1、第5讲 函数的周期性和对称性形影不离【高考地位】函数的周期性和对称性是函数的两个基本性质。在高中数学中，研究一个函数，首看定义域、值域，然后就要研究对称性（中心对称、轴对称），并且在高考中也经常考查函数的对称性和周期性，以及它们之间的联系。因此，我们应该掌握一些简单常见的几类函数的周期性与对称性的基本方法。类型一 函数的周期性的判定及应用万能模板内 容使用场景几类特殊函数类型解题模板第一步 合理利用已知函数关系并进行适当地变形；第二步 熟记常见结论，准确求出函数的周期性； （1）若函数满足，则函数的周期为； （2）若函数满足或或，则函数 的周期为；第三步 运用函数的周期性求解实际问题.例1 函
2、数定义域为，且对任意，都有，若在区间上 则（ ）A. B. C. D. 【变式演练1】【陕西省西安市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测文科数学】已知定义域为R的函数满足，且当时，则（）ABCD0【变式演练2】已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）ABCD【变式演练3】函数y=f(x)在0，2上单调递增，且函数f(x+2)是偶函数，则下列结论成立的是( )A f(1)f(52)f(72) B f(72)f(52)f(1)C f(72)f(1)f(52) D f(52)f(1)f(72)类型二 函数的对称性问题万能模板内 容使用场景几类特殊函数类型解题模板记住常见的几种对称结
3、论：第一类 函数满足时，函数的图像关于直线对称；第二类 函数满足时，函数的图像关于点对称；第三类 函数的图像与函数的图像关于直线对称.例2 （多选）已知函数的图象关于直线对称，且对有.当时，.则下列说法正确的是（ ）A的周期B的最大值为4CD为偶函数【来源】重庆市南开中学2021届高三下学期第八次质量检测数学试题例3 已知定义在上的函数的图象关于点对称, 且满足,又,则（ ）A B C D例4 已知为奇函数， 与图像关于对称，若，则（ ）A. 2 B. -2 C. 1 D. -1【变式演练4】已知函数，现有下列四个命题：f(x)的最小正周期为；f(x)的图象关于原点对称；f(x)的图象关于(，
4、0)对称；f(x)的图象关于(，0)对称.其中所有真命题的序号是（ ）ABCD【来源】山西省晋城市2021届高三三模数学（理）试题【高考再现】1（2021全国高考真题（理）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，若，则（ ）ABCD2（2021全国高考真题（理）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）ABCD3. 【2016高考新课标2理数】已知函数满足，若函数与图像的交点为则（ ）（A）0 （B） （C） （D）4. 【2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II）】已知f(x)是定义域为(-,+)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2，则f(1)+f(2)+
5、f(3)+f(50)=（ ）A -50 B 0 C 2 D 505. 【2018年全国文科数学】已知函数f(x)=lnx+ln(2-x)，则A f(x)在（0，2）单调递增B f(x)在（0，2）单调递减C y=f(x)的图像关于直线x=1对称 D y=f(x)的图像关于点（1，0）对称6.【2016年高考四川理数】已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当0x1时，则=.7. 【2018年全国普通高等学校招生统一考试数学】函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(xR)，且在区间(-2,2上，f(x)=cosx2,0x2,|x+12|,-2x0,则f(f(15)的值为_8. 【2016高考江苏
6、卷】设是定义在上且周期为2的函数，在区间上， 其中 若 ，则的值是.【反馈练习】1【河南省郑州市2020-2021学年高三上学期第一次质量检测文科】设是上的奇函数且满足，当时，则（）ABCD2.【四川省宜宾市2021届高三上学期第一次诊断考试数学（文）】已知定义在上的奇函数满足，若且时，都有，则下列四个结论中：图象关于直线对称；在上为减函数；.其中正确的个数（）A1B2C3D43.【四川省宜宾市2021届高三上学期第一次诊断考试数学（文）】已知定义在上的奇函数满足，若且时，都有，则下列四个结论中：图象关于直线对称；在上为减函数；.其中正确的个数（）A1B2C3D44.【吉林省梅河口五中、辽源五
7、中、四平四中2020-2021学年高三（上）第一次联考】已知函数的周期为5，当时，则（）A5B6C7D85已知函数对任意的实数x都满足，且函数的图象关于点对称，若，则（ ）A0B2CD2021【来源】重庆市南开中学2021届高三下学期第七次质量检测数学试题6已知为上的奇函数，为偶函数，若当，则（ ）ABC1D2【来源】宁夏回族自治区银川一中2021届高三高考猜题卷数学（理）试题7.【江苏省苏州中学2021届高三（10月份）调研】若定义在上的奇函数满足对任意的，都有成立，且，则，的大小关系是（）ABCD8已知奇函数定义域为，且为偶函数，若，则（ ）A0BCD【来源】江西省南昌市八一中学、洪都中学
8、、十七中三校2021届高三上学期期末联考数学（文）试题9.【贵州省贵阳市四校2021届高三上学期联合考试】已知定义域为R的函数满足，且当时，则（）A-1B-2C0D110【安徽省滁州市定远县育才学校2020-2021学年高三上学期8月月考】定义在上的奇函数满足是偶函数，且当时，则（）ABCD11定义在上的函数满足，当时，则函数的图象与的图象的交点个数为（ ）ABCD【来源】黑龙江省大庆市2021届高三二模数学（文）试题12（多选）已知函数的图象既关于点中心对称又关于点中心对称，则（ ）A是周期函数B是奇函数C既没有最大值又没有最小值D函数是周期函数【来源】辽宁省实验学校2020-2021学年高
9、三下学期四模数学试题13（多选）函数的定义域为，且与都为奇函数，则下列说法正确的是（ ）A是周期为的周期函数B是周期为的周期函数C为奇函数D为奇函数【来源】广东省2021届高三二模数学试题14（多选）定义在上的函数满足：为整数时，；不为整数时，则（ ）A是奇函数B是偶函数CD的最小正周期为【来源】山东省青岛市2020-2021学年高三上学期期末数学试题15函数是定义域为R的奇函数，满足，且当时，给出下列四个结论： ； 是函数的周期； 函数在区间上单调递增； 函数所有零点之和为.其中，正确结论的序号是_.【来源】安徽省六安市第一中学2021届高三下学期适应性考试理科数学试题16定义在上的奇函数满足，且当时，则函数在上的零点之和为_.【来源】山东省济南市济南市莱芜第一中学2020-2021学年高三下学期2月月考数学试题17定义在上的函数满足，当时，则函数在区间上的零点个数是_【来源】云南师范大学附属中学2021届高三高考适应性月考卷（六）数学（理）试题18已知定义在上的函数满足，且图像关于对称，当时，则_.【来源】专题2.1 函数的性质-备战2021年高考数学精选考点专项突破题集（新高考地区）19定义在R上的函数满足当时，则_；_【来源】专题06函数及其性质的综合（客观题）-2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用）7 / 7
