1、教教 案案 教学基本信息 课题 复数的概念 学科 数学 学段： 高中 年级 高一 教材 书名：普通高中数学教科书 B 版数学必修第四册 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019 年 7 月 教学设计参与人员 姓名 单位 联系方式 设计者 吴照洋 北京市昌平区第二中学 实施者 吴照洋 北京市昌平区第二中学 指导者 高丽娟 北京市昌平区教师进修学校 课件制作者 吴照洋 北京市昌平区第二中学 其他参与者 罗柳英 北京市昌平区第二中学 教学目标及教学重点、难点 本节课主要学习复数的概念. 从方程是否有解的角度，理解引入复数的必要性，了解数系的扩充. 在学习过程中，发展数学抽象和逻辑推理的核心素养，体
2、会数系扩充过程中的理性思维、创新精神和数学文化. 本节课共涉及 2 个例题. 教学过程(表格描述) 教学 环节 主要教学活动 设置 意图 引入 环节 1-1 数学文化引入新课 展示分形几何中芒德布罗 （Mandelbrot） 分形图， 引入新课. 环节 1-2 回顾数系的扩充过程 数学扩充的过程：自然数 整数 有理数 实数. 从实际生活需要、 数学内部发展的需要 （运算和运算律、 解方程）两个角度解读数系的扩充过程. 通过数学文化引入新课，激发学生学习兴趣. 回顾已知数系的扩充过程，思想和方法，为新数系的扩充作方法上的 引入 环节 1-3 回顾一元 n 次方程的求解问题 一元 n 次方程的求根
3、问题，是一个特别具有历史意义的问题. 数系的多次扩充，都和它密切相关. 在实数的范围内解方程是否还有有待解决的问题呢？ 梳理一元一次方程、一元二次方程和一元三次方程的求解历史. 1. 一元一次方程(0axb a= )在实数范围内有根bxa=. 2. 一元二次方程20 (0axbxca+= ), 当判别式2=40bac，它在实数范围内有两根 22124+4=,=22bbacbbacxxaa ; 当判别式2=40bac，它在实数范围内无解.它有没有可能，在更大的数集内有解呢？ 比如，一元二次方程21x = 在更大的数集内有没有可能有解？ 3.一元三次方程3xpxq=+（, p q均为正实数）正根的
4、公式232333223223qqpqqpx=+. 如 果 方 程 是3154xx=+， 则 由 上 述 公 式 可 求 得 正 根332 1112 111x =+ + 但是因为 33222154164(16)(4)(4)(41)(4)(2)3xxxxxx xxxxxxx=+=+=+=+ 所以4x =是方程3154xx=+的唯一正根， 因此，332 1112 1114+ + =应该成立 上述方程的求解过程中，我们遇到两个问题： 【问题 1】一元二次方程21x = 在更大的数集内有没有可能有解？ 【问题 2】等式332 1112 1114+ + =为何成立？ 这两个问题的核心是：1的平方根是什么？
5、 准备. 从数学内部解方程的需要的角度，梳理一元 n次方程的求解历史，了解复数概念形成的重要发展阶段，渗透数学文化，理解引入复数的必要性，提出学习疑问，激发学习欲望，为学习新知学习作铺垫. 引入 环节环节 1 1- -4 4 介绍数学史介绍数学史虚数名词的由来虚数名词的由来 这里的1，在历史上被认为是一个“虚幻”的数，因为当时人们认为1这样的数，是真实但又不存在的数. 17 世纪著名的法国数学家、哲学家笛卡尔在 1637 年首次使用“虚数”这个名词，来命名1这样的数. 介绍数学史，渗透数学文化，提升学习兴趣. 新课 环节环节 2 2- -1 1 定义定义虚数单位虚数单位i 一般地，为了使方程2
6、1x = 有解，人们规定i的平方等于1，即 2i1= ， 并i称为虚数单位. 需要特别说明的是： （1）虚数单位i=1，是一个规定的数. （2）虚数单位i是1的一个平方根，i是1的另一个平方根. （3）为避免与(0)a a 混淆，一般不使用1的形式，而是直接用i代替. 环节环节 2 2- -2 2 介绍数学史介绍数学史虚数单位符号虚数单位符号i的由来的由来 1777 年伟大的瑞士数学家欧拉 （Euler） 第一次用 i 来表示-1 的平方根，首创了符号 i 作为虚数的单位，极大地促进了复变函数论这一数学分支的发展. 环节环节 2 2- -3 3 定义定义实数与虚数单位和与积实数与虚数单位和与积
7、 【问题 3】引入虚数单位i后，我们希望实数与数i和仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满足交换 引 入 新 定义，定义辨析. 介绍数学史，渗透数学文化，提升学习兴趣. 类比实数运算，从运算 新课 律、结合律， 乘法对加法满足分配律，这样，实数系得到扩充，得到的新数系是由哪些数组成呢？ 定义实数与虚数单位i和与积： 实数a与i的和，记作ia+，且实数0与i的和为i； 实数b与i的积，记作i b，且实数0与i的积为0. 环节环节 2 2- -4 4 定义复数定义复数 【问题 4】 如果将实数实数a与i b， 我们还可以得到哪些形式的数呢？ 我们还可得到形如i ( ,)aba b
8、+R这样的数，这就是我们接下来要讲的复数. 一般地，当, a b都是实数时，称iab+为复数. 复数一般用小写字母z表示，即 i ( ,)zaba b=+R 其中实数a称为z的实部，实数b称为z的虚部，分别记作( ),( )zazb=ReIm. 复数 i ( ,)zaba b=+R由它的实部a和虚部b唯一确定. 比如，23i+是一个实部为2，虚部为3的复数；23i2( 3)i = + 是一个实部为2，虚部为3的复数；3i0( 3)i=+ 是 一 个 实 部 为0， 虚 部 为3的 复 数 ；3( 3)0i = +是一个实部为3，虚部为0的复数；000i=+是一个实部为0，虚部为0的复数. 所有
9、复数组成的集合称为复数集，复数集用大写字母C表示，即 |i,z zaba b=+CR 环节环节 2 2- -5 5 复数的分类复数的分类 【问题 5】复数izab=+与实数有何关系？ 当虚部=0b时，za=是实数.这说明复数集C是实数集R的扩充. 当虚部0b时，izab=+称为虚数. 特别地，实部=0a的虚数称为纯虚数. 比如，3，0是实数数；23i+，2 3i ，3i是虚数，其中3i是纯虚数； 根据实数与复数的关系，我们可以将复数作如下的分类： 的角度，引入实数与虚数单位和与积的定义. 从运算的角度，给出复数的定义，讲解概念 辨析概念 新课 复数 0i000bzabbab=+=实数()虚数(
10、)纯虚数(且) 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用韦恩图表示如下: 环节环节 2 2- -6 6 定义定义复数相等复数相等 由于复数 i ( ,)zaba b=+R由它的实部a和虚部b唯一确定，我们可以通过复数的实部和虚部定义两个复数的相等. 两个复数1z与2z， 如果实部和虚部都对应相等， 我们就说两个复数相等，12zz=. 也就是说iiabcdacbd+=+=且， 特别地，i000abab+=且. 我们知道，两个不相等的实数一定可以比较大小. 【问题 6】对于两个复数，如果不全是实数，比如虚数单位i和0，它们之间能比较大小吗？ 若假定i0，则i i0 ，即2i0，10 ，矛盾
11、; 若假定i0，即2i0，10 ，矛盾! 两个复数，如果不全是实数，一般不规定它们之间的大小，只能说它们相等或不相等. 辨析概念 例题 例例 1 1 分别求实数x的取值，使得复数(2)(3)izxx=+ （1）是实数； （2）是虚数； （3）是纯虚数. 分析： 因为x是实数，所以z的实部是2x，虚部是3x+，然后根据复数izab=+是实数、 虚数和纯虚数的条件可以确定x的值. 解:（1）当30 x+=即3x =时，复数z是实数. （2）当30 x+即3x 时，复数z是虚数. （3）当20 x=且30 x+ 即2x =时，复数z是纯虚数. 例例 2 分别求满足下列关系的实数x与y的值. (1)
12、(2 )i6()ixyxxy+ =+; (2) (1)(2)i0 xyxy+=. 分析：本题中两个复数相等，可利用复数相等的定义求解. 解:（1）根据复数相等的定义，得 通过例题巩固新概念，体会用方程或不等式的思想解决问题. 261xyxy+= =， 解方程得25,33xy=. （2）由复数等于0的充要条件，得 10(2)0 xyxy+ =+=， 解方程得31,22xy= =. 总结 【问题 7】本节课我们学了哪些知识和用到了哪些思想方法？ 1. 数学知识 21ii0000 xzababbbab= =+= =方程的解，引入虚数单位数系扩充：实数复数复数定义：，其中 是实部, 是虚部.复数复数相
13、等：实部和虚部对应相等实数()复数分类：虚数()纯虚数(且) 2. 思想方法：类比的方法，方程的思想 课堂小结，知识提升. 作业 课后作业： 1. 下列各数中，哪些是实数？哪些是虚数？哪些是纯虚数？ 3，2i，0，i，6+5i，22i，74i，3 i . 2. 分别求实数m的取值范围，使得复数(2)(6)izmm=+ （1）是实数； （2）是虚数； （3）是纯虚数. 3. 分别求满足下列关系的实数x与y的值. （1）(3)+(1)i33ixyxy+=+; （2）(1)(21)i0 xyxy+=. 【课后作业参考答案】 1. 实数：3， 0； 虚数：2i， ，i，6+5i，22i，74i，3 i ；纯虚数：2i， i. 2. （1）当6m =时，复数z是实数； （2）当6m 时，复数z是虚数； （3）当2m= 时，复数z是纯虚数. 3. （1）根据复数相等的定义，得 3313xyxy+= =， 课后作业，知识巩固. 解方程得5,1xy=. （2）由复数等于0的充要条件，得 10(21)0 xyxy+ =+=， 解方程得1,0 xy= =.
