1、4.54.5 相似三角形的性质及其应用（相似三角形的性质及其应用（1 1）一、一、 教材分析教材分析本节课是浙教版九年级上册第四章的第五节。 它是继相似三角形的定义、 性质及其判定方法之后进一步利用相似三角形的性质解决问题。 它既是全等三角形性质的拓广和发展， 也为之后研究相似多边形奠定了基础。 同时， 相似三角形的性质也为求线段长度及解决有关几何论证提供了一种方法。二、二、 学情分析学情分析本节课的教学对象是九年级学生，学生已经掌握了全等三角形的性质，及全等三角形对应角平分线、高线、中线相等的结论。同时，他们已经学习了相似三角形的定义、性质及其判定方法， 对相似三角形有了初步的认识。 而且，
2、 他们具备通过类比猜想类似结论的能力，但通过添加辅助线解决问题的能力相对薄弱。三、教学目标三、教学目标（1）知识与技能：掌握相似三角形对应角相等，对应边成比例的性质并能运用性质解决有关几何论证和计算问题；了解三角形重心的概念及三角形重心分每条中线 1:2 的性质。（2）过程与方法：经历类比、猜想、验证的活动过程，培养学生探究新知识的能力。（3）情感与态度：培养学生勤于思考的精神及合作学习、相互交流的能力。四四、教学重点、难点、教学重点、难点重点：重点：相似三角形性质的应用。难点：难点：探究活动二中需通过添加辅助线构造三角形相似。五、教学过程五、教学过程（一）（一）提出问题，引入课题提出问题，引
3、入课题问题问题 1：若：若ABC ABC，则可以得到哪些性质？，则可以得到哪些性质？学生作答：全等三角形的对应角相等，对应边相等。问题问题 2：若若ABC ABC，还可以得到哪些与全等三角形对应角平分线、高线、中，还可以得到哪些与全等三角形对应角平分线、高线、中线相关的结论？线相关的结论？学生作答：全等三角形的对应角平分线、高线、中线相等。师：今天，我们将通过类比全等三角形的性质及其相关结论来学习“4.5 相似三角形的性质及其应用（1）”。（黑板板书课题）设计意图设计意图：因为全等三角形是相似三角形的一种特殊情况，所以两者具有类似性，通过对已学的全等三角形的性质及全等三角形对应角平分线、高线、
4、中线相等的结论的复习，引导学生可以类比全等三角形的性质及其相关结论来猜测相似三角形的性质及其相关结论。（二）类比性质，探究新知（二）类比性质，探究新知问题问题 3：若：若ABC ABC，则可以得到哪些性质？，则可以得到哪些性质？学生作答：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。问题问题 2：猜测：猜测相似三角形的相似三角形的对应角平分线、高线、中线会有哪些相关的结论？对应角平分线、高线、中线会有哪些相关的结论？学生作答：猜测相似三角形对应角平分线、高线、中线之比等于相似比。设计意图设计意图： 通过全等三角形性质与相似三角形性质的对比， 引导学生利用类比的思想猜测相似三角形对应角平分线、高线、中线
5、之比等于相似比。（三）探究活动一（三）探究活动一师：数学猜想需要证明才能被应用，下面我们就来验证我们的猜想，首先来看相似三角形对应角平分线的问题。1、如图，已知ABCABC，相似比为，AD 与 AD为这两个三角形的角平分线，求 AD 与 AD的比.师：求两条线段之比的方法？学生作答：找三角形相似。师：判断两个三角形相似的方法有哪些？学生作答：平行；两个角对应相等；两边对应成比例，且它们的夹角相等；三边对应成比例；定义。师：请同学们结合题目条件思考并整理思路。一位学生口述几何证明过程，教师板书：解：ABCABCBAC= BA C ，B= B ，kCBBCBAAB AD， A D为角平分线 1=2
6、1BAC ， 2=21BA C 1= 2ABDABDkBAABDAAD板书：相似三角形对应角平分线之比等于相似比。设计意图设计意图：通过层层设问，引发学生思维层层递进，引导学生通过找两条角平分线所在的三角形相似求相似三角形对应角平分线之比。多媒体演示：笛卡尔说过：我所解决的每一个问题都将成为一个范例，以用于解决其他问题，这便是学习数学的真谛！师：将 AD 与 AD 改为高线kCBBC变式 1：如图，已知ABCAB C，相似比为，AD 与 AD为这两个三角形的高线，则学生独立思考求相似三角形对应高线之比的方法， 并由一位学生讲解求相似三角形对应高线之比的方法。板书：相似三角形对应高线之比等于相似
7、比设计意图设计意图：学生已经有了求相似三角形对应角平分线之比的方法，因此，引导学生可以通过类比解决相似三角形对应角平分线之比的方法求相似三角形对应高线之比。师：将 AD 与 AD 改为中线变式 2：如图，已知ABCAB C，相似比为，AD 与 AD为这两个三角形的中线，则学生以小组为单位探讨解决相似三角形对应中线之比的方法并由一个小组展示求相似三角形对应中线之比的方法。板书：相似三角形对应中线之比等于相似比。师：数学结论的得到往往通过类比、猜想、验证三个步骤，可以将这种方法应用于以后的数学学习中。设计意图设计意图： 学生在求相似三角形对应角平分线之比和对应高线之比的时候， 用到的判定方法都是两
8、个角对应相等，而在求相似三角形对应中线之比的时候用到的是两条边对应成比例，且它们的夹角相等， 部分后进生可能存在一定的困难， 采用小组合作学习的方式意在让全体学生参与到学习活动中，以“会”带“不会” ，培养学生相互交流的能力。（四）探究活动二（四）探究活动二师：在ABC 中再添加一条中线 CE，可以联想到什么？学生作答：DE 是中位线。kCBBCDAADkCBBCDAAD如图，已知 AD，CE 是ABC 的两条中线，P 是它们的交点，证明：师：求两条线段之比可以用什么方法？学生作答：找三角形相似师：证明三角形相似往往用什么判定方法？学生作答：两个角对应相等。师：结合题目条件，哪个条件可以得到角
9、等？学生作答：中位线。师：请同学们结合学案上的图形书写几何过程。学生独立完成几何证明过程，并由一位同学多媒体示范几何过程。师：它们的比值为多少？学生作答：21设计意图设计意图： 探究活动二中需通过添加辅助线构造三角形相似是本节课的难点， 通过层层递进的问题设计，把书本例题的难度分解，符合学生的认知规律。师：如果添加 AC 边上的中线 BF，BF 会过点 P 吗？学生猜测：BF 过点 P。引导学生利用上一题的结论：如图 1，已知 AD，BF 是ABC 的两条中线，Q 是它们的交点，则同时引导学生发现在同一个三角形中师：这样就证明了三角形的三条中线相交于一点，我们把这个点称为三角形的重心。学生归纳
10、三角形重心的概念及性质CPEPAPDPAQDQ2121APDP图 1板书：三角形重心：三角形三条中线的交点三角形重心的性质：重心分每条中线 1:2设计意图设计意图： 学生在八年级时已经从图形的角度验证了三角形的三条中线相交于一点， 此环节引导学生发现可以利用上一题的结论从另一个角度进行证明，培养学生的知识迁移能力。（五）学以致用，应用新知（五）学以致用，应用新知3、如图 3，AD 为ABC 的一条中线，P 为ABC 的重心，连结 BP，若2BDPS,则ABCS师：若SSBDP，则其余五个小三角形的面积分别为多少学生作答：S师：三角形的重心将三角形分成 6 个面积相等的小三角形4、如图 4，在A
11、BC 中，中线 AD，BF 相交于点 P,过点 F 作 EFBC，交 AD 于点 E,则 AE:AD =，EP:PD =师：师：AE：EP 该如何求解设计意图设计意图：让学生利用“相似三角形的性质”解决数学问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，检验学生对本节课的掌握程度。（六）巩固深化，应用生活（六）巩固深化，应用生活有一块三角形的余料 ABC，它的边 BC=120，高 AD=80，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB，AC 上，则加工成的正方形零件的边长为设计意图设计意图： “数学来源于生活又服务于生活” ，此题是综合运用“相似三角形的性质及对应高线
12、之比等于相似比的结论”解决问题，对学生的能力要求比较高，采用小组合作学习的方式意在让全体学生参与到学习活动中，以“会”带“不会” ，培养学生合作学习及相互交流的能力。（七）一起分享，共同收获（七）一起分享，共同收获先由个别学生来分享自己在本节课学习过程中的收获，然后再由老师统一总结如下：三角形若相似对应角则相等对应边成比例中线高线角平分线对应也是成比例比值都是相似比线段比我能行相似三角形找一找三中线交一点此点称之为重心它分中线 1:2设计意图设计意图： 课堂小结是整节课的一个组成部分， 它能够帮助学生梳理整堂课的内容及所学到的思想方法，本节课的课堂小结采取以打油诗的形式总结，意在方便学生理解。
