1、教教 案案教学基本信息课题函数的极值与导数学科数学学段：高中年级高二教材书名：高中数学选修 2-2 出版社：人民教育出版社 出版日期：2002 年 6 月教学设计参与人员姓名单位设计者田佳北京市三里屯一中实施者田佳北京市三里屯一中指导者王文英北京市朝阳区教育研究中心课件制作者田佳北京市三里屯一中其他参与者无教学目标及教学重点、难点【教学目标】1.通过观察具体函数，归纳并完善极值和极值点的概念；2.通过实例，借助几何直观，发现极值与导数的关系；并能够适当解释这种关系的合理性；3.通过实例，归纳极值与导数的关系；4.能够借助极值与导数的关系， 通过导数来研究函数的极值； 并提炼出解决一般性问题的方
2、法.【教学重点】利用导数研究函数的极值.【教学难点】函数的极值与导数的关系.教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图复习回顾方法回顾：（1）函数的单调性与导数的关系；（2）用导数研究函数单调性的方法.问题问题 1 1 求出函数 f (x)=x3+3x2-24x-20 的单调区间.思考：在临界点附近函数图象有什么特点？引导学生回顾函数的单调性和导数关系，引发学生对临界点附近函数图象的特点的思考.研究跳水运动员在最高点处附近的情况：h(t)=-4.9t2+6.5t+10.高台跳水这个情景贯穿整个导数章节.对学生来说是熟悉的情景，便于研究.问题问题 2 将最高点处附近放大研究：（1）当 t=
3、a 时，运动员距水面高度最大，h(t)在此点的导数是多少呢？（2）当 ta 时，h(t)的单调性如何？（4）观察导数的符号有什么变化规律？在 t=a 附近，h(t)先增后减，h(t)先正后负，h(t)连续变化，于是有 h(a)=0思考：思考：对于一般函数是否也有同样的性质呢？问题问题 3（1）如图，函数 y=f (x)在 c，d，e，f，g，h点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y=f (x)在这些点的导数值是多少？在这些点附近，y=f (x)的导数的符号有什么规律？（2）如图，函数 y=f (x)在 a，b 点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y=f (x)在这些点的导数值是多少
4、？在这些点附近，y=f (x)的导数的符号有什么规律？极值与极值点的定义：一般地，设函数 f (x)在点 x0附近有定义， 如果对通过观察、归纳、猜想、操作确认、解释说明等环节，探究最高点附近导数的符号的变化规律.加深对导数概念的理解，体会数形结合，掌握研究问题的一般思路.研究特殊函数得到的结论有可能正确，也有可能不正确，培养学生对于猜想要有验证的意识.引导学生可以通过由特殊到一般的研究问题的方法，对一般函数进行检验.x0附近的所有的点，都有 f (x)f (x0)，则称 f (x0)是 f (x)的一个极小值，点 x0叫做函数 y =f (x)的极小值点.极小值点、极大值点统称为极值点，极大
5、值和极小值统称为极值.练习练习 观察下面的图象,试指出该函数在a，b的极值点与极值,并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点.理解极值概念时需注意：理解极值概念时需注意：(1)函数的极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的(2)极值点是函数定义域内的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点(3)若 f (x)在a，b内有极值，那么 f (x)在a，b内绝不是单调函数，即单调函数在其定义域内没有极值(4)极大值与极小值没有必然的大小关系一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值(如图(1)(5)若函数 f (x)在a，b上有极值，它的极值点
6、的分布是有规律的(如图(2)，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点借助几何直观，加深理解函数的极值和导数的关系.深入探究探究探究 1 1 极值点处导数值(即切线斜率）有何特点？结论:极值点处如果有切线，那么切线是水平的.即 f (x)=0.探究探究 2 2 若 f (x0)=0，则 x0是否为极值点？思考：x =0 是否为函数 f (x)=x3的极值点？结论：f (x0)=0 是函数取得极值的必要不充分条件.探究探究 3 3 极值点两侧导数正负符号有何规律？结论：极值点两侧，导数正负符号相异.注意:（1）f (x0)=0，x0不一定是极值点.（2）只有
7、 f (x0)=0 且 x0两侧单调性不同，x0才是极值点.（3）求极值点，可以先求满足 f (x0)=0 的点，再列表判断单调性.通过探究，加深学生对 f (x0)=0 是函数在x=x0处取得极值的必要而不充分条件的理解.学以致用例 1 求函数31( )443f xxx的极值.分析：学以致用，巩固对函数的极值和导数关系的理解解:因为31( )443f xxx，所以 f (x)=x2-4=(x-2)(x+2).令 f (x)=0，解得 x=2，或 x=-2.f (x)0，即 x2，或 x-2；f (x)0，即-2x2.当 x 变化时，f (x)，f (x)的变化情况如下表:所以，当 x= -2
8、 时，f (x)有极大值283；当 x = 2 时，f (x)有极小值4.3题后反思：题后反思：解决例 1 的基本过程.例 2 求函数 f (x)=lnx-x 的极值.分析：解：因为 f (x)=lnx-x，所以11( )1xfxxx，( )01.fxx时，当 x 变化时，f (x)，f (x)的变化情况如下表:所以，当 x=1 时，函数的极大值是-1；函数无极小值.题后反思：题后反思：（1）列表时不要忽视定义域；（2）某些函数可能仅有一个极值.例 3 求函数1( )f xxx的极值.分析：通过例 1 的解决体会导数在研究函数图象性质时的优越性.(0,).x1( ), |0.f xxx xx解
9、：=所以22211( )1xf xxx ，( )01.f xx时，当 x 变化时，f (x)，f (x)的变化情况如下表:所以，当 x=-1 时，函数有极大值-2；当 x=1 时，函数有极小值 2.题后反思：题后反思：导函数的正负是交替出现的吗？经历例 1 和例 2 的解决过程，学生已经初步体会到用导数方法研究函数极值的基本步骤.通过例 3 的解决，学生进一步体会函数定义域的重要性，以及表格中导函数的正负并不一定是交替出现的.归纳方法求函数极值的一般方法：（1）确定函数的定义域；（2）求方程 f (x)=0 的解；（3）用方程 f (x)=0 的解，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表
10、格；（4）由 f (x)在方程 f (x)=0 的解左右的符号来判断 f (x)在此处取极值的情况.解方程 f (x)=0.当 f (x0)=0 时：若在 x0附近，f (x)左正右负，则 f (x0)为极大值；若在 x0附近，f (x)左负右正，则 f (x0)为极小值.从特殊问题到一般问题，完成方法的提炼.总结提升引导学生完成课堂小结， 梳理知识、 方法、体会等.课后作业1.下图是函数 y=f (x)的图象, 试找出函数 y=f (x)的极值点, 并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点.2.求下列函数的极值.（1）f (x) = 6x2-x-2 ；（2）f (x) = x3-27x ；（3）f (x) = 6+12x-x3；（4）f (x) = 3x-x3.
