1、蓉城名校联盟蓉城名校联盟 20202021 学年度上期高中学年度上期高中 2020 级期中联考级期中联考 数学科数学科 考生注意：考生注意： 1本试卷分第本试卷分第 I 卷卷（选择题选择题）和第和第 II 卷卷（非选择题非选择题）两部分两部分，共共 150 分分考试时间为考试时间为 120 分分 钟钟 2请将各题答案写在答题卡上请将各题答案写在答题卡上 3本试卷主要考试内容：必修一全部内容本试卷主要考试内容：必修一全部内容 第第 I 卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每一小题小题，每一小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项
2、中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1. 已知集合2, 1,0,1,2A ， Z11Bxx ，则AB （） A.1,0,1B.0,1C.1,1D.0,1,2 【答案】A 【解析】 【分析】先对 B 化简，再求AB. 【详解】Z111,0,1Bxx ，则1,0,1AB . 故选：A 2. 下列函数与( )f xx是同一函数的是（ ） A. 2 ( ) x f x x B. 2 ( )f xx C. 2 2 ( )log x f x D. 2 log ( )2 x f x 【答案】C 【解析】 【分析】判断两个函数是否为同一个函数，从定义域和解析式一一验证即可. 【详解】由题意得
3、，( )f xx的定义域为R， A： 2 ( ) x f x x 的定义域为 -00，与( )f xx的定义域不一样，排除 A； B： 2 ( )f xx 定义域为R，但是 2 ( )f xx = x，排除 B； C: 22 22 ( )loglog1 x f xx，定义域也相同，故 C 正确； D： 2 log ( )2 x f x 的定义域为0 ，排除 D，所以正确答案选 C 故选：C 【点睛】判断两个函数相同的方法： (1)看定义域是否相同，如果定义域不同，就算解析式相同，也不是相同的函数； (2)定义域相同的情况下，看解析式是否相同 3. 下列函数在(0,)上为增函数的是（） A. 2
4、 ( )f xxB. 2 ( )f x x C.( )lg(2)f xxD.( )24f xx 【答案】A 【解析】 【分析】分别根据二次函数、反比例函数、对数函数和一次函数的单调性，逐一判断各选项单调性，即可 得到答案. 【详解】 2 ( )f xx在(0,)上为增函数，A 正确； 2 ( )f x x 在(0,)上为减函数，B 错误； ( )lg(2)f xx 为在(2,)上为增函数，C 错误； ( )24f xx 在(0,)上为减函数，D 错误； 故选：A 4. 函数log (3) 1 a yx(0a 且1a )的图像恒过定点P,则点P的坐标是() A.(4,1)B.(3,1)C.(4,
5、0)D.(3,0) 【答案】A 【解析】 【分析】令对数的真数等于1,求得x y、 的值,可得它的图像恒过定点P的坐标,即可求得答案. 【详解】函数log (3) 1 a yx,(0a 且1a ). 令31x,解得4x 当4x ,1y 函数log (3) 1 a yx(0a 且1a )的图像恒过定点(4,1)P. 故选:A 【点睛】本题考查了对数函数的图像经过定点问题,解题关键是掌握对数函数定义和函数过定点的解法,考 查了分析能力和计算能力,属于基础题 5. 已知函数 3 log2,0, ( ) 1 ,0, 3 x xx f x x 则( ( 2)f f 的值为（） A.4B.2C.0D.2
6、【答案】C 【解析】 【分析】先求( 2)f ，再求( ( 2)f f 即可 【详解】由题意知： 2 1 ( 2)9 3 f ， 3 ( ( 2)(9)log 92220f ff 故选：C 6. 已知函数( )yf x的定义域为1,)，则函数 1 ( )(23) 4 g xfx x 的定义域为（） A. 1,4B. 1,4)C.2,4D.2,4) 【答案】D 【解析】 【分析】由抽象函数的定义域及二次根式的意义可得答案 【详解】由题意得 231 40 x x ，解得24x； 故选：D 7. 已知关于x的方程 2 280 xax 的两个实根 1 x， 2 x满足 12 2xx，则实数a的取值范围
7、为（） A.(2 2,3)B.(2,)C.(2 2,)D.( 2 2,3) 【答案】A 【解析】 【分析】由于方程有两个不等实根，所以0 ，再由两个实根 1 x， 2 x满足 12 2xx，结合根与系数关 系可得 2 2a ，再由 2 2 2(2 )32 2 2 aa x 可求出实数a的取值范围 【详解】因为方程有两个不等实根，所以 2 (2 )4 1 80a ，解得 2 2a 或 2 2a ； 又 12 2xx， 所以 12 2axx，所以 2 2a ，且 2 2 2(2 )32 2 2 aa x ，解得3a ， 所以2 2 3a ， 故选：A 8. 已知函数 (2)46,1 2,1 x a
8、xax f x ax 满足对于任意的 1 x， 212 ()xxx都有 12 12 ()() 0 f xf x xx 成立， 则实数a的取值范围是（） A. 3 1, 2 B. 5 2, 2 C. 3 ,2 2 D. 5 1, 2 【答案】B 【解析】 【分析】由 12 12 ()() 0 f xf x xx ，得函数 (2)46,1 2,1 x axax f x ax 在R上是增函数，从而得 1 20 1 (2) 1 462 a a aaa ，进而可求出实数a的取值范围 【详解】根据题意，对于任意的 1212 ,()x x xx都有 12 12 ()() 0 f xf x xx 成立 则函数
9、 (2)46,1 2,1 x axax f x ax 在R上是增函数 1 20 1 (2) 1 462 a a aaa ，解得 5 2, 2 a ， 故选：B 9. 已知函数 2 1 2 ( )log (54)f xxx 在区间 ,1m m上是减函数，则m的取值范围（） A. 3 , 2 B. 5 , 2 C. 3 1, 2 D. 5 ,3 2 【答案】C 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，再求出函数的减区间 5 (1, 2 ，而 ( )f x在区间 ,1m m 上是减函数，从而有 ,1m m 5 1, 2 ，进而可求出m的取值范围 【详解】由 2 540 xx 得函数 ( )f x的定义
10、域为(1, 4)，根据复合函数的单调性得 14 5 2 x x ，解得 5 1 2 x， 所以 ( )f x在 5 (1, 2 上递减， 函数 ( )f x在区间 ,1m m 上是减函数， ,1m m 5 1, 2 ， 1 5 1 2 m m ，解得 3 1 2 m； 故选：C 10. 设 ( )f x是定义域为 R 的偶函数，且在(0)， 单调递减，则（） A. 43 34 2 1 33log 3 fff B. 43 34 2 1 log33 3 fff C. 43 34 2 1 log33 3 fff D. 43 34 2 1 33log 3 fff 【答案】A 【解析】 【分析】由已知函
11、数为偶函数，把 43 34 2 1 log,3,3 3 fff 转化为同一个单调区间上的函数值，再 比较大小 【详解】 ( )f x是定义域为 R 的偶函数， 222 1 loglog 3log 3 3 fff ， 又3xy 是R上的增函数， 43 34 2 331log 3 ，因为 ( )f x在(0)， 单调递减，所以 43 34 2 1 33log 3 fff ； 故选：A 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值 11. 已知函数 2 1,1 4 ,1 xx f x xx ，则关于x的方程 2( ) ( )0(03)fxaf xa的所有实数
12、根的和为 （） A.3B.6C.9D.12 【答案】C 【解析】 【分析】根据解析式分类讨论，求出各个根，再求各个根的和. 【详解】由题可知：函数 ( )f x为分段函数，则此题可分情况讨论方程根的问题 若1x 时， 2 ( )(1)f xx，代入方程 2( ) ( )0(03)fxaf xa有 42 (1)(1)0 xa x 当1x 时，( )0f x ，则方程恒成立，1x 是方程其中一个根， 当1x 时， 2 ( )(1)0f xx，方程两边可同时除以 2 (1)x，则方程变为 2 (1)0 xa，又知 0 时， fx在R上单调递减， 1f xm ，故需2 1m ，即12m； 当1m时，
13、fx在R上单调递增， 1mf x ，故只需21m ，即 1 1 2 m， 综上所述，m的取值范围是 1 ,2 2 故答案为： 1 ,2 2 【点睛】关键点点睛：原问题对任意 1 x， 2 x， 3 xR，总有 1 f x， 2 f x， 3 f x为某一个三角形的边 长，转化为对 1 x， 2 x， 3 xR，总有 123 f xf xf x恒成立，是解题的关键. 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 求下列各式的值： （1） 2 log 3 23 2 lg25lg8log
14、 27log 22 3 （2） 21 2 32 0 3 32 21 3(0.008)3 8550 【答案】 （1）2； （2） 13 9 【解析】 【分析】 （1）利用对数的运算性质和换底公式求解即可； （2）利用分数指数幂的运算性质求解 【详解】 （1）原式 23 2lg27lg23lg3lg2 lg5lg232(lg5lg2)32332 3lg2lg3lg2lg3 （2）原式 222 21 333 32 2712 282 2 5011255 21 81255275 2 2 22 21413 5121 35995 2 4 2 1 9 13 9 18. 已知集合 2 540Ax xx， 1 2
15、8 2 x Bx ，若R为全体实数集合 （1）求AB R ； （2）若23Cxmxm，CAB，求m的取值范围 【答案】 （1） 3,4； （2） 1 ,13, 2 【解析】 【分析】 （1）先求出集合,A B，再由集合的补集和交集运算可得答案. （2）可求出AB，分类讨论集合C是否为空集，列出不等式可得答案. 【详解】 （1）由题得： 2 54014014xxxxx ，即1, 4A； 同理： 13 1 28222 2 xx ，由函数2xy 在定义域内单调递增，可得1,3x 即 1,3B 从而有 R 3,4AB （2）当C 时，则233mmm； 当C 时，由CAB，则 23 34 21 mm m
16、 m ，解得 1 1 2 m 综上所述：m得取值范围为： 1 ,13, 2 m 19. 已知函数 2 ( )3f xxaxa，2,4x （1）当2a 时，写出函数 ( )f x的单调区间和值域； （2）求 ( )f x的最小值( )g a的表达式 【答案】 （1） ( )f x在 2, 1上单调递减，在1,4上单调递增；值域为 0,25； （2） 2 73 ,4 ( )3, 84 4 193 ,8 aa a g aaa aa 【解析】 【分析】 （1）当2a 时，找到对称轴：1x ，可直接写出单调区间，求出值域； （2）动轴定区间，对 a 讨论判断函数在2,4x 的单调性，求出最小值，再写出分
17、段函数的形式. 【详解】 （1）当2a 时， 2 (1)2f xxx，对称轴：1x ， ( )f x在 2, 1上单调递减，在1,4上单调递增 min ( )( 1)0f xf， max ( )(4)25f xf，故函数的值域为0,25 （2） 2 ( )3f xxaxa的对称轴： 2 a x ， 若2 2 a 时，即4a ，( )f x在2,4上单调增， min ( )( 2)73f xfa； 若4 2 a 时，即8a ，( )f x在 2,4上单调减， min ( )(4)193f xfa； 若24 2 a 时，即84a ，( )f x在2, 2 a 上单调减，在 , 4 2 a 上单调增
18、， 2 min ( )()3 22 aa f xfa ； 综上所述： 2 73 ,4 ( )3, 84 4 193 ,8 aa a g aaa aa 【点睛】 （1）轴定区间动：比较区间端点值与对称轴的大小关系，根据函数的单调性判断 y 的范围； （2）轴动区间定：比较对称轴与区间端点的位置关系，根据函数的单调性判断 y 的范围. 20. 节约资源和保护环境是中国的基本国策某化工企业，积极响应国家要求，探索改良工艺，使排放的 废气中含有的污染物数量逐渐减少已知改良工艺前所排放的废气中每立方米的污染物数量为 0 4mgy ， 首次改良后所排放的废气中每立方米污染物数量为 1 3.94mgy 设第
19、n次改良后所排放的废气中每立方米 污染物数量为 n y，可由函数模型 1.5 001 () 5(,*) n b n yyyybn RN给出，其中n是指改良工艺的次数 （1）求b的值； （2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量每立方米不能超过2.08mg，试问至少进 行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标(参考数据：取lg20.3) 【答案】 （1）1.5； （2）3 【解析】 【分析】 （1）由题意可得 0 4y ， 1 3.94y ，代入 1.5 1001 () 5 b yyyy 中可求得b的值； （2）由（1）可得 1.51.5 40.06 5
20、 n n y ，由 1.51.5 40.06 5. 2 08 n n y ，得 1.51.5 532 n ，两边取常用对数， 化简后可求出n的取值范围 【详解】 （1）由题意得 0 4y ， 1 3.94y ， 所以当1n 时， 1.5 1001 () 5 b yyyy ， 即 1.5 3.944(43.94) 5 b ，解得1.5b （2）由（1）得排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为 1.51.5 40.06 5 n n y ； 所以 1.51.5 40.06 5. 2 08 n n y ， 整理得， 1.51.5 1.92 5 0.06 n ，即 1.51.5 532 n ， 两边同
21、时取常用对数，得 5 lg32lg25lg2 1.51.5 lg5lg51lg2 n ， 将lg20.3代入，得 5lg230 2115.3 1lg27 ， 又因为*nN，所以2.43n，所以3n 综上，至少进行 3 次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标 21. 若函数 4 2 21 x f x （1）判断函数 fx的单调性并且用定义法证明； （2）若关于x的不等式 10ff xf t有解，求实数t的取值范围 【答案】 （1）函数 fx在定义域上为减函数；证明见解析； （2）1, 【解析】 【分析】 （1）设变量 12 ,x x且 12 xx，计算 21 fxfx并将其
22、化简至可与0比较大小，由此确定出 fx 的单调性； （2）先证明 fx的奇偶性，然后通过奇偶性和单调性将不等式 10ff xf t变形为 1f xt ，再根据存在性问题的求解思路结合 fx的值域即可求解出t的取值范围. 【详解】 （1）判断：减函数， 证明：任取 1 x， 2 xR，且 12 xx， 21 21 44 =22 2121 xx f xf x 12 12 4 22 2121 xx xx ， 12 xx， 12 21210 xx ， 12 4 220 xx ， 21 0f xf x， 21 f xf x 函数 ( )f x在定义域上单调递减； （2）函数 fx的定义域为R关于原点对称
23、， 44 22 222 2244 222 = 2121212121 xxx xxxxx fxf x ， fx是奇函数， 10ff xf t， 1ff xft， 又 fx在定义域上单调递减， 1f xt ， 又存在x使得 1tf x ，等价于 min1tf x， 又 4 2 21 x f x 中2 11 x ，所以 4 04 21 x ，所以 4 222 21 x ， 2,2f x ， 11,3f x ， 1t ，即1,t . 【点睛】思路点睛：利用函数单调性和奇偶性解形如 0f g xf h x的不等式的思路： （1）利用奇偶性将不等式变形为 f g xfh x； 、 （2）根据单调性得到 g
24、 x与 h x的大小关系； （3）结合函数定义域以及 g x与 h x的大小关系，求解出x的取值范围即为不等式解集. 22. 已知函数 4 2 x x b f x 为奇函数 （1）求实数b的值； （2）若对任意的0,1x，有 2 3 20 2 fxkxk恒成立，求实数k的取值范围； （3） 设 log44 xx m g xmf x （ 0m ， 且1m） ， 问是否存在实数m， 使函数 g x在 2 1,log 3 上的最大值为0？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由 【答案】 （1）1b ； （2） 3 , 2 ； （3）不存在m满足条件，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）由于函数在
25、R上为奇函数，所以(0)0f，从而可求出实数b的值； （2）由于 fx在R上单调递增，且 13 12 22 f ，所以 2 3 20 2 fxkxk可转化为 2 21xkxk 在 0,1x上恒成立，即 3 214 1 kx x 在0,1x上恒成立，设 3 214 1 g xx x ，求出其最大值即可； （3）设 22 xx t ， 3 8 , 2 3 t ，则 2 20tmt 在 3 8 , 2 3 t 上恒成立，从而得 17 6 m，对于二次函 数 2 2d ttmt，利用二次函数的性质可得 max 8882 329 d tdm ，然后分0,1m和 17 1, 6 m 求出 maxh t即可
26、 【详解】 （1）函数 4 2 x x b f x 的定义域为R，且为奇函数， 010fb ，解得1b 此时 411 4 ()( ) 22 xx xx fxf x ，所以 ( )f x为奇函数， 所以1b （2） 4411 2 222 xx x xxx b f x ， fx在R上单调递增，且 13 12 22 f 2 3 20 2 fxkxk，则 2 3 21 2 fxkxkf ， 又函数 fx在R上单调递增，则 2 21xkxk 在 0,1x上恒成立， 3 214 1 kx x 在0,1x上恒成立， 设 3 214 1 g xx x ，则 max 3 1 2 g xgk， 实数k的取值范围为
27、 3 , 2 （3）不存在，理由如下，设 22 xx t ， 3 8 , 2 3 t ， 2 log2 m h ttmt， 2 20tmt 在 3 8 , 2 3 t 上恒成立， min 2 mt t ，则 17 6 m，1m，则 17 0,11, 6 m 对于二次函数 2 2d ttmt，开口向上，对称轴为 2 m t ， 11 17 0, 222 12 m 对称轴位于 3 8 , 2 3 的左侧，则二次函数 2 2d ttmt在 3 8 , 2 3 上单调递增， 则 min 3317 224 d tdm ， max 8882 329 d tdm ， 假设存在满足条件的实数m，则当0,1m时
28、，由复合函数的单调性判断方法， 可知 2 log2 m h ttmt为减函数， max0h t，则 2 min min 21d ttmt ， 3317 1 224 dm ， 16 0,1 3 m （舍） ， 同理可知，当 17 1, 6 m 时， 7317 1, 246 m （舍） ， 综上所述，不存在实数m满足条件成立 【点睛】关键点点睛：此题考查函数的奇偶性，考查不等式恒成立问题，考查二次函数性质的应用，解题 的关键是设 22 xx t ， 3 8 , 2 3 t ，则 2 log2 m h ttmt，由 2 20tmt 求出 17 0,11, 6 m ，然后分0,1m和 17 1, 6 m 求出 maxh t即可，考查数学转化思想和计算能力， 属于中档题
