1、教教 案案 教学基本信息 课题 余弦定理(第二课时) 学科 数学 学段： 高中 年级 高一 教材 书名：普通高中教科书数学（B 版）必修第四册 出版社：人民教育出版社设 出版日期： 2019 年 7 月 教学设计参与人员 姓名 单位 设计者 郑莉 北京市昌平区第二中学 实施者 郑莉 北京市昌平区第二中学 指导者 高丽娟 昌平区教师进修学校 课件制作者 郑莉 北京市昌平区第二中学 其他参与者 无 无 教学目标及教学重点、难点 本节课通过判断三角形形状、 平面多边形面积以及恒等式证明等问题， 引导学生梳理分析相关问题的思路，掌握解决相关问题的方法，体会余弦定理的简单应用。强化类比与转化思想，提升逻
2、辑推理、数学运算的数学核心素养。共涉及 3 道例题。 教学过程(表格描述) 教学环节 主要教学活动 设置意图 引入 类比正弦定理的学习过程,明确研究问题的基本步骤及本节课的学习任务. 新课 【任务 1】复习定理复习定理 问题 1：余弦定理的语言表述、符号表示分别是什么？有什么常用的公式变形? 可以解什么三角形？ （1）定理内容： 复习巩固定理，为本节课的简单应用做好知识准备 三角形任何一边的平方，等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的 2 倍. （2）符号表述： 2222222222cos2cos2cosa =b +cbcAb =a +cacBc =a +babC （3）公式变形：
3、 222222222cos2cos2cos2bcaAbcacbBacabcCab （4）定理应用： 解三角形：已知三角形两边及夹角； 已知三角形三边. 复习巩固余弦定理的简单应用 例题 【任务 2】判断三角形形状判断三角形形状 问题 2： .在ABC中,已知coscosaAbB,试判断ABC的形状. 请同学们思考： （1）我们通常怎样判断一个三角形形状？ 从边或角判断 （2）对coscosaAbB的变形方向是什么？ 转化 1: 由余弦定理得:22222222bcaacbabbcac 转化 2: 由正弦定理,设:sinsinabkAB 因此 sin ,sinakA bkB 因此sincossin
4、cosAABB （3）请同学们完成以上推理，并指明以下推理过程中存在的问题 转化 1: 由余弦定理得:22222222bcaacbabbcac 因此 22222222()()a bcab acb 因此2222440a cb cab 梳理已有的判断三角形形状的常用方法，从而明确对已知等式的变形方向 引导学生交流边角混合式进行边角互换的不同转化策略，即边换成角，或角换成边，培养转化思想，并学会用正弦或余弦定理完成相应转化，体会他们在解三角形问题中的工具作用。 从而2222222()()()0ab cabab 所以222()0cab 所以222+abc,ABC为直角三角形. 转化 2: 由正弦定理,
5、设:sinsinabkAB 因此 sin ,sinakA bkB 因此sincossincosAABB 从而11sin2sin222AB 所以sin2sin2AB 因此22 +2,ABkkZ 因为,(0, )A B，所以22AB 即AB,ABC为等腰三角形. （4）对于边角混合式，我们通常做怎样的探究？ （5）对于判断三角形形状的方法我们可以做怎样的完善？ （6）变式：满足coscosabAB 的三角形是什么形状？ coscoscosabcABC呢？ 鼓励学生自己推理，并通过错例，引导学生发现并关注推理过程中的典型运算问题，养成严谨的学习习惯，提升逻辑推理、数学运算的数学学科素养. 梳理此类问
6、题解题思路，明确余弦定理的转化功能，确定解题步骤. 体会余弦定理是勾股定理的推广，完善判断三角形形状问题中方法. 通过变式让学生练习解决此类问题，并对比此结论与正弦定理适用范围的特殊与一与满足sinsinsinabcABC的三角形有何不同？请同学们课下尝试探究. 【任务 3】解决平面多边形有关问题解决平面多边形有关问题 问 题4: 如 图 所 示 , 平 面 四 边 形ABCD中 , 已 知0180BD2,4 2,4,2 5ABBCCDAD 求四边形的ABCD面积. 请同学们思考: （1） 我们如何求平面多边形面积？ （2） 我们如何理解已知中的边、角条件 在ABC与ADC中: 2222222
7、cos2cosACABBCAB BCBACADCDAD CDD （3） 请同学们结合以上分析，尝试继续探究解决问题. 【任务 4】恒等式证明恒等式证明 问题 5：在ABC中,求证:cos+ cosabC cB 请同学们思考： （1） 结合已有的解决三角形问题的经验和方法， 我们可以尝试对等式怎样证明？ 代数角度：代数角度： 边角混合式，边角转换 由余弦定理得： 般的区别。 梳理平面多边形有关的问题的转化方向，转化思想 明确培养学生的审题习惯与分析问题能力，为进一步探究找到方向. 养数学探究习惯，提升数学运算与逻辑推理的学科核心素养. 从代数的角度变形、推理、证明. 222222222222co
8、s+ cos=222bC cBabcacbbcabacabcacbaa 左 几何角度：几何角度： 一般三角形转化为直角三角形 向量角度：向量角度： （2）回顾余弦定理的推导过程，我们可以从那个角度分析三角形中的数量关系？对已知等式又可以尝试怎样证明？ 在ABC中CBCAAB 因此 ()= CB CBCAAB CBCA CBAB CB 因为,cosCBa CA CBbaCcosAB CBcaB 所以2coscosabaCcaB 即coscosabCcB 由向量数量积的几何意义可知: cosbC是CA在CB上的投影的数量 coscB是AB在CB上的投影的数量 所以coscosabCcB （3）类比
9、得出coscosabCcB的过程，还可以有哪些结论？ 同学们课后可以尝试用以上结论对余弦定理进行推导 从几何的角度理解代数式的几何意义,完成证明. 引导学生明确将向量之间的关系转化为数量关系是一种通法，一些数量关系从向量的角度去分析是种重要的数学方法，可以解决许多较为复杂的问题 巩固方法，培养学生逻辑推理能力. 总结 梳理余弦定理的应用，并深化体会本节课用到的方程思想和转化思想 梳理解三角形的 主要工具,明确余弦定理也是解三角形的基础，是解决几何与图形中线段长度、距离计算的重要工具. 作业 1在ABC中，分别根据下列条件，判断三角形形状； : :3:4:5a b c ； 22tantanaBbA； (coscos )abcBA 2.在ABC中，求证： 2222(coscoscos )abcbcAacBabC 3.在ABC中，已知2AB，求证：2 cosabB 4.拓展阅读:秦九韶的”三斜求积术,尝试是否有更简洁的 证明方法. 巩固方法 应用练习
