1、中考数学第二轮总复习精讲精练专题15 几何模型旋转三模型半角模型、三叉口模型、费马点模型考点归纳知识梳理旋转的目的： 以公共端点为旋转中心，相等的两条线段的夹角为旋转角。将分散的条件集中，隐蔽的关系显现；具有公共端点的等线段；旋转的条件：旋转的方法： 等腰三角形等边三角形等腰直角三角形正方形010203知识点知识点如图,E,F是正方形ABCD的两边上的点,EAF=45,BD交AE,AF于点M,N.求证：(1)EF=DF+BE；(2)CCEF=2BC；(3)BM2+DN2=MN2将ABE绕点A逆时针旋转90得ADE.EFAEFAEF.证明:(1)四边形ABCD正方形. BC=CD=DA=AB=1
2、,BAD=B=ADC=90.ADE=B=90,EAD=BAE,AE=AE,DE=BE,EAF=45,BAD=90. BAE+DAF=45.EAF=EAD+DAF=BAE+DAF=45.EF=EF=DF+BE(2)CCEF=CF+EF+CE =CF+DF+BE+CE=BC+CD=2BC.知识点一典例精讲半角模型ABEFDCMN(3)将ADN绕点A顺时针旋转90得ABN,连接MNN同(1)可得AMNAMNBN=DN,MN=MNABN=ADN=45ABM=45NBM=90BN2+BM2=MN2BM2+DN2=MN2知识点一知识归纳半角模型1.1.半角的模型特征：半角的模型特征：有公共顶点的两个角，其
3、中一个角是另一个角的；大角的两边；存在。2.2.解题思路解题思路: :通过全等的性质.将半角关系的两边组成的三角形；证明3.3.常见的图形常见的图形: :正方形、正三角形、等腰直角三角形等.如图:正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点,且EAF=45,连接BD交AE于G,AF于M,连接EM、GF.GF与EM相交于O点.则有下列结论.EF=BE+FD GB2+MD2=GM2BMDG=AB2CE= DM,DF= BG,EF= GM222AM=EM,AG=FG21FCDFCEBEAEF的边EF上的高等于正方形的边长；EFC的周长等于正方形的边长的2倍.AEB=AEF,AFE=AFD根据下面共
4、圆,每个共圆都至少可以得到四队相等的角.AGF与AME是等腰直角三角形ABEMADFG GEFM CEMF CEGMFSAEF=SABE+SADFSAEF=2SAGMS正方形ABCD:SAEF=2AB:EFAEFAMGBGEDMFDAGMBAEFGEABADFEMF知识点一知识归纳半角模型-正方形ABEFDCGMO如图,在四边形ABCD中,AB=AD,B+ADC=180,E,F分别是BC，CD上的点,且EAF=0.5BAD,BE,DF,EF三条线段之间的数量关系是否仍然成立,若不成立,写出它们之间的数量关系并证明. ADFCEB知识点一典例精讲半角模型邻补四边形邻补四边形内含半角(邻边相等，对
5、角互补的四边形)1.如图：四边形ABCD中,E、F分别是CD、AD上的点,ABC= ADC=90且EBF=45.猜想并证明线段EF、CE、AF之间的数量关系.2.如图：四边形ABCD中,E、F分别是CD、AD上的点, ABC+ADC=180且EBF=1/2ABC.猜想并证明线段EF、CE、AF之间的数量关系.2.如图：等腰直角ABC中,ABC =90,E、F都是AC上的点，且EBF=45,猜想并证明线段EF、CE、AF之间的数量关系.知识点一知识归纳ABCDEFABCDEFABCEF用旋转法和截长补短法两种方法证明.用旋转法和截长补短法两种方法证明.用旋转法和截长补短法两种方法证明.知识点一知
6、识归纳ACB45ACBDabcc=a+bACB30ACBbcaDc=a+b上图依次是45,30的三角形对称(翻折),翻折形成正方形或等边三角形等的对称全等.(半角可以任意角去折叠,常见度数还有22.5半角)轴对称有如下性质：把图形变为与之全等的图形,因而面积和周长不变.在反射变换下,任意两点A和B,变换后的对应点为A和B,则有直线AB和AB所成的角的平分线为l.两点之间的距离保持不变,任意两点A和B,变换后的对应点为A和B,则有AB=AB. 中小学数学中的很多图形都是轴对称图形,利用这些图形的对称轴性质,可以帮助我们解决一些计算和证明的几何问题.ACEDB如图,已知ABC是等腰直角三角形,点D
7、,E在BC上,且满足DAE=45.求证:DE2=BD2+CE2ACEDB知识点一针对训练半角模型010203知识点知识点如图,点P为等边ABC内一点,且PA=5,PB=3,PC=4, (1)求BPC的度数；(2)求等边ABC的边长；(3)求等边ABC的面积.解:(1)ABC是等边三角形， PB=PB=3,PC=PA=5,PBP=ABC=60. 知识点二典例精讲三叉口模型PHAPCB345将ABP绕点B顺时针旋转60得CBQ, AB=BC,ABC60. PBP为等边三角形.PBP为等边三角形.PP=PB=3,BPP=60.32+42=52.即PP2+PC2=PC2.PPC=90.BPC=BPP+
8、PPC=150.(2)过点B作BHPC于点H.连接PQ.BPC=150.BPH=30.BH=0.5BP=1.5.233HP22HCBHAB31225(3)SABC=243AB436325三叉口模型-三线共点必旋转知识点一知识归纳三叉口模型1.1.三叉口模型的特征：三叉口模型的特征：在(或)中；三条已知线段；2.2.解题思路解题思路: :由旋转的性质和勾股定理的逆定理；将其中一个三角形到；三叉口点与其对应点过正多边形的顶点作求出角的一边的.利用勾股定理求出正多边形的.1.如图,点P是正方形ABCD内一点, (1)求APD的大小； 求正方形边长。.10, 2, 2PCPDPAABCDPQH【思路点
9、拨】(1)将APD绕点D逆时针旋转90 得CQD,再连接PQ, (2)作CHDQ于点H，10求得CH=HQ=1,再由勾股定理得出CD= 求得APD=CQD=45+90=135知识点二针对训练三叉口模型PAPBCDEF81023H知识点二针对训练三叉口模型2.如图,点P为正六边形ABCDEF内一点,且PA=8,PB= ,PC=10,求正六边形ABCD的面积.232241003.已知在ACB中,ACB=90,AC=BC,PA=3,PC=2,PB=1,求BPC的度数？APBCP知识点二针对训练三叉口模型010203知识点知识点 皮耶德费马,17世纪法国数学家,有“业余数学家之王”的美誉,之所以叫业余
10、并非段位不够,而是因为其主职是律师,兼职搞搞数学.费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献,除此之外,费马广为人知的是以其名字的“费马小定理”、“费马大定理”等. 据说费马在提出“费马大定理”时,在笔记本上写道：“我已经想到了一个绝妙的证明方法,但是这个地方不够写,我就不写了吧.”看得出那个时候纸确实挺贵的,几百年来,无数的数学家用一生的时间都没有证明出这条定理,直到1995年,才由英国数学家怀尔斯证明出来,此时费马已经逝世330年.业余数学家之王-费马有甲,乙,丙三个村庄(三个村庄之间的夹角均小于120),要在中间建一供水站向三地送水,现要确定供水站的位置是所需管道总长最小? APCBP1
11、C1知识点三考点聚焦费马点模型的特征当B、P、P1、C1四点在同一直线上时,PA+PB+PC的值最小.点P为ABC的费马点.将APC绕A点逆时针旋转60得到AP1C1,连接PP1.则APP1为等边三角形,AP=PP1,P1C1=PC,PA+PB+PC=PP1+PB+P1C1.BC1为定长, 将此问题抽象为数学模型：将此问题抽象为数学模型：如图,如果ABC的内角均小于120,在ABC内作点P,使PA+PB+PC值最小.P2知识点三考点聚焦费马点模型的特征1.如图,以AB(AC)为边,在ABC的外部作等边ABD(等边ACE),ACBPEDP此时PA+PB+PC值最小.点P即为ABC的费马点.2.连
12、接CD、BE交于点P,1.PA+PB+PC1.PA+PB+PC值最小；值最小；3.3.APB=APB=APC=APC=BPC=120BPC=120. .2.2.最小值最小值= =CDCD= =BEBE=PA+PB+PC=PA+PB+PC；P如图,在ABC中,ACB=30,BC=4,AC=3,在ABC内部有点P,连接PA,PB,PC,求：PA+PB+PC的最小值.D43知识点三典例精讲费马点之两点之间线段最短3如图,A,D是一个长为1000米,宽为600米矩形ABCD货场的入口,现拟在货场内建一个收费站P,在铁路线BC段上建一个发货站H,设铺设公路AP+DP+PH=m,求m的最小值.知识点三典例
13、精讲费马点之垂线段最短ADCBPHHAP解:作正DPE,将APD绕点D顺时针旋转60得到FED,作FNBC交AD于点M,mmin=FNAD=FD=1000米,FDM=60,FMAD,3500FM= 米，MN=AB=600米，米)3500600(+=FN如图,已知矩形ABCD的边AB=2,BC= ,点P为矩形内部一点,连接PA,PB,PC,则PA+PB+PC的最小值为_. 3272ADCBPPA知识点三针对训练费马点模型破解半角模型半角模型-口诀：口诀：共顶点，等线段，绕着顶点来旋转；鸡爪图，三线段，抓住定角也旋转；线段和，要得证，截长补短是正本；正方形，等直三，内含半角转一转.旋转+截长补短知识梳理课堂小结旋转三模型
