1、向量数量积的运算律北京师范大学良乡附属中学复习回顾：非零向量的夹角复习回顾：非零向量的夹角ab 复习回顾：非零向量的夹角当a与b都是非零向量时， 称 的 为向量a 与向量b 的夹角，记作.ab ABO0, AOB = 复习回顾：非零向量的夹角当 = 时，称向量a 与向量b 垂直，记作垂直，记作a b ab ABO2复习回顾：向量数量积复习回顾：向量数量积当a与b都是非零向量时， a b = |a| |b| cos.当a与b至少有一个是零向量时， a b = 0.复习回顾：向量数量积的几何意义复习回顾：向量数量积的几何意义=|cos,=(|cos,)|a ba ba baa bb两个非零向量的数
2、量积，等于其中一个向量在另一个向量上投影的数量与另一个向量的模的乘积.复习回顾：向量数量积的几何意义任意向量与单位向量的数量积，等于这个向量在该单位向量上的投影的数量.=|cos,=|cos,，ea ea ea eaa e当 为单位向量时向量的运算数量积运算复习回顾：减法运算数乘运算加法运算向量的运算数量积运算复习回顾：减法运算数乘运算加法运算向量向量的运算数量积运算复习回顾：减法运算数乘运算加法运算向量实数向量的运算数量积运算新知探究：减法运算数乘运算加法运算()abab()+aaaabba()()abcabc猜想新知探究：a bb a猜想新知探究：a bb a(）（）a ba b（）（）
3、a b cab c猜想新知探究：(）（）a ba b（ + ）+a b ca c b c（）（） a b cab ca bb a证明新知探究：a bb a证明新知探究：当a与b都是非零向量时,a b = |a| |b| cosb a = |b| |a| cosa bb a证明新知探究：当a与b都是非零向量时,a b = |a| |b| cosb a = |b| |a| cos因为 = ,所以 . a bb aa bb a证明新知探究：当a与b都是非零向量时, a b = |a| |b| cosb a = |b| |a| cos因为 = ,所以 .当a与b至少有一个是零向量时,a bb aa b
4、b a0a bb a =证明新知探究：当a与b都是非零向量时, a b = |a| |b| cosb a = |b| |a| cos因为 = ,所以 .当a与b至少有一个是零向量时,a bb aa bb a0a bb a =综上,向量数量积满足交换律.成立分析新知探究：（）（） a b cab c新知探究：由定义可知, a b是一个实数,等式左边是一个与c共线的向量, 同理,等式右边是一个与a共线的向量.（）（） a b cab c分析新知探究：由定义可知, a b是一个实数,等式左边是一个与c共线的向量, 同理,等式右边是一个与a共线的向量.abc|a| = |b| = |c|=2 , =
5、= 3则a b= b c= ,12222（）（） a b cab c分析新知探究：由定义可知, a b是一个实数,等式左边是一个与c共线的向量, 同理,等式右边是一个与a共线的向量.abc|a| = |b| = |c|=2 , = = 3则a b= b c= ,（）（） a b cab c12222分析新知探究：(）（）a ba b分析新知探究：(）（）a ba b等式左边等式右边 cos,a ba bcos,a ba b分析新知探究：(）（）a ba b等式左边等式右边当 时, | a| = |a| 当 时, | a| = |a| 00cos,a ba bcos,a ba b分析新知探究：(
6、）（）a ba b等式左边等式右边 当 时, 0,=,a ba babacos,a ba bcos,a ba b分析新知探究：(）（）a ba b等式左边等式右边当 时,a,= -,a ba bbacos,a ba bcos,a ba b0证明新知探究：(）（）a ba b当a, b都是非零向量且 时,（1）如果 , 则| a| = |a| , 00证明新知探究：(）（）a ba b当a, b都是非零向量且 时,（1）如果 , 则| a| = |a| , 且 a的方向与a的方向相同,从而从而 , 0,=a ba b0证明新知探究：(）（）a ba b当a, b都是非零向量且 时,（1）如果 ,
7、 则| a| = |a| , 且 a的方向与a的方向相同,从而从而 , 因此0,=a ba bcos(),a ba ba bcos,a ba b()a b；0证明新知探究：(）（）a ba b当a, b都是非零向量且 时,（2）如果 , 则| a| = |a| , 00证明新知探究：(）（）a ba b当a, b都是非零向量且 时,（2）如果 , 则| a| = |a| , 且 a的方向与a的方向相反,从而从而 0, a ba b0证明新知探究：(）（）a ba b当a, b都是非零向量且 时,（2）如果 , 则| a| = |a| , 且 a的方向与a的方向相反,从而从而 0, a ba b
8、cos,()a ba ba bcos,a ba b()a bcos ,()- a ba b因此.0证明新知探究：(）（）a ba b当a, b中至少有一个是零向量或 时,0()()0a ba b.证明新知探究：(）（）a ba b当a, b中至少有一个是零向量或 时,()()0a ba b综上, 成立.()()a b =a b成立.0证明新知探究：(）（）a ba b当a, b中至少有一个是零向量或 时,()()0a ba b综上, 成立.()()a b =a b用同样方法还可以证明 .()()aba b成立.0分析新知探究：（ + ）+a b ca c b c分析新知探究：（ + ）+a b
9、 ca c b ccos(),ab cab cab ccos,a ca ca ccos,b cb cb c分析新知探究：（ + ）+a b ca c b cac,，a c分析新知探究：（ + ）+a b ca c b c,，a cacb,，b c分析新知探究：（ + ）+a b ca c b c,，a c,，b c,a + b cacba + b分析新知探究：（ + ）+a b ca c b ccos(),ab cab cab ccos,a ca ca ccos,b cb cb c分析新知探究：（ + ）+a b ca c b ccos,aba + b ccoscos, aa cbb c分析新
10、知探究：（ + ）+a b ca c b ccos,aba + b ccoscos, aa cbb c取 是与 同向的单位向量0cc分析新知探究：（ + ）+a b ca c b ccos,aba + b ccoscos, aa cbb ccos0,aba + b c0=（)ab c分析新知探究：（ + ）+a b ca c b ccos,aba + b ccoscos, aa cbb ccoscos00, aa cbb c00a cb ccos0,aba + b c0=（)ab c分析新知探究：（ + ）+a b ca c b c0（)ab c00a cb c 是与 同向的单位向量0cc分析
11、新知探究：（ + ）+a b ca c b c0（)ab c00a cb c 是与 同向的单位向量0cc任意向量与单位向量的数量积,等于这个向量在该单位向量上的投影的数量.分析新知探究：（ + ）+a b ca c b c0（)ab c00a cb c 是与 同向的单位向量0c0cab1A1BcA B O 分析新知探究：（ + ）+a b ca c b c0（)ab c00a cb c 是与 同向的单位向量0cc0cabab1A1BA B O 证明新知探究：（ + ）+a b ca c b c当 都是非零向量时,a, b, c设 , 即 是与 同向的单位向量0ccc 0cc0cabab1A1B
12、A B O 证明新知探究：（ + ）+a b ca c b c当 都是非零向量时,a, b, c设 , 即 是与 同向的单位向量0ccc 0c设点O与 都在直线 上,且0c OA, AB,ab=+= + a bOB OA AB则c0cabab1A1BA B O 证明新知探究：（ + ）+a b ca c b c当 都是非零向量时,a, b, c过A,B分别作直线 的垂线1AA1，BB则由向量投影的定义可知, 在 上的投影为a0c1OA 在 上的投影为 ,b0c11 AB 在 上的投影为+a b0c1 OB0cabab1A1BA B O 证明新知探究：（ + ）+a b ca c b c当 都是
13、非零向量时,a, b, c过A,B分别作直线 的垂线l则由向量投影的定义可知, 在 上的投影为0c1OA 在 上的投影为 ,b0c11 AB 在 上的投影为+a b0c1OB又因为111 1 OBOAAB,所以根据向量数量积的几何意义可知000()ab ca cb c1AA1，BBa0cabab1A1BA B O 证明新知探究：（ + ）+a b ca c b c当 都是非零向量时,a, b, c000()ab ca cb c在这个式子两边同时乘以 ,即可知c()ab ca cb c0cabab1A1BA B O 证明新知探究：（ + ）+a b ca c b c当 都是非零向量时,a, b,
14、 c000()ab ca cb c在这个式子两边同时乘以 ,即可知c()ab ca cb c当 中至少有一个为零向量时，等式显然成立.a, b, c0cabab1A1BA B O 证明新知探究：（ + ）+a b ca c b c当 都是非零向量时,a, b, c000()ab ca cb c在这个式子两边同时乘以 ,即可知c()ab ca cb c当 中至少有一个为零向量时，等式显然成立.a, b, c综上,向量的数量积对加法满足分配律.成立0cabab1A1BA B O 推广新知探究：（ + ）+ab ca b a c（ - ）-a b ca c b c小结新知探究：（ + ）+a b c
15、a c b c()()()a ba baba bb a典例分析：例 求证：22()()ababab典例分析：例 求证：证明等式的方法：作差法，综合法，分析法等22()()ababab典例分析：例 求证：证明：()()()()ababa abb ab22()()ababab典例分析：例 求证：证明：a aa bb ab b22()()ababab()()()()ababa abb ab典例分析：例 求证：证明：22()()abababa aa bb ab b()()()()ababa abb ab典例分析：例 求证：证明：22ab22()()ababab()()()()ababa abb aba
16、 aa bb ab b典例分析：例 已知 求=2， =1，=60 ,aba b2.a +b典例分析：例 已知 求分析：=2， =1，=60 ,aba b2.a +b22a +b典例分析：例 已知 求分析：=2， =1，=60 ,aba b2.a +b222(2 )a +bab典例分析：例 已知 求分析：=2， =1，=60 ,aba b2.a +b222(2 )(2 )(2 )a +bababab典例分析：例 已知 求分析：=2， =1，=60 ,aba b2.a +b422222(2 )(2 )(2 )22a +babababab a + ab +b典例分析：例 已知 求分析：=2， =1，
17、=60 ,aba b2.a +b442222222(2 )(2 )(2 )224a +babababab a + ab +baa b +b典例分析：例 已知 求解：=2， =1，=60 ,aba b2.a +b442222222(2 )(2 )(2 )224a +babababab a + ab +baa b +b典例分析：例 已知 求解：=2， =1，=60 ,aba b2.a +b442222222(2 )(2 )(2 )224a +babababab a + ab +baa b +bcos224,4 aa ba bb典例分析：例 已知 求解：=2， =1，=60 ,aba b2.a +b
18、442222222(2 )(2 )(2 )224a +babababab a + ab +baa b +bcos224,4 aa ba bb1442141122典例分析：例 已知 求解：=2， =1，=60 ,aba b2.a +b442222222(2 )(2 )(2 )224a +babababab a + ab +baa b +bcos224,4 aa ba bb144214112222 3ab典例分析：例 利用向量证明菱形的两条对角线互相垂直.如图,已知ABCD是菱形, AC与BD是两条对角线.求证：ACBD.BCDA典例分析：如图,已知ABCD是菱形, AC与BD是两条对角线.求证：
19、ACBD.BCDA ACBD分析：典例分析：如图,已知ABCD是菱形, AC与BD是两条对角线.求证：ACBD.BCDA ACBD0 AC BD分析：典例分析：如图,已知ABCD是菱形, AC与BD是两条对角线.求证：ACBD.BCDA ACBD0 AC BD()()0 ADABADAB分析：典例分析：如图,已知ABCD是菱形, AC与BD是两条对角线.求证：ACBD.BCDA ACBD0 AC BD220 ADAB分析：()()0 ADABADAB典例分析：如图,已知ABCD是菱形, AC与BD是两条对角线.求证：ACBD.BCDA ACBD0 AC BD220 ADAB220 ADAB分析
20、：()()0 ADABADAB典例分析：如图,已知ABCD是菱形, AC与BD是两条对角线.求证：ACBD.BCDA证明：由已知可得, ACADAB BDADAB典例分析：BCDA证明：由已知可得, ACADAB BDADAB所以()() AC BDADABADAB22. ADAB如图,已知ABCD是菱形, AC与BD是两条对角线.求证：ACBD.典例分析：如图,已知ABCD是菱形, AC与BD是两条对角线.求证：ACBD.BCDA证明：由已知可得, ACADAB BDADAB所以()() AC BDADABADAB又因为ABCD是菱形, 所以 ,即 ABAD， ADAB22. ADAB典例分
21、析：如图,已知ABCD是菱形, AC与BD是两条对角线.求证：ACBD.BCDA证明：由已知可得, ACADAB BDADAB所以()() AC BDADABADAB又因为ABCD是菱形, 所以 ,即ABAD， ADAB因此 从而 ,故0. AC BD ACBDACBD.22. ADAB典例分析：如图,已知ABCD是菱形, AC与BD是两条对角线.求证：BCDA小结：步骤1.用向量表示题目中已知、结论的几何关系. 步骤2.进行向量的线性运算、数量积运算. 步骤3.将向量关系还原为几何结论.ACBD. 关键：选择合适、恰当的基底,也是难点.课堂小结：课堂小结：1.向量数量积的运算律及证明.课堂小结：1.向量数量积的运算律及证明.2.利用向量数量积的定义和运算律解决等式证明及相关量 求解的问题.课堂小结：1.向量数量积的运算律及证明.2.利用向量数量积的定义和运算律解决等式证明及相关量求解的问题.3.利用向量法解决几何问题.课后作业：1.求证： .2221()2a babab2.已知向量 满足,a b2,120 ,aba b求 .-ab3.利用向量的数量积证明平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和.再见
