1、第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 4.4 拉普拉斯逆变换第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 00ccctvtEu tdvti tcdtvtRi t（1）列微分方程把第二式代入第一式得 ccdvtcvtEu tdtR如何用拉氏变换的方法求解微分方程？如何用拉氏变换的方法求解微分方程？例：如图所示，电路在t=0时开关S闭合，求输出信号vc(t)。 cvt i t（）把上式中各项取拉氏变换得 -0cccERCsVsvVss第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 解此代数方程得 111111cERCsRCsEVssRCssRCsRCRCsSRC11=EEsS（）求Vc(s)
2、的拉氏逆变换得 110tRCCCVtLVtEEt第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 从上例可以看出，利用拉氏变换方法分析电路问题时，最后需要求象函数的逆变换。由拉氏变换定义可知，欲求F(s)之逆变换可按拉氏逆变换定义式进行复变函数积分（用留数定理用留数定理）求得。实际上，往往可借助一些代数将F(s)表达式分解，分解后各项s 函数的逆变换可以查表得出，使求解过程大大减化，无需进行积分运算。这种分解方法称为部分分式分解部分分式分解（或部分分式展开部分分式展开）。第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 （一）部分分式分解法由拉氏变换的微分性和积分性已经知道，微分运算的变换要出现s，而
3、积分运算包含1/s，因此，含有高阶导数的线性常系数微分或积分方程式将变换成s的多项式。或变换成两个s的多项式之比。他们称为s的有理分式。一般具有如下形式 011011bsbsbasasasBsAsFnnnnmmmm式中，系数ai和bi都为实数，m和n是正整数。第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 为方便分解，将F(s)的分母B(s)写作以下形式 12()()()nnB sb spspsp1212,( )0,nnp ppB ssp pp式中为方程的根，也即，当等于任意根值时，B(s)等于零，F(s)等于无穷大。称为F(s)的“极点”。同理，A(s)也可改写为 12()()()mmA sa
4、szszsz12,( )0mzzs 式中z为A方程的根，称为F(s)的“零点”。第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 式中，ci(i=0, 1, 2, , m-n)为实数。N(s)为有理多项式，其逆变为有理多项式，其逆变换为换为冲激函数及其一阶到冲激函数及其一阶到m-n阶导数阶导数之和。之和。 为有理真分为有理真分式，可展开为部分分式后求逆变换。式，可展开为部分分式后求逆变换。)()(sBsD、若、若F F( (s s) )为假分式为假分式可用多项式除法将可用多项式除法将F(s)分解为分解为有理多项式有理多项式与与有理真分式有理真分式之和，之和， 即 0101( )( )( )( )(
5、 )( )( )m nm nm nm nD sD sF scc scsN sB sB sN scc scs第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 3222710634( )(12 )32(1)(2)12(12 )12ssssF sssssssss则 12( ) ( )( )2 (2) ( )ttf tLF stteeu t（）例如：第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 、若、若 为有理真分式为有理真分式 可直接展开为部分分式后求逆变换。可直接展开为部分分式后求逆变换。 要把要把F(s)展开为部分分式，必须先求出展开为部分分式，必须先求出B(s)=0的根。的根。因为B(s)为s的n
6、次多项式，所以B(s)=0有n个根pi(i=1, 2, , n)。pi可能为单根，也可能为重根；可可能为单根，也可能为重根；可能为实根，也可能为复根能为实根，也可能为复根。)()()(sBsAsF第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 F(s)展开为部分分式的具体形式取决于展开为部分分式的具体形式取决于pi的上述性质。的上述性质。1. F(s)仅有单极点（无重根）仅有单极点（无重根） 若B(s)=0仅有n个单根pi(i=1, 2, , n)，无论pi是实根还是复根，都可将F(s)展开为 1121212( )( )( )( )()()()niiniiiKA sA sF sB sspspsp
7、spKKKS -PS -Psp=式中，各部分分式项的系数Ki为 () ( )iiispKsp F s第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 1( )ip tie u tsp故F(s)的单边拉普拉斯逆变换单边拉普拉斯逆变换可表示为 由于 11( ) ( )( )inp tiif tLF sK e u t第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 例例 4-154-15 已知 ，求F(s)的单边拉氏逆变换(原函数)f(t)。 解解 F(s)的分母多项式B(s)=0的两个根分别为s1=-2, s2=-3。因此，F(s)的部分分式展开式为 32) 3)(2(5)(21sKsKssssF655)
8、(2ssssF第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 2) 3)(2(5) 3(32sssssK所以 3223)(sssF于是得 123( ) ( )(32) ( )ttf tLF seeu t3) 3)(2(5)2(21sssssK频移特性第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 2. F(s)有重极点有重极点 若B(s)=0在s=p1处有r重根，而其余(n-r)个单根pj(j=r+1, ，n)，这些根的值是实数或复数，可得 1111121111111111111( )( )() ()()()()()()( )rrnnirrrj rjrniiiij rjnjj rA sF ssps
9、pspKKKKspspspspKKspspKF ssp 第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 式中： 1111( )()riiiKF ssp111111()( )(1)!irispidKspF sids1111()( )rspKspF sri,3 ,2211112113111111()( )()()()()rnrrirj rjspF sKKspKspKKspspsp 第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 先求F1(s)的逆变换，因为 111( )(1)!iitu tis由复频移性质，可得 11111( )(1)!()s t iie tu tiss11111( )( )(1)!r
10、s tiiiKte u tF siF(s)的单边拉普拉斯逆变换为 111111( ) ( )( )( )(1)!jrns ts tiijij rKf tLF ste u tK e u ti 第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 例例 4-16 已知求 F(s)的单边拉氏逆变换。 ,) 3() 1(53)(2ssssF解解 F(s)有二重极点s=-1和单极点s=-3。因此，F(s)可展开为 311122( )(1)13KKKF ssss2111235(1)1(1) (3)ssKsss2121235(1)1(1) (3)sdsKsdsss第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 1)
11、3() 1(53) 3(323sssssK于是得 3111) 1(1)(2ssssF13( ) ( )() ( )tttf tLF steeeu t第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 3. F(s)有共轭复极点有共轭复极点 如果A(s)=0的复根为s1,2=-j，则F(s)可展开为 12*11( )( )()()KKB sF ssjsjsjsjKKsjsj式中，K2=K*1。 令K1=|K1|ej, 则有 jseKjseKsFjj11)(共轭第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 由复频移和线性性质得F(s)的原函数为 1()()11()()11( ) ( ) ( )2cos(
12、) ( )jjtjjttjtjttf tLF sK e eK eeu tK eeeK etu t 对于F(s)的一对共轭复极点s1=-+j和s2=-j，只需要计算出系数K1=|K1|ej(与s1对应)，然后把|K1|、代入上式， 就可得到这一对共轭复极点对应的部分分式的原函数。 第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 如果F(s)有复重极点，那么相应的部分分式也呈现与复单极点类似的特点。以B(s)=0的根为二重共轭复根s1,2=-j为例， 其F(s)可展开为 )()()()()()()()()()()()()()()()(12121121211212*112*12112122122211
13、21222jseKjseKjseKjseKjsKjsKjsKjsKjsKjsKjsKjsKjsjssBsFjjjj第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 式中： 212112*122211*112112121111jjjjeKKKeKKKeKKeKK根据复频移和线性性质，求得F(s)的原函数为 11221()()11()()12111122( ) ( )( )( )2cos() ( )2cos() ( )jjjtjtjjjtjtttf tLF sKeeeeu tKt eeeeu tKetu tKtetu t第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 例例 4-17 已知 ,8482)(
14、2ssssF求F(s)的单边拉氏逆变换f(t)。 解解: F(s)可以表示为 )22)(22(824)2(82)(2jsjsssssFF(s)有一对共轭单极点有一对共轭单极点s1,2=-2j2, 可展开为 )22()22()(21jsKjsKsF第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 于是得 4222422121)()22(21)()22(jjsjjsejsFjsKejsFjsK222222)(44jsejsesFjj2, 2,4,21K于是得 2( ) ( )2 2cos 2( )4tf tL F setu t第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 例例 4-18 已知 ，求F(
15、s)的单边拉氏逆变换。 )2()4()(2ssessFs解解 F(s)不是有理分式，但F(s)可以表示为 sesFsF21)()(式中，F1（s）212)2(4)(1ssssssF由线性和常用变换对得到1211( )( )(2) ( )tf tLF seu t由由时移性质时移性质得得11212(2)( ) ( )( )2 (2)ttf tLF sLF s eeu t第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 例例 4-19 已知单边拉氏变换 22) 1(2)(sssF求F(s)的原函数f(t)。 解解 F(s)为有理分式，可用部分分式法求f(t)。但F(s)又可表示为 11)(2sdsdsF
16、因为 21sin( )1t u ts， 根据复频域微分性质，则F(s)的原函数为1( ) ( )() sin( )sin( )f tLF stt u ttt u t 第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 例例 4-20 已知 ,11)(2sesF求F(s)的单边拉氏逆变换。 解解 F(s)不是有理分式，不能展开为部分分式。F(s)可以表示为 ssssseeeeesF4222211111)( 对于从t=0-起始的周期性冲激序列 其单边拉氏变换为 ),(0nTtnsTnenTtL11 )(00Res第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 由于settL21)2()(Res因此，根据时
17、域卷积性质得ssneettnt42011)2()()4(于是得)42(4)2()(4)()(001ntntttntsFLtfnn）（）（第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 例4-21 中f(t)与F(s)的对应关系可以推广应用到一般从t=0-起始的周期信号。设f(t)为从t=0-起始的周期信号，周期为T，f1(t)为f(t)的第一周期内的信号。 f(t)和f1(t)如图4-8(a)、(b)所示。 f(t)可以表示为 0101)()()()(nnnTttfnTtftf令f1(t) F1(s), f(t) F(s), 则有 sTesFsF1)()(1Res0 第4章 拉普拉斯变换、连续时
18、间系统的S域分析 图 4-8 因果周期信号 to(a)f1(t)to(b)T2Tf (t)第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 留 数0000( )( )( )Re()czf zczf z dzif zzsf z 设 为函数的孤立奇点， 是以 为中心，充分小的 为半径的圆周，复数称为函数在孤立奇点 处的留数。记作第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 约当引理约当引理Jordans Lemma 如a是正数，CR是以原点为圆心上半平面的半圆，设当Z 在上半平面及实轴上趋于时f(z)一致地趋于0，则沿上半圆积分为0：RCiazdzezf0)(第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分
19、析 留数定理留数定理：若复变函数G(s)在闭合曲线L上及其内部，除内部的有限个孤立奇点外处处解析，则G(s)沿闭合曲线L的积分等于2j乘以G(s)在这些奇点(si)的留数之和，即 LLssGsjdssGi内奇点)(Re2)( 1s=2ReiLFjs G ss即第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 若给积分路径AB补充一半圆C，如图 4 - 9 所示，则构成一闭合路径L(ACBA)。若令G(s)=F(s)est，且G(s)的奇点全部是极点，根据留数定理， 则有 内极点LstsstLCstjjstesFsdsesFjdsesFjdsesFji)(Re)(21)(21)(21ojABCD12
20、a图 4-9 拉普拉斯逆变换的积分路径 第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 根据留数定理留数定理和约当引理约当引理，F(s)的单边拉普拉斯逆变换为的单边拉普拉斯逆变换为 Re ( )0( )stsias F s ef t左侧极点根据复变函数理论，若根据复变函数理论，若F(s)为有理真分式，并且为有理真分式，并且F(s)est的极点的极点s=si为一阶极点，则该极点的留数为为一阶极点，则该极点的留数为 issstistesFssesFs)()()(Re若若F(s)est的极点的极点s=si为为r重极点，则该极点的留数为重极点，则该极点的留数为 iissstrirrstsesFssdsd
21、resFs)()()!1(1)(Re11(4.4 - 15)00tt第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 例例 4-22 已知 ,)2)(3(1)(2sssFRes-2。求F(s)的单边拉氏逆变换。 解解 选a-2，则F(s)est在a左侧的极点分别为一阶极点s1=-3和二重极点s2=-2。 ttsstststsststseteesFsdsdesFseesFsesFs222233)()2()(Re)() 3()(Re21第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析 于是得 )(Re)(Re0)(21stsstsesFsesFstft0 t0 322320(1)u( )ttttteteeetet
