1、 5.2 中心极限定理中心极限定理 大数定律虽证实了大数定律虽证实了“频率的稳定性频率的稳定性”，但并未告诉我们独，但并未告诉我们独立立随机变量和的分布是什么，这正是本节要讨论的问题随机变量和的分布是什么，这正是本节要讨论的问题 正态分布在概率统计中占有非常重要的地位，这不仅是因正态分布在概率统计中占有非常重要的地位，这不仅是因为实际当中大量的随机变量本身服从正态分布，而且在一定条为实际当中大量的随机变量本身服从正态分布，而且在一定条件下，原来并不服从正态分布的一些随机变量的和服从或近似件下，原来并不服从正态分布的一些随机变量的和服从或近似地服从正态分布。在概率论中，将有关论证随机变量和的极限
2、地服从正态分布。在概率论中，将有关论证随机变量和的极限分布为正态分布的一类定理称为中心极限定理。分布为正态分布的一类定理称为中心极限定理。 实践表明，若随机现象是受许多相互独立的随机因素综合实践表明，若随机现象是受许多相互独立的随机因素综合影响而形成的，而每个因素对其影响都很微小，则对应该随机影响而形成的，而每个因素对其影响都很微小，则对应该随机现象的随机变量就可看作许多随机变量的总和，而且服从或近现象的随机变量就可看作许多随机变量的总和，而且服从或近似地服从正态分布。中心极限定理在理论上证明了这一事实似地服从正态分布。中心极限定理在理论上证明了这一事实。 定理定理1 (独立同分布中心极限定理
3、独立同分布中心极限定理) 设设X1, X2, , Xn, 相互独相互独立且同分布，立且同分布，E(Xi) =，D(Xi) =2 0(i=1, 2, )。则对任意实。则对任意实数数 x，有，有 xtniindtexnnXP21221lim nXnXnnnXYnniiniin/111 令令)(21lim22xdtexYPxtnn 则则 定理定理5说明说明Yn以标准正态分布为极限分布，由以标准正态分布为极限分布，由Yn与随机变量与随机变量序列序列X1, X2, , Xn, 的算术平均值序列的算术平均值序列的的关关系系可可知知，nX为为极极限限分分布布。以以),(2nNXn 定理定理6 (李雅普诺夫定
4、理李雅普诺夫定理 ) 设设X1, X2, , Xn, 相互独立，相互独立，且且E(Xi) =i ，D(Xi) =i2 0(i=1, 2, )。令。令 niinB122 0|1lim122 niiinnXEB nniiinniniiinBXBXZ 111)( )(21lim)(lim22xdtexZPxFxtnnnn 若存在若存在0，使，使则随机变量则随机变量的分布函数的分布函数Fn(x)，对任意实数，对任意实数x 满足满足 定理定理6说明不论说明不论X1, X2, , Xn, 的分布如何，只要满足定理的分布如何，只要满足定理条件，则条件，则Zn以标准正态分布为极限分布以标准正态分布为极限分布)
5、, 2 , 1(niXi 的极限分布与的极限分布与的分布无关。的分布无关。nZ且且 在数理统计中，中心极限定理是大样本统计推断的重要理在数理统计中，中心极限定理是大样本统计推断的重要理论基础下面介绍的定理论基础下面介绍的定理7是定理是定理5当随机变量当随机变量Xi 服从参数服从参数p 的的两点分布的情况，这时两点分布的情况，这时 niinXY1服从参数为服从参数为n 和和p 的二项分布的二项分布 定理定理3 (德莫弗拉普拉斯定理德莫弗拉普拉斯定理)设设Yn B(n, p), (n=1, 2, ). 则对任意的实数则对任意的实数x，有，有)(21)1(lim22xdtexpnpnpYPxtnn
6、证明证明 Yn是是n 次独立试验中事件次独立试验中事件A 发生的次数，令发生的次数，令Xi表表“第第i次试验中事件次试验中事件A 发生的次数发生的次数”，则，则 X1, X2, , Xn, 相互独立且相互独立且均服从两点分布，均服从两点分布，E(Xi)= p，D(Xi)= p(1p)，(i=1, 2, ) niinXY1而而)()1(lim11xxpnpnpXPniin 由定理由定理)(21)1(lim22xdtexpnpnpYPxtnn 即即 定理定理7说明说明n充分大时，二项分布以正态分布为极限分布充分大时，二项分布以正态分布为极限分布. 例例3 设某单位电话总机有设某单位电话总机有200
7、0个分机，每个分机有个分机，每个分机有5%的时的时间使用外线通话，各分机使用外线是相互独立的问总机至少间使用外线通话，各分机使用外线是相互独立的问总机至少设置多少条外线，才能保证每个分机使用外线时不占线的概率设置多少条外线，才能保证每个分机使用外线时不占线的概率大于大于90%？ 解解 令令Y 表示表示2 000个分机需用外线的数目，又令个分机需用外线的数目，又令a为设置的为设置的外线数，由题意外线数，由题意YB(2 000，0.05)，要求，要求P0Ya0.90 np=2 0000.05=100， np(1p) =2 0000.050.95=95，根据定理根据定理3，)1(pnpnpY 近似地
8、服从标准正态分布，那么近似地服从标准正态分布，那么 9510095100951000 aYPaYP)95100()95100( a0)06.10()95100( 而而要要P0Ya0.90，只需，只需9 . 0)95100( a查正态分布表知查正态分布表知(1.29) = 0.90150.90，3 .1129. 195100 aa得得由由 例例4 分别用契贝谢夫不等式和中心极限定理确定一枚均匀硬币分别用契贝谢夫不等式和中心极限定理确定一枚均匀硬币 至少需要抛多少次，才能保证正面出现的频率在至少需要抛多少次，才能保证正面出现的频率在0.4与与0.6之间的概之间的概 率不小于率不小于0.9？ 解解
9、设需要抛硬币设需要抛硬币n次，次，X为为n次中正面出现的次数，则次中正面出现的次数，则),5 . 0 ,(nBX,5 . 0)(nXE .25. 0)(nXD . 9 . 06 . 04 . 0 nXP由题意，由题意，n要满足要满足 (1)由契贝谢夫不等式由契贝谢夫不等式1 . 0|5 . 0|6 . 04 . 0nnXPnXP 9 . 0251)1 . 0(25. 012 nnn250 n(2) 由德莫弗拉普拉斯中心极限定理由德莫弗拉普拉斯中心极限定理 ),25. 0 ,5 . 0(nnNX近似服从正态分布近似服从正态分布于是于是 5|25. 05 . 0|6 . 04 . 0nnnXPnX
10、P 9 . 01)5(2 n95. 0)5( n95053. 0)65. 1( 65. 15 n69 n 查正态分布函数表，知查正态分布函数表，知 因此只须因此只须 此例说明用中心极限定理比用契贝谢夫不等式估计要精确得多。此例说明用中心极限定理比用契贝谢夫不等式估计要精确得多。 50021,XXX,125115 XP)500, 2 , 1(2 . 0)()( iXDXEii1002 . 0500)()( XDXE例例5 设随机变量设随机变量相互独立且都服从参数为相互独立且都服从参数为2 . 0的泊松分布，试估计的泊松分布，试估计.5001 iiXX其中其中解解 因为因为50021,XXX而而相互独立，所以相互独立，所以于是根据独立同分布中心极限定理于是根据独立同分布中心极限定理 10100 X近似服从标准正态分布，从而近似服从标准正态分布，从而 125115 XP101001251010010100115 XP5 . 2101005 . 1 XP)5 . 1()5 . 2( 0606. 09332. 09938. 0
