1、习题课习题课一、一、 重积分计算的基本方法重积分计算的基本方法 二、重积分计算的基本技巧二、重积分计算的基本技巧 三、重积分的应用三、重积分的应用 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第九章 重积分的 计算 及应用 一、重积分计算的基本方法一、重积分计算的基本方法1. 选择合适的坐标系使积分域多为坐标面(线)围成;被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.2. 选择易计算的积分序积分域分块要少, 累次积分易算为妙 .图示法列不等式法(从内到外: 面、线、点)3. 掌握确定积分限的方法 累次积分法机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习练习计算积分Ddyx,)(其中D 由,22xy 12,4yxyx所
2、围成. P124 2 (3) ; 6; 7 (1), (3)补充题:解答提示解答提示: (接下页接下页) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 (3). 计算二重积分,d222DyxR其中D 为圆周xRyx22所围成的闭区域.提示提示: 利用极坐标cosRr 原式cos022dRrrRr2033d)sin1(32R)34(313RyDR xo:Dcos0Rr 2222d机动 目录 上页 下页 返回 结束 P1246. 把积分zyxzyxfddd),(化为三次积分,其中由曲面222,xyyxz0,1zy提示提示: 积分域为:原式220d),(yxzzyxf及平面220yxz12 yx11x12
3、dxy11dx所围成的闭区域 .xyz机动 目录 上页 下页 返回 结束 P124zD1zD27 (1) .计算积分2222RzyxzRzyx2222及,ddd2zyxz其中是两个球 ( R 0 )的公共部分.提示提示: 由于被积函数缺 x , y ,原式 =zDyx1ddzzzRzRd)2(2022利用“先二后一先二后一” 计算方便 .zzRd202zDyx2ddzzRRd22zzRzRRd)(2222548059RRzyxo2R机动 目录 上页 下页 返回 结束 P1247 (3).计算三重积分,d)(22vzy其中是由 xoy平面上曲线xy225x所围成的闭区域 .提示提示: 利用柱坐标
4、sincosrzryxx原式522drx绕 x 轴旋转而成的曲面与平面5221 xr100 r20rr d100320d3250:zxyo5机动 目录 上页 下页 返回 结束 P124补充题补充题. 计算积分Ddyx,)(其中D 由,22xy 12,4yxyx所围成 .提示提示: :如图所示xy224246oyx,12DDD 内有定义且在2),(DyxyxfDyxd)(2d)(Dyx1d)(Dyx连续,所以yyxyx1222d)(46dyyyxyx422d)(24dy15115431D2DD机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、重积分计算的基本技巧二、重积分计算的基本技巧分块积分法利用对称性
5、1. 交换积分顺序的方法2. 利用对称性或重心公式简化计算3. 消去被积函数绝对值符号练习题练习题4. 利用重积分换元公式P123 1 (总习题九) ; P124 4, 7(2), 9解答提示解答提示: (接下页接下页)机动 目录 上页 下页 返回 结束 axamyxamaxxfexaxxfey0)(0)(0d)()(d)(d证明:提示提示: 左端积分区域如图,Doyxxy a交换积分顺序即可证得.P124 4.7(2).,d1) 1ln(222222vzyxzyxz求其中是1222zyx所围成的闭区域 .提示提示: 被积函数在对称域 上关于 z 为奇函数 , 利用 对称性可知原式为 0. 机
6、动 目录 上页 下页 返回 结束 由球面P124R9. 在均匀的半径为R的圆形薄片的直径上 , 要接上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片,使整个的另一边长度应为多少?22xRyboRyx提示提示: 建立坐标系如图.,0y由对称性知Dyxydd022ddxRbRRyyx2332bRR 由此解得Rb32问接上去的均匀矩形薄片即有D薄片的重心恰好落在圆心上 ,?b机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 计算二重积分,dd)(222yxeyxxIyxD其中:(1) D为圆域; 122 yx(2) D由直线1,1,xyxy解解: (1) 利用对称性.yox1DyxxIDdd20dd)(21
7、22yxyxD10320dd21rr4yxeyxDyxdd22围成 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 yxeyxDyxdd122(2) 积分域如图:o1yx11D2Dxyxy , xy将D 分为,21DDyxxIDdd2yxeyxDyxdd22200dd1112xyxx32添加辅助线利用对称性 , 得机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 计算二重积分,dd)35(Dyxyx其中D 是由曲044222yxyx所围成的平面域 .解解:2223)2() 1(yx其形心坐标为:面积为:9ADyxxIdd5923) 1(5ADyxydd3积分区域线形心坐标2,1yxDyxxAxdd1Dyxy
8、Aydd1AyAx35机动 目录 上页 下页 返回 结束 111 xyo例例3. 计算二重积分,dd)sgn() 1 (2yxxyID,dd)22()2(22yxxyyxID122 yx在第一象限部分. 解解: (1)2xy 21, DD两部分, 则1ddDyxI1112ddxyx322D2ddDyx2011ddxyx1011:yxD，其中D 为圆域把与D 分成1D作辅助线机动 目录 上页 下页 返回 结束 xy1o1xy (2) 提示提示: 21, DD两部分 1DyxyxDdd)(22yxyxDdd)2(说明说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号. xy 作辅助线2D将D 分成
9、Dyxdd2yxxyyxIDdd)22(222) 12(32机动 目录 上页 下页 返回 结束 xysinxyo2例例4. 1d),(Dyxfyyxyxfarcsinarcsind),(10dyIxyyxfsin0d),(0d x0sind),(xyyxf2d xyyxyxfarcsin2arcsind),(01dy如图所示交换下列二次积分的顺序:xyyxfxIsin020d),(d1D2D2d),(Dyxf解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.,)0(, 0)0(,)(存在设ffCuf，求)(1lim40tFtt)(tF解解: 在球坐标系下trrrftF02020d)(dsind
10、)(trrrf02d)(440)(limttFt利用洛必达法则与导数定义,得3204)(4limtttftttft)(lim0)0(f0)0(Fzyxzyxftzyxddd)(2222222其中 0)0(f 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、重积分的应用三、重积分的应用1. 几何方面面积 ( 平面域或曲面域 ) , 体积 , 形心质量, 转动惯量, 质心, 引力 证明某些结论等 2. 物理方面3. 其它方面机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.，上连续在设,)(baxf证明babaxxfabxxfd)()(d)(22证证: :左端yyfxxfbabad)(d)(yxyfxfDdd)
11、()(222baab利用yxyfxfDdd)()(222121xxfybabad)(d2yyfxbabad)(d22abxdxfba)(2xdxfabba)()(2byabxaD:= 右端ydyfba)(2机动 目录 上页 下页 返回 结束 ozyt)(tx)(tD例例7.设函数 f (x) 连续且恒大于零, )(22)(222d)(d)()(tDtyxfvzyxftFtttDxxfyxftGd)(d)()(2)(22其中,),()(2222tzyxzyxt.),()(222tyxyxtD(1) 讨论 F( t ) 在区间 ( 0, +) 内的单调性; (2) 证明 t 0 时, . )(2)
12、(tGtF(03考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解: (1) 因为 ttrrrfrrrftF0220022020d)(ddsin)(dd)(ttrrrfrrrf02022d)(d)(2两边对 t 求导, 得202022d)(d)()()(2)(ttrrrfrrtrrftfttF, 0)(), 0(tF上在.), 0()(单调增加上在故tF机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 问题转化为证 0)(2)(,0tGtFt时ttrrfrrrftG020220d)(2d)(d)(ttrrfrrrf0202d)(d)(即证 0d)(d)(d)(20202022tttrrrfrrfrrrf
13、)(tg0d)()()(0222trrtrftftg,), 0()(单调增在故tg,0)(连续在又因ttg故有)0()0()(tgtg0因此 t 0 时, .0)(2)(tGtF因机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用“先二后一”计算.zyxVdddzDcyxzddd20abc34czczab022d)1 (2222221:czbyaxDz机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例8. 试计算椭球体1222222czbyax的体积 V.解法解法1*解法解法2利用三重积分换元法. 令cos,sinsin,cossinrczrbyrax则),(),(rzyxJ,sin2rcba:zyxVdddrJdddabcabc34rrabcdddsin2rr d1020dsin20d20010 r机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P98 *21, *22(1)P117 4 , 9 , 11P124 10 , 11机动 目录 上页 下页 返回 结束
