1、知识点一向量的有关概念名称定义向量既有大小又有方向的量叫作向量，向量的大小叫作向量的长度(或称模)零向量长度为零的向量叫作零向量，其方向是任意的，零向量记作 0单位向量长度等于 1 个单位的向量平行向量表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合， 则这两个向量叫作平行向量，平行向量又叫共线向量规定：0 与任一向量平行相等向量长度相等且方向相同的向量相反向量长度相等且方向相反的向量易误提醒1对于平行向量易忽视两点：(1)零向量与任一向量平行(2)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件2单位向量的定义中只规定了长度没有方向限制自测练习1若向量a与b不相等，则a与b一定()A有不
2、相等的模B不共线C不可能都是零向量D不可能都是单位向量解析：若a与b都是零向量，则ab，故选项 C 正确答案：C2若mn，nk，则向量m与向量k()A共线B不共线C共线且同向D不一定共线解析：可举特例，当n0 时，满足mn，nk，故 A，B，C 选项都不正确，故 D正确答案：D知识点二向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：abba；(2)结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算叫作a与b的差三角形法则aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|；(2)当0 时，a的方向与a的方向相同；当0
3、 时，a的方向与a的方向相反；当0 时，a0(a)()a；()aaa；(ab)ab易误提醒1作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点2数乘向量仍为向量只是模与方向发生变化，易认为数乘向量为实数自测练习3已知在ABC中，D是BC的中点，那么下列各式中正确的是()A.ABACBCB.AB12BCDAC.ADDCACD2CDBACA解析：本题考查向量的线性运算A 错，应为ABAC2AD；B错，应为12BCDABDDABA；C 错，应为ACADDC；D 正确，2CDBACBBACA，故选 D.答案：D知识点三共线向量定理向量a(a0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得ba.易误提
4、醒1在向量共线的重要条件中易忽视“a0” ，否则可能不存在，也可能有无数个2要注意向量共线与三点共线的区别与联系必记结论三点共线等价关系：A，P，B三点共线APAB(0)OP(1t)OAtOB(O为平面内异于A，P，B的任一点，tR)OPxOAyOB(O为平面内异于A，P，B的任一点，xR，yR，xy1)自测练习4已知a与b是两个不共线向量，且向量ab与(b3a)共线，则_.解析：由题意知abk(b3a)，所以k，13k，解得k13，13.答案：13考点一向量的基本概念|1已知a，b，c是任意向量，给出下列命题：若ab，bc，则ac；若ab，则a，b方向相同或相反；若ab，则|a|b|；若a，
5、b不共线，则a，b中至少有一个为零向量，其中正确命题的个数是()A4B3C2D1解析： 按照平面向量的概念逐一判断 若b0， 则都错误； 若ab， 则|a|b|，正确；若a，b不共线，则a，b中一定没有零向量，错误，所以正确命题只有 1 个答案：D2设a，b都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a|a|b|b|0 成立的是()Aa2bBabCa13bDab解析：由a|a|b|b|0 得a|a|b|b|0，即ab|b|a|0，则a，b共线且方向相反，因此当向量a，b共线且方向相反时，能使a|a|b|b|0 成立对照各个选项可知，选项 A中向量a，b的方向相同，选项 B 中向量a，b共线，方向相同
6、或相反，选项 C 中向量a，b的方向相反，选项 D 中向量a，b互相垂直，故选 C.答案：C解决向量的概念问题应关注五点(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性(3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关(4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈(5)非零向量a与a|a|的关系：a|a|是a方向上的单位向量考点二平面向量的线性运算|(1)设D为ABC所在平面内一点，BC3CD，则()A.AD13AB43ACB.AD13AB43ACC.AD43AB13ACD.AD43AB13AC解析由题意得A
7、DACCDAC13BCAC13AC13AB13AB43AC，故选A.答案A(2)(2015东北三校联考(二)已知在ABC中，D是AB边上的一点，若AD2DB，CD13CACB，则_.解析因为AD2DB，CD13CACB， 所以CDCAADCA23ABCA23(CBCA)13CA23CB，所以23.答案23平面向量线性运算问题的两种类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义向量加法和减法均适合平行四边形法则(2)求已知向量的和一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则1设O为ABC内部的一点，且OAOB2OC0，则AOC的面积与BOC的面积之比为()
8、A.32B.53C2D1解析：取AB的中点E，连接OE，则有OAOB2OC2(OEOC)0，OEOC0，所以E，O，C三点共线，所以有AEO与BEO面积相等，因此AOC的面积与BOC的面积之比为 1，故选 D.答案：D考点三共线向量定理的应用|设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_.解析由于ab与a2b平行， 所以存在R， 使得ab(a2b)， 即()a(12)b0，因为向量a，b不平行，所以0,120，解得12.答案121共线向量定理的应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值(2)若a，b不共线，则ab0 的充要条件是0，这一结论结合待定系数法应用非
9、常广泛2证明三点共线的方法若ABAC，则A、B、C三点共线2设两个非零向量e1和e2不共线(1)如果ABe1e2，BC3e12e2，CD8e12e2，求证：A，C，D三点共线；(2)如果ABe1e2，BC2e13e2，AF3e1ke2，且A，C，F三点共线，求k的值解：(1)证明：ABe1e2，BC3e12e2，ACABBC4e1e2，又CD8e12e2，CD2AC，AC与CD共线又AC与CD有公共点C，A，C，D三点共线(2)ABe1e2，BC2e13e2，ACABBC3e12e2.A，C，F三点共线ACAF，从而存在实数，使得ACAF.3e12e23e1ke2，又e1，e2是不共线的非零向
10、量，33，2k，因此k2.实数k的值为 2.13.方程思想在平面向量呈线性运算中的应用【典例】如图所示，在ABO中，OC14OA，OD12OB，AD与BC相交于点M，设OAa，OBb.试用a和b表示向量OM.思路点拨(1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领， 要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去(2)既然OM能用a，b表示，那我们不妨设出OMmanb.(3)利用向量共线建立方程，用方程的思想求解解设OMmanb，则AMOMOAmamba(m1)anb.ADODOA12OBOAa12b.又A，M，D三点共线，AM与AD共线存在实数t，使得AMtAD，即(m1)anbta12b.
11、(m1)anbta12tb.m1t，nt2，消去t得，m12n，即m2n1.又CMOMOCmanb14am14anb，CBOBOCb14a14ab.又C，M，B三点共线，CM与CB共线存在实数t1，使得CMt1CB，m14anbt114ab，m1414t1，nt1.消去t1得，4mn1.由得m17，n37，OM17a37b.方法点评(1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度(2)易错点是，找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析
12、、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧如本题易忽视A，M，D三点共线和B，M，C三点共线这个几何特征(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会跟踪练习如图，ABC中，GAGBGC0，CAa，CBb.若CPma，CQnb，CGPQH，CG2CH，则1m1n_.解析： 由GAGBGC0， 知G为ABC的重心， 取AB的中点D(图略)， 则CH12CG13CD16(CACB)16mCP16nCQ，由P，H，Q三点共线，得16m16n1，则1m1n6.答案：6课时跟踪检测A 组考点能力演练1关于平面向量，下列说法正确的是()A零向量是唯一没有方向的向量B平面内的单位向量是唯一的C方向相反的向
13、量是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量D共线向量就是相等向量解析：对于 A，零向量是有方向的，其方向是任意的，故 A 不正确；对于 B，单位向量的模为 1， 其方向可以是任意方向，故 B 不正确； 对于 C， 方向相反的向量一定是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量，故 C 正确；对于 D，由共线向量和相等向量的定义可知 D 不正确，故选 C.答案：C2已知O，A，B，C为同一平面内的四个点，若 2ACCB0，则向量OC等于()A.23OA13OBB13OA23OBC2OAOBDOA2OB解析：因为ACOCOA，CBOBOC，所以 2ACCB2(OCOA)(OBOC)OC2OAOB0
14、，所以OC2OAOB，故选 C.答案：C3已知在ABC中，M是BC的中点，设CBa，CAb，则AM()A.12abB.12abCa12bDa12b解析：AMACCMCA12CBb12a.答案：A4.(2015海淀期中)如图所示，在ABC中，D为BC边上的一点，且BD2DC，若ACmABnAD(m，nR)，则mn()A2B2C1D1解析：ACABBCAB32BDAB32(ADAB)12AB32AD，则m12，n32，所以mn2.答案：B5若a，b是两个不共线的非零向量，a与b的起点相同，已知a，tb，13(ab)三个向量的终点在同一条直线上，则t()A.12B12C2D2解析：设OAa，OBtb
15、，OC13(ab)，则ACOCOA23a13b，ABOBOAtaa.要使A，B，C三点共线，只需ACAB，即23a13btba即可，又a，b是两个不共线的非零向量，23，13t，解得23，t12，当三个向量的终点在同一条直线上时，t12.答案：A6(2016长沙一模)在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若BC5e1，DC3e2，则OC_.(用e1，e2表示)解析： 在矩形ABCD中， 因为O是对角线的交点， 所以OC12AC12(ABAD)12(DCBC)12(5e13e2)答案：12(5e13e2)7已知向量e1，e2是两个不共线的向量，若a2e1e2与be1e2共线，则_.解析：因为a与b
16、共线，所以axb，x2，x1，故12.答案：128.已知点G是ABC的外心，GA，GB，GC是三个单位向量， 且 2GAABAC0，如图所示，ABC的顶点B，C分别在x轴的非负半轴和y轴的非负半轴上移动，O是坐标原点， 则|OA|的最大值为_解析：因为点G是ABC的外心，且 2GAABAC0，所以点G是BC的中点，ABC是直角三角形，且BAC是直角又GA，GB，GC是三个单位向量，所以BC2，又ABC的顶点B，C分别在x轴的非负半轴和y轴的非负半轴上移动，所以点G的轨迹是以原点为圆心、1 为半径的圆弧又|GA|1，所以当OA经过BC的中点G时，|OA|取得最大值，且最大值为 2|GA|2.答案
17、：29已知a，b不共线，OAa，OBb，OCc，ODd，OEe，设tR，如果3ac,2bd，et(ab)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由解：由题设知，CDdc2b3a，CEec(t3)atb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得CEkCD，即(t3)atb3ka2kb，整理得(t33k)a(2kt)b.因为a，b不共线，所以有t33k0，t2k0，解之得t65.故存在实数t65使C，D，E三点在一条直线上10设O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足OPOAAB|AB|AC|AC|，0，)求点P的轨
18、迹，并判断点P的轨迹通过下述哪一个定点：ABC的外心；ABC的内心；ABC的重心；ABC的垂心解：如图，记AMAB|AB|，ANAC|AC|，则AM，AN都是单位向量，|AM|AN|，AQAMAN，则四边形AMQN是菱形，AQ平分BAC.OPOAAP，由条件知OPOAAQ，APAQ(0，)，点P的轨迹是射线AQ，且AQ通过ABC的内心B 组高考题型专练1)设D，E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EBFC()A.BCB.12ADC.ADD.12BC解析：设ABa，ACb，则EB12ba，FC12ab，从而EBFC12ba12ab12(ab)AD，故选 C.答案：C2对任意向量a，
19、b，下列关系式中不恒成立的是()A|ab|a|b|B|ab|a|b|C(ab)2|ab|2D(ab)(ab)a2b2解析：对于 A 选项，设向量a，b的夹角为，|ab|a|b|cos|a|b|，A 选项正确；对于 B 选项，当向量a，b反向时，|ab|a|b|，B 选项错误；对于 C 选项，由向量的平方等于向量模的平方可知，C 选项正确；对于 D 选项，根据向量的运算法则，可推导出(ab)(ab)a2b2，故 D 选项正确，综上选 B.答案：B3设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，AD12AB，BE23BC.若DE1AB2AC(1，2为实数)，则12的值为_解析：DEDBBE12AB23BC12AB23(BAAC)16AB23AC，所以116，223，即1212.答案：124ABC是边长为 2 的等边三角形，已知向量a，b满足AB2a，AC2ab，则下列结论中正确的是_(写出所有正确结论的编号)a为单位向量；b为单位向量；ab；bBC；(4ab)BC.解析：AB2a，AC2ab，a12AB，bBC，又ABC是边长为 2 的等边三角形，|a|1，|b|2，故正确，错误，错误；由bBC，知bBC，故正确；4ab2ABBCABAC， (4ab)BC(ABAC)BC220， (4ab)BC，故正确答案为.答案：
