1、第10章一元函数积分学一元函数积分学多元函数积分学多元函数积分学重积分重积分曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分重 积 分 三、三重积分的定义三、三重积分的定义 第一节一、引例一、引例 二、二重积分的定义与可积性二、二重积分的定义与可积性 五、曲顶柱体体积的计算五、曲顶柱体体积的计算 机动 目录 上页 下页 返回 结束 重积分的概念与性质 第10章 四、二重积分的性质四、二重积分的性质 解法解法: 类似定积分解决问题的思想:一、引例一、引例1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体:0),(yxfz底：底： xoy 面上的闭区域 D顶顶: 连续曲面侧面：侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行
2、于 z 轴的柱面求其体积.（“分割, 近似, 求和, 求极限” ） D),(yxfz 机动 目录 上页 下页 返回 结束 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” D),(yxfz 1)“大化小”用任意曲线网分D为 n 个区域n,21以它们为底把曲顶柱体分为 n 个2)“常代变”在每个k, ),(kk3)“近似和”nkkVV1nkkkkf1),(),(kkf),2, 1(),(nkfVkkkk则中任取一点小曲顶柱体k),(kk机动 目录 上页 下页 返回 结束 4)“取极限”的直径为定义kkk,PPPP2121max)(令)(max1knknkkkkfV10),(lim),(yxfz ),(k
3、kfk),(kk机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 平面薄片的质量平面薄片的质量 有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D ,),(Cyx计算该薄片的质量 M .度为),(),(常数若yx设D 的面积为 , 则M若),(yx非常数 , 仍可用其面密 “大化小, 常代变,近似和, 求 极限” 解决.1)“大化小”用任意曲线网分D 为 n 个小区域,21n相应把薄片也分为小区域 .D机动 目录 上页 下页 返回 结束 yx2)“常代变”中任取一点k在每个),(kk3)“近似和”nkkMM1nkkkk1),(4)“取极限”)(max1knk令nkkkkM10),(limk),(kk),
4、2, 1(),(nkMkkkk则第 k 小块的质量机动 目录 上页 下页 返回 结束 yx两个问题的共性共性：(1) 解决问题的步骤相同(2) 所求量的结构式相同“大化小, 常代变, 近似和,取极限”nkkkkfV10),(limnkkkkM10),(lim曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二重积分的定义及可积性二、二重积分的定义及可积性定义定义:),(yxf设将区域 D 任意分成 n 个小区域),2,1(nkk任取一点,),(kkk若存在一个常数 I , 使nkkkkfI10),(lim可积可积 , ),(yxf则称Dyxfd),(),(yxfI为称在
5、D上的二重积分二重积分.称为积分变量yx,积分和Dyxfd),(积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域 D上的有界函数 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 DyxfVd),(引例1中曲顶柱体体积:DyxMd),(引例2中平面薄板的质量:如果 在D上可积,),(yxf也常d,ddyx二重积分记作.dd),(Dyxyxf,kkkyx 这时分区域D , 因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划 记作Dyxyxfdd),(Dyxyxdd),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 yxO二重积分存在定理二重积分存在定理:若函数),(yxf),(yxf定理2.),(yxf上可在则Dyxf),(
6、证明略)定理1.在D上可积可积.限个点或有限个光滑曲线外都连续 ,积.在有界闭区域 D上连续, 则若有界函数在有界闭区域 D 上除去有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、三重积分的概念三、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用kkkkv),( ),(kkkkv引例引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的物质,),(Czyx求分布在 内的物质的可得nk 10limM“大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和, 求极限求极限”解决方法解决方法:质量 M .密度函数为机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义. 设,),( , ),(zyxzyxfkkknkkvf),
7、(lim10存在,),(zyxfvzyxfd),(称为体积元素体积元素, vd.dddzyx若对 作任意分割任意分割: 任意取点任意取点则称此极限为函数在上的三重积分三重积分.在直角坐标系下常写作),2,1(nkvk,),(kkkkv下列“乘积和式” 极限记作记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、重积分的性质四、重积分的性质Dyxfkd),(. 1( k 为常数)Dyxgyxfd),(),(. 221d),(d),(d),(. 3DDDyxfyxfyxf, 1),(. 4yxfD上若在DDdd1 为D 的面积, 则 ),(2121无公共内点DDDDDDyxfkd),(DDyxgyxfd)
8、,(d),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 特别, 由于),(),(),(yxfyxfyxfDyxfd),(则Dyxfd),(Dyxd),(5. 若在D上),(yxf, ),(yxDyxfd),(6. 设),(min),(maxyxfmyxfMDDD 的面积为 ,MyxfmDd),(则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 7.(二重积分的中值定理),(yxf设函数,),(D),(),(fdyxfD证证: 由性质6 可知,MyxfmDd),(1由连续函数介值定理, 至少有一点D),(Dyxffd),(1),(),(d),(fyxfD在闭区域D上 为D 的面积 ,则至少存在一点使使连续,因此机
9、动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 比较下列积分的大小:d)(,d)(32DDyxyx其中2) 1()2( :22yxD解解: 积分域 D 的边界为圆周1 yx332)()(yxyx2) 1()2(22yx它与 x 轴交于点 (1,0) ,.1相切与直线 yx而域 D 位, 1 yx从而d)(d)(32DDyxyx于直线的上方, 故在 D 上 1y2xo1D机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 估计下列积分之值10:coscos100ddI22yxDyxyxD解解: D 的面积为200)210(2由于yx22coscos1001积分性质5100200I102200即: 1.96
10、 I 210101010D10011021xyo机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyo D8. 设函数),(yxfD 位于 x 轴上方的部分为D1 , ),(),() 1 (yxfyxf),(),()2(yxfyxfd),(Dyxf0d),(Dyxf当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍1D在 D 上d),(21Dyxf在闭区域上连续, 域D 关于x 轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分, 则有1:,221 yxDD 为圆域如Dyxyxdd)(22Dyxyxdd)(1dd)(422Dyxyx0机动 目录 上页 下页 返回 结束 xbad 五、曲顶柱体体积的计算五、曲
11、顶柱体体积的计算设曲顶柱体的底为bxaxyxyxD)()(),(21任取, ,0bax 平面0 xx 故曲顶柱体体积为DyxfVd),(yyxfxAxxd),()()()(000201截面积为yyxfxxd),()()(21baxxAd )(截柱体的)(2xy)(1xyzxyoab0 xD机动 目录 上页 下页 返回 结束 yyxfxxxbad),(d)()(21记作记作 ydcxo)(2yx)(1yxyydcd dycyxyyxD),()(),(21同样, 曲顶柱体的底为则其体积可按如下两次积分计算DyxfVd),(xyxfyyd),()()(21xyxfyyd),()()(21dcyd机动
12、 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求两个底圆半径为R 的直圆柱面所围的体积.xyzRRo解解: 设两个直圆柱方程为,222Ryx利用对称性, 考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为yxxRVDdd822220dxRyxxRRd)(80223316R222Rzx22xRz 00:),(22RxxRyDyxxxRRd8022222Ryx222RzxD机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 二重积分的定义Dyxfd),(iiinif),(lim10)dd(dyx2. 二重积分的性质 (与定积分性质相似)3. 曲顶柱体体积的计算二次积分法机动 目录 上页 下页 返回
13、结束 被积函数相同, 且非负, 思考与练习思考与练习yxyxIyxdd1122yxyxIyxdd12yxyxIdd11113解解: 321,III由它们的积分域范围可知312III11xyo1. 比较下列积分值的大小关系:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 y 1, 则,d31DxyI,d322DxyIDxyId3213的大小顺序为 ( ).)(;)(;)(;)(213123312321IIIDIIICIIIBIIIA提示: 因 0 y 1, 故;212yyyD故在D上有, 03x又因323321xyxyxyyox1D机动 目录 上页 下页 返
14、回 结束 3. 证明:, 2d)cossin(122Dyx其中D 为.10, 10yx解解: 利用题中 x , y 位置的对称性, 有d)cossin(22Dyxd)cossin(d)cossin(222221DDxyyxd)cossin(d)cossin(222221DDyyxxd)cossin(22Dxxd)sin(242Dx,1)sin(,1042212xx又 D 的面积为 1 , 故结论成立 .yox1D1机动 目录 上页 下页 返回 结束 5 . 04 . 0I备用题备用题1. 估计 的值, 其中 D 为DxyyxI162d22. 20, 10yx解解: 被积函数16)(1),(2yxyxf2D 的面积41)0 , 0( fM的最大值),(yxfD上在51431)2, 1 (22 fm),(yxf的最小值,4252 I故yox2D1机动 目录 上页 下页 返回 结束 220yx 0)ln(22 yx2. 判断的正负.)0(dd)ln(122yxyxyx解：解：1yx当时，故0)ln(22 yx又当时，1 yx于是2)(yx 1机动 目录 上页 下页 返回 结束 0dd)ln(122yxyxyx1111xyoD
