1、教教 案案教学基本信息课题7.2.2 复数的乘、除运算学科数学学段： 高中年级高一教材书名：普通高中教科书数学必修第二册出版社： 人民教育出版社出版日期：2019 年 6 月教学设计参与人员姓名单位设计者李焱沐北京师范大学附属中学平谷第一分校实施者李焱沐北京师范大学附属中学平谷第一分校指导者岳广胜北京市平谷区教育研修中心课件制作者李焱沐北京师范大学附属中学平谷第一分校其他参与者教学目标及教学重点、难点教学目标：1. 知识与技能目标：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则。2. 过程与方法目标：在问题探究过程中，体会和学习类比等数学思想方法，感悟运算形成的基本过程。3. 情感、态度与价值观
2、目标：培养类比思想和逆向思维；通过复数的乘除法的学习，体会实虚数的矛盾和统一，加深对数学的情感认识。教学重点：复数代数形式的乘、除法的运算法则及其运算律。教学难点：复数除法的运算法则。教学方法：探究法。教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图引入各位同学， 大家好。 今天这节课我们将探讨复数的乘法、 除法运算。经过前面的学习，我们了解了复数的概念，以及复数加减法运算及其几何意义。复数的加法和减法法则，类似多项式的加减法，是将复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加减。从几何意义的角度出发，复数的加法可以按照向量的加法（平行四边形法则）来进行，复数的减法可以按复习复数的加减法运算及其几何意义
3、相关知识，通过复数加照向量的减法（三角形法则）来进。一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。通过上节课的探究，我们发现，复数的加减法与实数中多项式的加减法类似，那么，复数的乘除运算，是否也有这个规律呢？接下来让我们一起来探究一下。减法运算与实数运算的对比， 引出复数乘除法的运算法则。新课（一）复数的乘法法则：（一）复数的乘法法则：我们规定，复数的乘法法则如下：设12,( , , ,)zabi zcdi a b c dR ，那么他们的积21 2()()()()z zabi cdiacadibcibdiacbdadbc i根据复数的乘法法则，请同学们思考一下问题
4、：问题（1） ：两个复数的积是个什么数？它的的值唯一确定吗？通过观察，我们发现，两个复数的积仍是复数，它的值唯一确定。问题（2） ：当12,z z都是实数时，与实数乘法法则一致吗？根据法则，我们发现，当=0bd时，12,z z都是实数，复数的乘法与实数乘法法则一致。问题（3） ：复数的乘法类似于实数的哪种运算方法?两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得结果中把2i换成1，并且把实部与虚部分别合并即可。通过以上探究，我们知道，两个复数的积仍然是一个复数，且唯一确定，运算中与实数的乘法法则保持一致，类似于两个多项式相乘。（二）复数乘法的运算律（二）复数乘法的运算律复数的加法满足实数运算中的
5、运算律，那么，复数的乘法是否满足实数乘法的运算律呢？复数的乘法满足交换律、结合律、分配律。以1 22 1z zz z为例，让我们一起验证。设12,( , , ,)zabi zcdi a b c dR ，根据乘法的运算法则：212()()()()z zabi cdiacadibcibdiacbdadbc i221()()()()z zcdi abiacbciadibdiacbdadbc i所以，1 22 1z zz z同理可证，1 2312 31231 21 3()();()z z zz z zz zzz zz z（三）复数的除法法则（三）复数的除法法则与复数减法法则的推导方法类似， 我们利用复
6、数的减法是复数加法与实数多项式的乘法进行类比， 有利于学生理解复数的乘法法则。 同时培养学生类比的核心素养。引导学生根据复数的加法满足实数加法的运算律， 大胆尝试推导复数乘法的运算律。培养学生的学习兴趣和勇于探索的精深。的逆运算，利用复数的加法法则，推导出了复数的减法法则。现在我们依据，复数的除法是乘法的逆运算，利用复数的乘法法则，去推导复数的除法法则。即把满足(i)(i)i,( , , ,)cdxyaba b c dR的复数ixy，叫做复数iiabcd除以的商。(i)(i)icdxyab计算，得到2iii+ icxcydxdya b，计算，得到，()()i+ icxdycydxa b，由复数
7、相等的定义，得,cxdya cydxb，联立以上两个等式，, , ,xya b c d将 和 作为未知量，作为常数，解这个二元一次方程组，用加减消元法比较简单，最终解得2222,acbdbcadxycdcd。(,i0)abcdc d， ， ，R 且 +以上，就是复数除法法则的探究过程。设12,( , , ,)zabi zcdi a b c dR ，复数的除法法则是：2222(i)(i)iacbdbcadabcdcdcd， 由此可见， 两个复数相除 （除数不为 0） ，所得的商是一个确定的复数。说明：在进行复数的除法运算时，通常先把(i)(i)abcd写成iiabcd的形式，再把分子与分母都乘分
8、母的共轭复数icd，即222222i(i)(i)()()i(i)(i)i(i)(i)iababcdacbdbcadabcdcdcdcdcdacbdbcadcdcd这里分子分母都乘分母的“实数化因式” （共轭复数） ，从而使分母“实数化” 。2222(i)(i)+ iacbdbcadabcdcdcd通过将复数的除法转化成分式的除法， 再类比实数中的分母有理化， 对分母进行实数化， 通过该化简的过程， 帮助学生理解复数的除法法则。 渗透类比和转化的数学思想方法， 体会数学知识的紧密联系。例题（一）复数的乘法对应例题例，计算(12i)(34i)( 2i) 分析：分析：复数的乘法，类似于多项式乘法，从
9、左到右进行计算。解：(12i)(34i)( 2i) (11 2i)( 2i)20 15i 例，计算(1)(23i)(23i)2(2)(1 i)分析分析：可以利用复数的乘法法则计算，也可以用与实数系相对应的乘法公式计算解：(1)(23i)(23i)4( 9)13 22(2)(1 i)12ii12i 12i （二）复数的除法对应例题例，计算(12i)(34i)分析：分析：先将除法化成分式的形式，在进行分母实数化运算。解(12i)(34i)12i(12i)(34i)34i(34i)(34i)5 10i12i2555 例，在复数范围内解下列方程220 x 2222i)2i)2202i（-方程的根为 x
10、及时运用新的理论知识，进行应用和巩固练习， 让学生体验成功。 使学生实现从掌握知识到运用知识的转化。在计算的过程中， 锻炼学生的计算能力， 培养学生的数学运算的核心能力。在熟练应用复数的乘法除法运算法则之余， 进行提升练习。 让学生先独立思考， 提高学生的建构能力及主动发现问题， 探究问题的能力。分层教学， 让不同能力水平的学生学有所得。总结（1）复数代数形式的乘法法则：）复数代数形式的乘法法则：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得结果中把2i换成1，并且把实部与虚部分别合并即可。（2）复数代数形式的除法法则：复数代数形式的除法法则：在进行复数的除法运算时，通常先把(i)(i)abcd写成iiabcd通过课堂小结， 增强学生对复数代数形式的乘法除法运算的理解。 引导学生自我反馈、自我总结， 并对所学知识的形式， 再把分子与分母都乘分母的共轭复数icd， 将分母 “实数化” 。 进行提炼升华。作业1.计算：(1)(76i)( 3i)(2)(34i)( 23i) (3)(12i)(34i)( 2i) 2.计算：(1)( 3+ 2i)(3+ 2i)2(2)(1 i)(3)i(2i)(12i)3.计算：1 i(1)1 i1(2)i7i(3)34i( 1 i)(2+i)(4)i 4.在复数范围内解下列方程：2(1)9160 x2(2)10 xx课后巩固，知识升华。
