1、九上九上2.32.3 用频率估计概率教学设计用频率估计概率教学设计一、一、 教材分析教材分析1、教材所处的地位和作用学生对随机事件及其发生的概率的认识是一个较长的认知过程。 因此， 从教材的安排上看，呈现出一种螺旋上升，交叉编排的趋势。本章是在数据分析初步学习的基础上，展开对概率的研究的。本节侧重于从频率的角度来研究概率。意在通过抛硬币的实验表明：随机事件的发生既有随机性，又存在统计规律性，且其统计规律体现在：随机事件的频率此事件发生的次数与实验总次数的比值具有稳定性， 即总在某个常数附近摆动， 这个常数就叫做这个随机事件的概率。通过本节课的学习，不仅能使学生从实验的角度来估计概率，也为接下来
2、从理论的角度计算概率起到一个承上启下的作用。2、教材的重点和难点重点：理解当实验次数较大时，频率稳定于概率。难点：学会运用频率估计概率来解决实际问题。二二 、目标分析、目标分析1、知识与技能了解随机事件在每次试验中发生与否具有不确定性， 但随着试验次数的增加， 事件发生的频率逐渐趋于稳定。能运用频率估计概率的方法解决某些实际问题。2、过程与方法通过经历“猜测结果进行实验收集数据分析实验结果”等活动过程，建立正确的概率直觉，进一步发展学生合作交流的意识和能力。3、情感、态度与价值观在合作学习的过程中培养学生的实践意识，创新意识，体会合作学习的乐趣和力量。体会随机实验的随机性与规律性， 让学生了解
3、偶然性寓于必然性之中的辨证唯物主义思想。三、三、 教学媒体分析教学媒体分析教学媒体：多媒体电脑，硬币若干，各种实验数据表若干。教学媒体分析： 为了让学生逐步了解频率和概率之间的关系， 引导学生开始做抛硬币的实验。通过认真填写实验数据表，借助 excel 表格中的公式计算，即时算出相关频率，帮助学生分析实验数据，并依靠独立思考与小组的合作交流，达到对上述关系的理解，升华。四、四、 教学教学过程过程分析分析数学课程标准 提出： “实践活动是培养学生进行主动探索与合作交流的重要途径。 ”教师应该充分利用学生已有的生活经验，随时引导学生把所学的数学知识应用到生活中去，解决身边的数学问题。为此，我将本节
4、课设置为以下几个环节：环节教师活动学生活动活动说明创创设设情情境境引引出出问问题题欣赏：2007 年奥斯卡最佳影片无间道风云剧照（4张）提问：大家知道影片的两位男主角是如何决定自己所演的角色的呢？猜猜看。下面请看记者的文字采访记者：你们俩是怎么决定谁演哪个角色的？达蒙：我们真的扔了硬币，我就是靠它决定的。我和莱昂纳多都认为这是些了不起的角色。最终的结果真是不错，现在我已经无法想像扮演另一个人。提问：为什么抛硬币的方法可行呢？动作：“若有不解”得摸出一枚硬币，抛掷，并接住。猜想：硬币是正面向上，还是反面向上？它们出现的可能性相等吗？设疑：既然抛一枚质量均匀的硬币，正面向上的概率等于反面向上的概率
5、，均为 1/2。提问：“我拋两次硬币，必然有一次正面向上，有一次反面向上，对吗？为什么？”学生顿时议论纷纷，纷纷举手，提出：抽签，抓阄，抛硬币等方法来决定。生：硬币正反面 的 概 率 相同，所以他们最后抛到角色的 可 能 性 相同。学生直觉的反应：两种情况出现的可能性各占一半。生：实验次数太少，实验结果具有偶然性。对学生的方法表示赞赏。学生的猜测具有随机性， 感受随机事件的偶然性。问题的提出似乎顺理成章， 实际上却是一种混淆频率和概率的说法，这样便于激发矛盾，引起共鸣。动动手手实实践践合合作作探探究究整个实验实验分四大步：第一步：学生第一步：学生各自各自抛硬币两次抛硬币两次师：以举手的方式统计
6、“正面向上”的频率。“正面向上”的频率出现的三种结果：1，1/2，0。提问：从实验结果来看，我们最初的猜想是不正确的，那么造成猜想错误的原因是什么呢？猜想： “那么我加大抛硬币的次数， 现在我抛 30 次硬币，正面向上的次数应该等于反面向上的次数，各等于 15次。”提问：请大家预测实验结果。此时，教师因势利导，提出：小组合作，动手做抛一元硬币的实验。用实验的方法验证教师的说法正确与否。第二步：第二步：小组实验小组实验活动活动布置活动注意事项：1分组（按照组间同质，组内异质的合作学习原则）将全班同学分成 8 组，组内成员分工，一位同学抛硬币，一位同学数抛硬币的次数，一位同学作硬币正面向上的记录，
7、最后一位同学观察实验是否在同一条件下进行。2任务每组抛掷 30 次， 本着一丝不苟， 严谨求实的态度认真记录好“正面向上”出现的频数和计算“正面向上”出现的频率。附记录单抛掷次数30正面向上的频数正面向上的频率学生抛硬币两次，举手表示结果。生：可能是抛的时候变量没有控制好。生：实验次数太少，所以实验结果就有了偶然性。学生此时满脸疑惑，有的肯定这种说法正确，有的认为这种说法不正确，但说不出原因。学生以小组为单位，开展实验，注意在同一条件下进行（控制变量） ，记录硬币正面向上的频数，计算向上频率。课标指出：学生数学学习内容应该是现实的，有意义的，富有挑战的。 设置实际生活问题情境贴近学生的生活实际
8、， 很容易激发学生的学习热情。引导学生预测实验结果， 提升学生课堂的参与度、投入程度，接下来用自己动手实验的方式检验自己的猜想。学生充分讨论的基础上， 启发学生分析产生差异的原因， 使学生认识到每次随机试验的频率具有不确定性。动动手手实实践践合合作作探探究究第三步：汇总、分析数据第三步：汇总、分析数据教师收集、汇总各组实验数据，板书在黑板上。请同学们以小组为单位。根据实验数据想一想正面向上的频率有什么规律。提问：观察这些实验数据，你有什么发现？师：从原来的只抛两次，到现在的抛 30 次，我们似乎发现了一些规律。那么，继续增加抛硬币的次数，会不会规律更明显呢？我们采用叠加各组数据的方法来看看。教
9、师利用提前制作的 excel 表格，现场录入各组数据，利用公式直接获得增大实验次数后的相应频率。提问： 观察叠加后的频数汇总表。 随着抛掷次数的增加，正面向上的频率在哪个常数附近摆动，摆动的幅度有何变化？师：请同学们把上述实验数据以描点的形式画在学习单上的统计图内。图 1第四步：对比分析第四步：对比分析 深化结论深化结论师：接下来，我们将继续增加实验次数看看有什么新的发现。历史上有许多数学家为了弄清其中的规律，曾坚持不懈的做了成千上万次抛掷硬币的实验，请看他们的次数306090120150180210240正面向上的频数频率生：几乎每个小组的实验结果都不太一样。生：从频率来看， 频率在 0.5
10、附近上下摆动，都比较接近 0.5。生：跟原来的频率相比，叠加后的频率更加接近于 0.5，在 0.5 上下摆动。学生描点绘制统计图。学生的回答， 似乎感受到随机事件发生的频率具有规律性， 但限于实验次数并不是很多，规律不是很明显。此时，趁热打铁，通过叠加各组数据的方法继续增加实验次数。通过上面的步步紧逼，主要让学生体验随机事件的随机性， 另一方面感受到随着实验次数越来越大时， 随机事件又显现出它的规律性。绘制统计图， 通过实践进一步直观地感受刚才得出的规律。动动手手实实践践合合作作探探究究实验结果。师：请同学们观察表中频率，有何发现？追问：造成这个结果的原因是什么？对比：展现教材中的统计图，与学
11、生自己实验得到的统计图比较。图 2师：请同学们分析，两个折线统计图所反映的规律是否相同？如果不同，不同在哪里？追问：是什么原因造成了不同？生：这里的频率几乎已经等于 0.5 了。生：抛硬币实验次数的大量增加，偶然性便减少了，频率就越接近于概率。生：在 0.5 这个数附近上下摆动，随着次数的增加，摆动的幅度越来越小。通过对比，学生发现：图 1中反映的规律并不能在图 2中得到反映。经过讨论：原因是实验次数太少。生：实验次数越多，就越容易出现上述规律。随着实验次数的不断增加， 学生深入分析数据，进一步探究规律。小组讨论，合作交流，小组代表发言， 组间交流，提高数学交流水平。环节教师活动学生活动活动说
12、明揭揭示示新新知知练练习习巩巩固固师生共同归纳反思：师：通过以上的大量重复实验，随机事件发生的频率和概率之间到底有怎样的关系？频率等于概率吗？师：因此，我们可以得出，在相同条件下，当重复试验的次数大量增加时， 事件发生的频率就稳定在相应的概率附近。即通过大量的重复试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率。追问：那么用频率估计概率有何前提条件？师：由频率可以估计概率的方法，是由瑞士数学家雅各布伯努利最早阐明的，因而他被公认为是概率论的先驱之一活动：课堂小议问题 1：中国男篮主力易建联在一场比赛中罚篮 5 次，罚中 4 次。能否说易建联罚一次篮，罚中的概率为 4/5？为什么？追问：那么我
13、该通过用什么方法去估计他罚中的概率？问题 2：任意抛一枚均匀的骰子，朝上面的点数为 1 的概率为 1/6.下列说法正确吗？任意抛一枚均匀的骰子 12 次，朝上面的点数为 1 的次数为 2 次.任意抛一枚均匀的骰子 1200 次，朝上面的点数为 1 的次数大约为 200 次.生： 频率越来越接近概率，并稳定在概率附近。 但频率不等于概率。生： 大量的次数。生： 相同的条件。生：次数太少， 不满足频率估计概率中大量的前提。生： 可以把整个赛季的罚篮次数和罚进次数进行统计， 从而来估计概率。生：不可以。 只是抛掷12 次， 实验次数太少， 概率不能代替频率来估计频数。 生 ： 1200次， 实验次数
14、已足够多， 可以用来估计。显然， 该问题的设计意在点出课题， 突出教学重点。 同时为进入揭示新知的环节起到了承上启下的作用。介绍数学史诗， 拓展学生的数学知识背景， 激发学生学习数学的热情。问题的设计层层递进，目的只有一个， 即为了深化对概率的理解， 从错误辨析， 频率与概率的区别和联系等方面对概率进行多角度， 多侧面， 多层次的深入理解。环节教师活动学生活动活动说明尝尝试试应应用用发发展展提提高高改编例题，发展提高师：（展示小麦图片）小麦是三大谷物之一，我国也是世界最早种植小麦的国家之一。那么，小麦在长成麦苗的过程中，需经历“发芽”和“成秧”两个阶段，且在这两个过程中，均有一定几率被淘汰。而
15、目前，有一个实际问题需要同学们解决，请看。问题：现知播种某品种小麦每公顷所需麦苗数为 4181818棵， 种子发芽后的成秧率为 87， 那么播种 3 公顷该种小麦估计约需麦种多少千克？（精确到千克，千粒质量为35g）追问： 那么同学们觉得可以怎么获取该麦种的发芽率呢？学生可采用方法：采访种植小麦的农民，根据经验得到发芽率。通过互联网查阅该种小麦的发芽率。借助我们今天学习的用频率估计概率，通过大量的重复实验，来估计发芽率。教师展示实验数据，学生计算得到频率。提问：这组数据能够用以估计发芽率吗？教师引导学生用自己估计得到的发芽率解决实际问题。师： 方程思想的运用能够在一定程度上降低我们解决问题的思
16、维难度，大家也要多加体会这种思想。生： 题目似乎缺少条件， 两个环节都有几率淘汰， 可只给出了种子发芽后的成 秧 率 为87， 却不知道种子的发芽率。生： 因为数量够多， 有 3000粒种子， 且在相同条件下，所以可以用来估计。学生利用算术与方程方法解题。改编例题， 在问题中隐去已知条件， 通过学生自主思考发现问题， 加深对问题的认识以及对本节新知的运用。该题的设计具有梯度，既很好的考察了频率和概率之间的关系， 又提出了更高的要求， 即学会运用频率估计概率来解决某些实际问题， 体现了数学来源于生活， 又运用于生活的理念。解题过程中渗透方程思想。环节教师活动学生活动活动说明课课堂堂小小结结作作业
17、业布布置置课堂小结师：本节课，同学们有什么收获。教师引导学生从数学知识、数学思想、数学经历等角度分享自己所得。作业布置（数学小论文）作业：在一个不透明的口袋中装有若干个白棋，在不允许将白棋倒出来的情况下，如何估计白棋的个数（可以借助其他工具和用品）？请设计一个合理的、可操作的方案，通过试验估计白棋个数，并整理成小论文。说明：注意以相同的实验条件为前提，注意设计的合理性和可操作性；为了有足够的样本容量，可以与同伴合作，利用数据累计完成实验；可查阅相关课外材料，独立完成小论文，解释过程要求详细、清楚，形成电子稿。评价方式：一周后，年段评比，评出优秀小论文张贴。创新作业形式， 通过数学小论文的数写，
18、 培养学生发现、分析、解决问题的能力， 发展学生的自主性和创造性。 同时， 培养学生的动手实践能力， 提高学生学习数学的兴趣和热爱生活的情趣。五、五、 教学教学反思反思分析分析1、关于指导思想关于指导思想以落实数学课程标准为终极目标，以学生知识技能的形成，数学思维的完善和情感态度的发展为出发点， 以多媒体课件为辅助教学手段， 以教师的组织， 引导， 参与为依托，以学生的积极动脑， 动手实验及合作交流为主线来构建本课时的教学模式， 促进学生的有效学习。以数学来源于生活，又服务于生活为原则设计整节课。突出新知识必须在学生自主探索，合作交流的基础上让学生自己去发现和归纳。2、关于教学内容关于教学内容
19、学生对随机事件及其发生的概率的认识是一个较长的认知过程。 因此， 从教材的安排上看，呈现出一种螺旋上升，交叉编排的趋势。本章是在数据分析初步的基础上，展开对概率的研究的。本节侧重于从频率的角度来研究概率，意在通过抛硬币的实验表明：随机事件的发生既有随机性，又存在统计规律性，且其统计规律体现在：随机事件的频率此事件发生的次数与实验总次数的比值具有稳定性， 即总在某个常数附近摆动， 这个常数就叫做这个随机事件的概率。通过本节课的学习，不仅能使学生从实验的角度来估计概率，也为接下来从理论的角度来计算概率起到一个承上启下的作用。3、关于教学诊断关于教学诊断学生已经学习了频率和概率，但两者之间有何关系。
20、学生并不是很清楚。因此，通过实验活动丰富对频率和概率关系的认识， 知道当实验次数较大时， 频率稳定于概率是教学重点。由于本节课的内容采用的是实验的方式来进行的。 这正是培养学生创新精神的一个极好机会，在实验的过程中，能让学生紧紧抓住随机事件的特点，精心设计实验过程，期望学生通过大量重复实验， 使他们深刻感受随机事件的特点， 学会运用频率估计概率来解决实际问题是教学的难点。4 4、关于教法和学法关于教法和学法本节课倡导“合作探究学习”，注重学生的经历，感受和体验。而不是以老师的感受代替学生的亲身体验，让学生在“猜测-实验并收集实验数据-分析实验结果”的活动过程中建立正确的概率直觉。总之，我们要让
21、学生在感受中成长，在体验中发展能力，注重学生在探究学习中的情感态度。针对这节课的实验，应明确其探究任务，分层次提出所要探究的任务和问题，正确指导小组活动，让学生明确探究的是什么，应如何探究，在探究的过程中，强调独立思考与合作交流的相互统一， 对探究结果给学生以充分的表述意见的时间， 对不同的意见给与充分的交流时间。在揭示新知的过程中，又设计了一系列的问题逐层深化，即通过“错误辨析-区别联系-补充完整-巩固练习” 等深化了学生对于用频率估计概率这一知识的理解与应用，使学生真正理解掌握基本的数学知识和技能及数学思想方法， 从而使学生的创新精神和数学素养得到培养。5 5、 关于预期效果关于预期效果通
22、过这堂课的学习，我想让学生充分体会到教学设计中的三个特点。现实性：学生从现实生活中学习了数学，再将学到的数学应用到实践中去。因此，本节课设置了利用抛硬币决定角色归属这一生活情境， 抛出猜想和质疑， 吸引学生参与抛硬币活动， 并将利用从活动中得到的新知应用于生活实际， 提高学生分析问题， 解决问题的能力。积极性：在学生主动探究的过程中，教师积极的参与，即学生在自己观察，讨论，实践时，教师积极的看，积极地听，设身处地的感受学生的所作所为，所想所思，了解学生合作的效果，讨论的焦点，认知的疑惑，引导学生发现问题，并寻找解决问题的方法。快乐性：在教学过程中，让学生亲自尝试，自主探究，合作交流，学生的学习是通过小组合作来完成的，其特点是：小组成员先独立思考，再发表自己的见解，其他人倾听，然后动手实践，汇报数据，再全班讨论，形成集体意见，体验成功的喜悦，每个人都有思考的时间和机会， 在思维的碰撞中， 学生对问题的认识更加深刻， 从而达到学生在教师的指导下，主动地，富有个性的快乐的学习。
