1、一、离散型随机变量的函数的分布一、离散型随机变量的函数的分布二、连续型随机变量的函数的分布二、连续型随机变量的函数的分布三、小结三、小结第五节第五节 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布).(,)(,)(XfYXYxfyxXYxXxf 记作记作的函数的函数变量变量为随机为随机则称随机变量则称随机变量的值的值的值而取的值而取取值取值随着随着若随机变量若随机变量的集合上的函数的集合上的函数的一切可能值的一切可能值是定义在随机变量是定义在随机变量设设问题问题?)(的分布的分布分布求得随机变量分布求得随机变量的的量量如何根据已知的随机变如何根据已知的随机变XfYX 一、离散型随机变量的函数的分布一
2、、离散型随机变量的函数的分布 Y 的可能值为的可能值为 ;2,1,0,)1(2222 即即 0, 1, 4.解解0002 XPXPYP,41 .2的分布律的分布律求求的分布律为的分布律为设设XYX Xp2101 41414141例例1)1()1(112 XXPXPYP11 XPXP,214141 2442 XPXPYP,41 故故 Y 的分布律为的分布律为Yp410412141由此归纳出离散型随机变量函数的分布的求法由此归纳出离散型随机变量函数的分布的求法.离散型随机变量的函数的分布离散型随机变量的函数的分布的分布律为的分布律为若若也是离散型随机变量也是离散型随机变量其函数其函数是离散型随机变
3、量是离散型随机变量如果如果XXgYX.)(, Xkpkxxx21kppp21的分布律为的分布律为则则)(XgY kp)(XgY kppp21)()()(21kxgxgxg.,)(合并合并应将相应的应将相应的中有值相同的中有值相同的若若kkpxgY 的分布律为的分布律为Yp4 1 2121Xkp211 616263例例2 设设.52的分布律的分布律求求 XY解解 第一步第一步 先求先求Y=2X+8 的分布函数的分布函数).(yFY)(yYPyFY 82yXP 解解二、连续型随机变量的函数的分布二、连续型随机变量的函数的分布.82., 0, 40,8)(的概率密度的概率密度求随机变量求随机变量其他
4、其他的概率密度为的概率密度为设随机变量设随机变量 XYxxxfXX例例3)()(yFyfyY xxfyXd)(28 28 yXP,)28)(28( yyfX第二步第二步 由分布函数求概率密度由分布函数求概率密度.d)(28 xxfyX ., 0, 4280,21)28(81)(其他其他所以所以yyyfY ., 0,168,328其他其他yy)(yYPyFY 2yXP yXyP )()(yFyFXX .32. 0,e, 0, 0)(232的概率密度的概率密度和和求随机变量求随机变量的概率密度为的概率密度为设随机变量设随机变量 XYXYxxxxfXxX解解,2分布函数分布函数先求随机变量先求随机变
5、量XY 例例4.d)(d)(xxfxxfyXyX )()(yFyfYY )()(yyfyyfXXyyyy210e)(212)(3 . 0, 0, 0,2eyyyy再由分布函数求概率密度再由分布函数求概率密度.当当 Y=2X+3 时时,有有32 xy,23 yxd)()()(23 yXyYxxfyFyf . 3, 0, 3,)23(e)23(2)23(3yyyyy.函数的概率密度的方法函数的概率密度的方法的的出计算连续型随机变量出计算连续型随机变量由上述例题可归纳由上述例题可归纳 . 3, 0, 3,e)23(212)23(3yyyy.)()(),(),(max(),(),(min(的反函数的反
6、函数是是其中其中xgyhgggg ., 0, )()()(,)(, )0)(0)(,)(,),(其他其他其概率密度为其概率密度为随机变量随机变量是连续型是连续型则称则称或恒有或恒有且恒有且恒有处处可导处处可导又设函数又设函数其中其中的具有概率密度的具有概率密度定理设随机变量定理设随机变量yyhyhfyfYgYxgxgxgxxfXXYX证明证明X 的概率密度为的概率密度为.,e21)(222)( xxfxX,)(baxxgy 设设,)(abyyhx 得得. 01)( ayh知知.)0(, ),(2也服从正态分布也服从正态分布性函数性函数的线的线试证明试证明设随机变量设随机变量 abaXYXNX例
7、例5222)(e211abya .,e2122)(2)( yaaaby.),(1)( yabyfayfXY的概率密度为的概率密度为得得其它其它由公式由公式baXYyyhyhfyfXY ., 0, )()()( )( ,(2abaNbaXY 得得.),2,2(,sin的概率密度的概率密度试求电压试求电压且有且有是一个随机变量是一个随机变量相角相角常数常数是一个已知的正是一个已知的正其中其中设电压设电压VUAAV 解解上恒有上恒有在在因为因为)2,2(sin)( Agv, 0cos)( Ag,arcsin)(Avvh 所以反函数为所以反函数为,1)(22vAvh 例例6的概率密度为的概率密度为知知
8、又由又由U),2,2( ., 0,22,1)(其他其他f的概率密度为的概率密度为由定理得由定理得AVsin ., 0,11)(22其他其他AvAvAv请同学们思考请同学们思考?)(,)(型的又怎样型的又怎样是连续是连续若若也是离散型随机变量吗也是离散型随机变量吗则则是离散型随机变量是离散型随机变量若若是连续函数是连续函数设设XXgYXxg .,.,量量不一定是连续型随机变不一定是连续型随机变那么那么续型随机变量续型随机变量是连是连若若是离散型随机变量是离散型随机变量因此因此列无限多个列无限多个的取值也是有限个或可的取值也是有限个或可因此因此或可列无限多个或可列无限多个它的取值是有限个它的取值是
9、有限个是离散型随机变量是离散型随机变量若若YXYYX答答概率密度为概率密度为上服从均匀分布上服从均匀分布在在设设,)2 , 0(X例如例如 ., 0, 20,21)(其他其他xxf . 21, 1, 10,)(xxxxgy又设连续函数又设连续函数:)()(可以计算出来可以计算出来的分布函数的分布函数则则yFXgYY ; 0)(,0 yYPyFyY时时当当; 1)(,1yYPyFyY时当)()(,10yXgPyYPyFyY时当xxfxxfyyxgd)(d)()( ,1 , 0的取值为的取值为由于由于Y所以所以.2d210yxy ,. 1, 110,2, 0, 0)(yyyyyFYY的分布函数为故
10、.)(,)(,)(,1)(也不是离散型随机变量也不是离散型随机变量故故不是阶梯函数不是阶梯函数又因为又因为随机变量随机变量不是连续型不是连续型故故处间断处间断在在因为因为XgYyFXgYyyFYY 三、小结三、小结1. 离散型随机变量的函数的分布离散型随机变量的函数的分布:)(的分布律为的分布律为且且若若XXgY Xkpkxxx21kppp21的分布律为的分布律为则则)(XgY kp)(XgY kppp21)()()(21kxgxgxg2. 连续型随机变量的函数的分布连续型随机变量的函数的分布)()(yXgPyYPyFY ),(,d)()( xxxfyxgX.)(的密度函数的密度函数求导得到求导得到再对再对YyfY方法方法1方法方法2 ., 0, )()()(其他其他 yyhyhfyfXY注意条件注意条件.
