1、平面向量及其应用北京市朝阳区教育研究中心知识结构平面向量向量概念向量运算平面向量基本定理及标准正交基大小方向坐标表示加法减法数乘数量积几何意义向量应用正弦定理余弦定理几何应用物理学应用（如功、力等）度量关系长度角度位置关系垂直共线关注平面向量的知识逻辑 向量内部的知识结构有四个维度： 概念、运算、定理、应用双重特征代数特征几何特征运算几何意义有大小有方向，刻画位置关系 平面向量基本定理平面向量基本定理.定理作用转化与化归代数化的桥梁将问题简化便于运算关注平面向量的知识逻辑 向量概念的学习是对解析几何中相关知识的完善与补充； 向量坐标运算的学习是对以前学习的代数运算的拓展； 这些知识的学习可以说
2、是在已有知识基础上的同化与顺应关注平面向量的知识逻辑【学业要求】 能够从多种角度理解向量概念和运算法则，掌握向量基本定理；能够运用向量运算解决简单的几何和物理问题，知道数学运算与逻辑推理的关系. 重点提升直观想象、逻辑推理、数学运算和数学抽象素养.普通高中数学课程标准（2017年版)“三步曲” 平面几何中的向量方法解决几何问题的基本过程： 图形向量 向量的运算 向量和数图形平面几何中的向量方法A平面几何中的向量方法A 向量能够实现用代数中的逻辑推理来代替几何中的逻辑推理，利用向量的运算律，能够推出几何命题. 借助向量解决几何问题的过程可以用下图来表示.向量内容涉及的逻辑推理具有特殊性几何条件向
3、量表示向量运算向量结果几何结论平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型;在遇到涉及长度、夹角的问题时通常考虑用向量的数量积.平面几何中的向量方法A向量知识在解析几何中的应用逻辑推理逻辑推理数学运算数学运算直观想象直观想象分析、解决问题的能力PABxyO用向量法证明余弦定理向量回路-快捷优美ABCacb=sinsinsinabcABC用向量法证明正弦定理需要分类讨论-关注多种证明途径？用向量法证明正弦定理ABCjmbcABCaABCj用向量法证明正弦定理acb(O)ABCxy1e2e利用圆的性质建立三角形边、角之间的联系-向量模坐标运算用向量法证明正弦定理BOCxyA用向量法证明正弦定理利用圆的
4、性质建立三角形边、角之间的联系-向量模坐标运算BOCxyA向量知识在三角函数中的应用cos()coscossinsin| OA OBOA OB逻辑推理数学运算数学建模直观想象Oxy(cos ,sin)A(cos,sin)B分析、解决问题的能力分析、解决问题的能力向量知识在代数证明中的应用逻辑推理逻辑推理数学运算数学运算数学建模数学建模贴近生活的情景-开放性的问题-发展逻辑推理素养向量在物理中的应用体会数形结合思想方法-发展直观想象素养向量在物理中的应用 向量是沟通代数、三角、几何等内容的桥梁之一. 也是高考试题的重要载体.近年高考向量小题又呈现出综合性强、立意新、难度大、解法多等特点，进而成为
5、较难小题的热点素材，在高三复习中，很有必要对此问题进行深入研究，找到解题方法，揭示问题本质. “平方意识”函数与方程的思想方法“平方意识”函数与方程的思想方法“坐标意识”合理建系，设点坐标“坐标意识”合理建系，设点坐标cMO11Cxy“几何意识”数形结合、运动变化的思想方法“几何意识”数形结合、运动变化的思想方法a+bbacc-(a+b)ABOC数量积的几何意义-投影DBCAEDBCAF定值变量都是动点运动变化、数形结合运动变化、数形结合数量积的几何意义-投影DBCAEDBCAF（1）可以转化为其他向量的数量积;（2）联想数量积几何意义，即投影的概念;（3）可以建立平面直角坐标系，转化为坐标运
6、算.DCBA2.多种解法DCBA2.多种解法DCBAMDCBA 在直接用定义求数量积不好求的情况下，可采取转化为其它向量的数量积，也可考虑数量积的几何意义，若都不好操作，还可建立直角坐标系，转化为坐标运算进行解决.数量积的求法：定义法：数量积定义；转化法：将所求数量积中的向量转化为已知模和夹角的向量中去；几何法：（投影等）几何法易求得投影；坐标法：（通法）. 3. 数量积的求法及每种方法的适用条件定义法：数量积定义，适用条件是已知向量的模与夹角;转化法：适用条件是所求数量积中的向量可以转化为已知模和夹 角的向量中去;几何法（投影等）：适用条件是几何法易求得投影或找到几何意义;坐标法（通法）：适用条件是方便建立平面直角坐标系，坐标易写.重视背景（物理、几何），重视过程，重视应用明确向量运算及运算律的核心地位（向量若没有运算）重视向量的几何意义及应用（几何背景，概念、运算几何意义）强调向量法的基本思想（类比解析法，“三步曲” ）01020403平面向量需要重视的问题感谢您的收看！
