1、绝密绝密启用前启用前2019 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共 4 页，23 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟。注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡的相应位置上。2作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用
2、铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合24260MxxNx xx ，则MN=A43xx B42xx C22xx D 23xx2设复数 z 满足=1iz，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则A22+11()xyB221(1)xyC22(1)1yx D22( +1)1yx 3已知0.20.32log 0.220.2abc，则AabcBacbCcabDbca4 古希腊时期， 人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐
3、至足底的长度之比是512（5120.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105 cm，头顶至脖子下端的长度为 26 cm，则其身高可能是A165 cmB175 cmC185 cmD190 cm5函数 f(x)=2sincosxxxx在, 的图像大致为ABCD6我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“ ” ，如图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有 3 个阳爻的概率是A516B1132C2132D
4、11167已知非零向量 a，b 满足|2|ab，且()abb，则 a 与 b 的夹角为A6B3C23D568如图是求112122的程序框图，图中空白框中应填入AA=12ABA=12ACA=112ADA=112A9记nS为等差数列 na的前 n 项和已知4505Sa，则A25nanB310nanC228nSnnD2122nSnn10已知椭圆 C 的焦点为121,01,0FF()， ()，过 F2的直线与 C 交于 A，B 两点若22| 2|AFF B，1| |ABBF，则 C 的方程为A2212xyB22132xyC22143xyD22154xy11关于函数( )sin |sin |f xxx有
5、下述四个结论：f(x)是偶函数f(x)在区间（2,）单调递增f(x)在, 有 4 个零点f(x)的最大值为 2其中所有正确结论的编号是ABCD12已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PA=PB=PC，ABC 是边长为 2 的正三角形，E，F分别是 PA，PB 的中点，CEF=90，则球 O 的体积为A68B64C62D6二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13曲线23()exyxx在点(0 )0，处的切线方程为_14记 Sn为等比数列an的前 n 项和若214613aaa，则 S5=_15甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该
6、队获胜，决赛结束） 根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为 0.6，客场取胜的概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 41 获胜的概率是_16已知双曲线 C：22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A，B 两点若1F AAB ，120FB F B ，则 C 的离心率为_三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17(12 分)AB
7、C的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设22(sinsin)sinsinsinBCABC（1）求 A；（2）若22abc，求 sinC18 （12 分）如图，直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=60，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点（1）证明：MN平面 C1DE；（2）求二面角 A-MA1-N 的正弦值19 （12 分）已知抛物线 C：y2=3x 的焦点为 F，斜率为32的直线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x 轴的交点为 P（1）若|AF|+|BF|=4，求 l 的方程；（2）若3APPB ，求|AB|20（12 分）已
8、知函数( )sinln(1)f xxx，( )fx为( )f x的导数证明：（1）( )fx在区间( 1,)2存在唯一极大值点；（2）( )f x有且仅有 2 个零点21（12 分）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得1分
9、；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为 X（1）求X的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分，(0,1,8)ip i 表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p ，81p ，11iiiipapbpcp(1,2,7)i ，其中(1)aP X ，(0)bP X，(1)cP X假设0.5，0.8(i)证明：1iipp(0,1,2,7)i 为等比数列；(ii)求4p，并根据4p的值解释这种试验方案的合理性（二）选考题：共 10 分。
10、请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为2221141txttyt，（t 为参数）以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为2 cos3 sin110（1）求 C 和 l 的直角坐标方程；（2）求 C 上的点到 l 距离的最小值23选修 45：不等式选讲（10 分）已知 a，b，c 为正数，且满足 abc=1证明：（1）222111abcabc；（2）333()()()24abbcca2019 年普通高等学校招生全国统一考试理科数
11、学参考答案一、选择题1C2C3B4B5D6A7B8A9A10B11C12D二、填空题13y=3x141213150.18162三、解答题17解： （1）由已知得222sinsinsinsinsinBCABC，故由正弦定理得222bcabc由余弦定理得2221cos22bcaAbc因为0180A，所以60A（2）由（1）知120BC，由题设及正弦定理得2sinsin 1202sinACC，即631cossin2sin222CCC，可得2cos602C 由于0120C，所以2sin602C，故sinsin6060CCsin60cos60cos60sin60CC62418解：（1）连结B1C，ME因
12、为M，E分别为BB1，BC的中点，所以MEB1C，且ME=12B1C又因为N为A1D的中点，所以ND=12A1D由题设知A1B1DC，可得B1CA1D，故MEND，因此四边形MNDE为平行四边形，MNED又MN平面EDC1，所以MN平面C1DE（2）由已知可得DEDA以D为坐标原点，DA 的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则(2,0,0)A， A1(2,0,4) ，(1, 3,2)M，(1,0,2)N，1(0,0, 4)A A ，1( 1,3, 2)AM ，1( 1,0, 2)A N ，(0,3,0)MN 设( , , )x y zm为平面A1MA的法向量，则1100
13、AMA Amm，所以32040 xyzz ，可取( 3,1,0)m设( , , )p q rn为平面A1MN的法向量，则100MNA N ，nn所以3020qpr，可取(2,0, 1)n于是2 315cos,|525 m nm nm n，所以二面角1AMAN的正弦值为10519解：设直线11223:,2l yxt A x yB xy（1）由题设得3,04F，故123|2AFBFxx，由题设可得1252xx由2323yxtyx，可得22912(1)40 xtxt，则1212(1)9txx 从而12(1)592t ，得78t 所以l的方程为3728yx（2）由3APPB 可得123yy 由2323
14、yxtyx，可得2220yyt所以122yy从而2232yy，故211,3yy 代入C的方程得1213,3xx故4 13|3AB 20解： （1）设( )( )g xf x，则1( )cos1g xxx，21sin()(1xxg x .当1,2x 时，( )g x单调递减，而(0)0,( )02gg，可得( )g x在1,2有唯一零点，设为.则当( 1, )x 时，( )0g x ；当,2x时，( )0g x .所以( )g x在( 1, )单调递增，在,2单调递减，故( )g x在1,2存在唯一极大值点，即( )f x在1,2存在唯一极大值点.（2）( )f x的定义域为( 1,) .（i）
15、当( 1,0 x 时，由（1）知，( )f x在( 1,0)单调递增，而(0)0f ，所以当( 1,0)x 时，( )0f x ，故( )f x在( 1,0)单调递减，又(0)=0f，从而0 x 是( )f x在( 1,0的唯一零点.（ii） 当0,2x时， 由 （1） 知，( )f x在(0,)单调递增， 在,2单调递减， 而(0)=0f ，02f ， 所以存在,2， 使得( )0f ， 且当(0,)x时，( )0f x ； 当,2x时，( )0f x .故( )f x在(0,)单调递增，在,2单调递减.又(0)=0f，1 ln 1022f ，所以当0,2x时，( )0f x .从而，( )
16、f x在0,2没有零点.（iii）当,2x时，( )0f x ，所以( )f x在,2单调递减.而02f，( )0f ，所以( )f x在,2有唯一零点.（iv）当( ,)x 时，ln(1)1x，所以( )f x0，从而( )f x在( ,) 没有零点.综上，( )f x有且仅有2个零点.21解：X 的所有可能取值为1,0,1.(1)(1)(0)(1)(1)(1)(1)P XP XP X ，所以X的分布列为（2） （i）由（1）得0.4,0.5,0.1abc.因此11=0.4+0.5 +0.1iiiipppp，故110.10.4iiiipppp，即114iiiipppp.又因为1010ppp，
17、所以1(0,1,2,7)iippi为公比为 4，首项为1p的等比数列（ii）由（i）可得 8887761008776101341ppppppppppppppp.由于8=1p，故18341p ，所以 44433221101411.3257pppppppppp4p表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为 0.5，乙药治愈率为 0.8 时，认为甲药更有效的概率为410.0039257p ，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.22解： （1）因为221111tt ，且22222222141211yttxtt，所以C的直角坐标方程为221(1)4yxx .l的直角
18、坐标方程为23110 xy.（2）由（1）可设C的参数方程为cos ,2sinxy（为参数， ）.C上的点到l的距离为4cos11|2cos2 3sin11|377.当23 时，4cos113取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7.23解： （1）因为2222222,2,2abab bcbc caac，又1abc ，故有222111abbccaabcabbccaabcabc.所以222111abcabc.（2）因为, ,a b c为正数且1abc ，故有3333333()()()3 () () ()abbccaabbcac=3( + )( + )( + )a b b c a c3 (2) (2) (2)abbcac =24.所以333()()()24abbcca.
