ab,当且仅当当且仅当 a=b 时时,等号成立等号成立. 3.做一做做一做:若若x2+y2=4,则则xy的最大值是的最大值是() 答案答案:C ？ 【思考辨析】【思考辨析】 判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打正确的在后面的括号内打“ ”,错误错误 的打的打“”. (1)两个实数两个实数a,b之间之间,有且只有有且只有ab,a=b,ab三种关系中的一三种关系中的一 种种.( ) (2)实数实数x不大于不大于3,用不等式表示为用不等式表示为x1.5; 身高不
7、足身高不足1.2米可表示为米可表示为0h1.50h1.2P160 ？ 反思感悟反思感悟 1.用不等式表示不等关系时用不等式表示不等关系时,要注意体会关键词的含义要注意体会关键词的含义,如本如本 例中的例中的“在在之间之间”“不足不足”“不超过不超过”等等,对于实际问题不要对于实际问题不要 漏掉隐含条件漏掉隐含条件. 2.常见的文字语言与数学符号的常见的文字语言与数学符号的转换转换 ？ 【变式训练【变式训练1】 用不等式用不等式(组组)表示下列关系表示下列关系: (1)x为非负数为非负数; (2)x为实数为实数,而且大于而且大于1不大于不大于6; (3)x与与y的平方和不小于的平方和不小于2,而
8、且不大于而且不大于10. 解解:(1)x0. (2)xR,且且11,比较比较x3-1与与2x2-2x的大小的大小. 分析分析:(1)用作差法比较大小用作差法比较大小.(2)作差后利用因式分解判断符号作差后利用因式分解判断符号. ？ 将例题中的将例题中的“x1”改为改为“xR”,试比较试比较x3-1与与2x2-2x的大小的大小. 解解:(x3-1)-(2x2-2x)=(x3-x2)-(x2-2x+1) =x2(x-1)-(x-1)2=(x-1)(x2-x+1), 当当x1时时,(x-1)(x2-x+1)0,即即x3-12x2-2x; 当当x=1时时,(x-1)(x2-x+1)=0,即即x3-1=
9、2x2-2x; 当当x1时时,(x-1)(x2-x+1)0,即即x3-15时时,y1y2;当当ny2. 所以所以当该单位去的人数为当该单位去的人数为5时时,两车队收费相同两车队收费相同;人数大于人数大于5时时, 选甲车队更优惠选甲车队更优惠;人数小于人数小于5时时,选乙车队更优惠选乙车队更优惠. ？ 反思感悟反思感悟 1.本题采用先建模再比较的方法本题采用先建模再比较的方法,这是解答此类实际问题的常这是解答此类实际问题的常 用方法用方法. 2.(1)解决实际问题的关键是理解好每一个名词的含义解决实际问题的关键是理解好每一个名词的含义,留意留意 每个数字出现的意义每个数字出现的意义,注意实际意义
10、对变量取值范围的限制注意实际意义对变量取值范围的限制. (2)解决决策优化型的实际问题解决决策优化型的实际问题,首先要确定制约着决策优化首先要确定制约着决策优化 的关键量是哪一个的关键量是哪一个,然后确定在各种决策下该量分别是多少然后确定在各种决策下该量分别是多少, 最后用作差法最后用作差法(或其他方法或其他方法)比较它们的大小即可比较它们的大小即可. 3.培养数学建模、逻辑推理与数学运算素养培养数学建模、逻辑推理与数学运算素养. ？ 【变式训练【变式训练3】 建筑设计规定建筑设计规定,民用住宅的窗户面积必须小民用住宅的窗户面积必须小 于地板面积于地板面积.但按采光标准但按采光标准,窗户面积与
11、地板面积的比值应不窗户面积与地板面积的比值应不 小于小于10%,且这个比值越大且这个比值越大,住宅的采光条件就越好住宅的采光条件就越好.试问试问:同同 时增加相等的窗户面积和地板面积时增加相等的窗户面积和地板面积,住宅的采光条件是变好住宅的采光条件是变好 了了,还是变坏了还是变坏了?请说明理由请说明理由. ？ ？ 易易 错错 辨辨 析析 ？ 因忽视配方法在判断符号中的应用致错因忽视配方法在判断符号中的应用致错 【典例】【典例】 若若A=a2+3ab,B=4ab-b2,则则A,B的大小关系是的大小关系是() A.ABB.AB C.ABD.大小关系不确定大小关系不确定 错解错解:因为因为A-B=a
12、2+3ab-4ab+b2=a2+b2-ab,所以所以A,B的大小关系的大小关系 不确定不确定. 答案答案:D 以上解答过程中都有哪些错误以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么出错的原因是什么?你如何改你如何改 正正?你如何防范你如何防范? ？ 答案答案:B ？ 防范措施防范措施 1.用作差法比较两个数用作差法比较两个数(式式)的大小时的大小时,其关键是变形其关键是变形,一般采用一般采用 配方、因式分解、通分、有理化等手段变形配方、因式分解、通分、有理化等手段变形,这样有利于定这样有利于定 号号.特别是作差后的式子为二次三项式时特别是作差后的式子为二次三项式时,常考虑因式分解或常考虑因式分
13、解或 配方法变形配方法变形. 2.注意提升逻辑推理和数学运算能力注意提升逻辑推理和数学运算能力. ？ 【变式训练】【变式训练】 若若y1=3x2-x+1,y2=2x2+x-1,则则y1与与y2的大小关系的大小关系 是是() A.y1y2B.y1=y2 C.y10, y1y2. 答案答案:A ？ 随随 堂堂 练练 习习 ？ 1.下下列列能能表示表示“m与与n的和是非正数的和是非正数”的不等式为的不等式为() A.m+n0 C.m+n0D.m+n0 答案答案:C 2.设设M=x2,N=-x-1,则则M与与N的大小关系是的大小关系是() A.MNB.M=N C.MND.与与x的取值有关的取值有关 答
14、案答案:A ？ ？ 4.某单位的甲、乙、丙三人到某单位的甲、乙、丙三人到A城出差城出差.在安排住宿时在安排住宿时,有三种有三种 住宿方案可供他们选择住宿方案可供他们选择:(1)三人同住一个套间三人同住一个套间;(2)二人住标准二人住标准 间间(双人间双人间)、一人住单间、一人住单间;(3)三人各住一个单间三人各住一个单间.若宾馆方面若宾馆方面 对套间、标准间及单间的标价分别为对套间、标准间及单间的标价分别为300元、元、160元和元和60元元; 同时对客户实行打折优惠同时对客户实行打折优惠,但这三类房间的折扣率各不相同但这三类房间的折扣率各不相同, 分别为分别为50%,65%和和85%,三种住宿方案中最经济的是三种住宿方案中最经济的是第第 种方案种方案. ？ 解析解析:若选择若选择(1)方案方案,则需支付则需支付:y1=30050%=150(元元); 若选择若选择(2)方案方案,则需支付则需支付:y2=16065%+6085%=155(元元); 若选择若选择(3)方案方案,则需支付则需支付:y3=6085%3=153(元元). 因为因为y1y3x0,910 x+y30,且且x,yN*. (2)x3,y2,60 x+70y500,且且x,yN*.
