1、函数的极值与导数学习任务单函数的极值与导数学习任务单【学习目标】1通过观察具体函数,归纳并完善极值和极值点的概念;2通过实例,借助几何直观,发现极值与导数的关系;并能够适当解释这种关系的合理性;3通过实例,归纳极值与导数的关系;4能够借助极值与导数的关系,通过导数来研究函数的极值;并提炼出解决一般性问题的方法.【课上任务】1. 函数的单调性与导数有怎样的关系?2. 用导数研究函数单调性的方法是什么?3. 跳水运动员在最高处附近的情况:h(t)= -4.9t2+ 6.5t +10.(1)当 t=a 时,运动员距水面高度最大, h(t)在此点的导数是多少呢?(2)当 ta 时,h(t)的单调性如何
2、?(4)观察导数的符号有什么变化规律?4. 研究一般函数 y =f (x)在 a,b,c,d,e,f,g,h 点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?函数 y =f (x)在这些点的导数值是多少?在这些点附近,y =f (x)的导数的符号有什么规律?5. 在理解极值概念时需要注意哪些要点?6极值点处导数值(即切线斜率)有何特点?7若 f (x0)=0,则 x0是否为极值点?8极值点两侧导数正负符号有何规律?9导函数的正负是交替出现的吗?10你能归纳出利用导数研究函数极值的方法步骤吗?【学习疑问】11本节课研究问题用到了哪些方法?12借助几何直观研究函数极值与导数关系的过程中,哪个环节没弄清楚
3、?13对于极值与极值点概念的理解还有什么困惑?14您想向同伴提出什么问题?15您想向老师提出什么问题?16没看明白的文字,用自己的话怎么说?17本节课有几个环节,环节之间的联系和顺序?18同伴提出的问题,您怎么解决?19 本节课你探究问题的角度和老师的角度一致吗?如果不一致你能设计方案说明你的探究过程是否正确吗?【课后作业】1. 下图是函数 y=f (x)的图象, 试找出函数 y=f (x)的极值点, 并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点.2. 求下列函数的极值:(1)f (x) = 6x2-x-2 ;(2)f (x) = x3-27x ;(3)f (x) = 6+12x-x3;(4)f (x
4、) = 3x-x3.【课后作业参考答案】1.答案:极值点是 x1,x3,x5,x6,其中 x1和 x5是极大值点,x3和 x6是极小值点.2.(1)解:f (x) = 12x-1.令 f (x) = 0,解得112x .当 x 变化时,f (x),f (x)的变化情况如下表:所以,当112x 时,f (x)有极小值4924;f (x)无极大值.(2)解:f (x) = 3x2-27 = 3(x2-9) = 3(x-3)(x+3).令 f (x) = 0,解得 x = 3,或 x = -3.当 x 变化时,f (x),f (x)的变化情况如下表:所以,当 x =-3 时,f (x)有极大值 54
5、;当 x =3 时,f (x)有极小值-54.(3)解:f (x) = 12-3x2= -3(x2-4) = -3(x-2)(x+2).令 f (x) = 0,解得 x = 2,或 x = -2.当 x 变化时,f (x),f (x)的变化情况如下表:所以,当 x =2 时,f (x)有极大值 22;当 x =-2 时,f (x)有极小值-10.(4)解:f (x) = 3-3x2= -3(x2-1) = -3(x-1)(x+1).令 f (x) = 0,解得 x = 1,或 x = -1.当 x 变化时,f (x),f (x)的变化情况如下表:所以,当 x =1 时,f (x)有极大值 2;当 x =-1 时,f (x)有极小值-2.