1、量纲齐次原则量纲齐次原则等式两端的量纲一致等式两端的量纲一致量纲分析量纲分析利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系系例：单摆运动例：单摆运动)1 (321glmt 321glmt lmgm求摆动周期求摆动周期 t 的表达式的表达式设物理量设物理量 t, m, l, g 之间有关系式之间有关系式 1, 2, 3 为待定系数，为待定系数， 为无量纲量为无量纲量 2/ 12/ 10321glt(1)的量纲表达式的量纲表达式glt2对比对比33212TLMT12003321对对 x,y,z的两组测量值的两组测量值x1,y1,z1 和和x2,y2,z2， p1 = f(
2、x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 )2121pppp为什么假设这种形式为什么假设这种形式321glmt 设设p= f(x,y,z),(),(),(),(222111222111czbyaxfczbyaxfzyxfzyxfx,y,z的量纲单的量纲单位缩小位缩小a,b,c倍倍zyxzyxf),(p= f(x,y,z)的形式为的形式为),(),(22221111czbyaxfpczbyaxfp0002010010101004321)()()()(TMLTMLTMLTMLTMLyyyy000241243TMLTMLyyyyy201001010100TMLgTMLlTMLmTML
3、t单摆运动中单摆运动中 t, m, l, g 的一般表达式的一般表达式0),(glmtf020041243yyyyyglt12)/(gltTTyyyyy) 1, 1, 0, 2(),(4321基本解4321yyyyglmty1y4 为待定常数为待定常数, 为无量纲量为无量纲量0)(F设设 f(q1, q2, , qm) = 0 mjXqniaijij, 2 , 1,1ys = (ys1, ys2, ,ysm)T , s = 1,2, m-rF( 1, 2, m-r ) = 0 与与 f (q1, q2, , qm) =0 等价等价, F未定未定Pi定理定理 (Buckingham)是与量纲单位
4、无关的物理定律，是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2, , Xn 是基本量是基本量纲纲, n m, q1, q2, , qm 的量纲可表为的量纲可表为,mnijaA量纲矩阵记作量纲矩阵记作rA rank若线性齐次方程组线性齐次方程组0Ay有有 m-r 个基本解，记作个基本解，记作mjyjssjq1为为m-r 个相互独立的无量纲量个相互独立的无量纲量, 且且则则)()()()()()()(201002)(100100)(121311fsvlgTMLAg = LT-2, l = L, = L-3M, v = LT-1, s = L2, f = LMT-2量纲分析示例：量纲分析示例：波浪对航船的阻
5、力波浪对航船的阻力航船阻力航船阻力 fmjXqniaijij, 2 , 1,1航船速度航船速度v, 船体尺寸船体尺寸l, 浸没面积浸没面积 s, 海水密度海水密度 , 重力加速度重力加速度g。mnijaAm=6, n=30),(fsvlg0),(21mqqqfTTTyyy) 1, 0, 0()0, 1, 0()0, 0, 1(321flgslvlg13132221211, 1, 3, 1, 0, 2, 0, 0 , 2/ 1, 2/ 1Ay=0 有有m-r=3个基本解个基本解rank A = 3rank A = rAy=0 有有m-r个基本解个基本解ys = (ys1, ys2, ,ysm)T
6、 s = 1,2, m-rmjyjssjq1m-r 个无量纲量个无量纲量0),(21mqqqf0),(fsvlg F( 1, 2 , 3 ) = 0与与 (g,l, ,v,s,f) = 0 等价等价flgslvlg13132221211为得到阻力为得到阻力 f 的显式表达式的显式表达式F=0),(213 未定未定mjyjssjq1F( 1, 2, m-r ) = 0 与与 f (q1, q2, , qm) =0 等价等价221213,),(lsglvglf量纲分析法的评注量纲分析法的评注 物理量的选取物理量的选取 基本量纲的选取基本量纲的选取 基本解的构造基本解的构造 结果的局限性结果的局限性
7、 () = 0中包括哪些物理量是至关重要的中包括哪些物理量是至关重要的基本量纲个数基本量纲个数n; 选哪些基本量纲选哪些基本量纲有目的地构造有目的地构造 Ay=0 的基本解的基本解 方法的普适性方法的普适性函数函数F和无量纲量未定和无量纲量未定不需要特定的专业知识不需要特定的专业知识量纲分析在物理模拟中的应用量纲分析在物理模拟中的应用 例例: 航船阻力的物理模拟航船阻力的物理模拟通过航船模型确定原型船所受阻力通过航船模型确定原型船所受阻力gvlsf, 模型船的参数模型船的参数(均已知均已知)211211112111311,),(lslgvglf可得原可得原型船所型船所受阻力受阻力已知模已知模型
8、船所型船所受阻力受阻力221213,),(lsglvglf111111,gvlsf 原型船的参数原型船的参数(f1未知，其他已知未知，其他已知)注意：二者的注意：二者的 相同相同2211,1gg llvv121)(211)(llss31311llff311)(llff)(1 按一定尺寸比例造模型船，按一定尺寸比例造模型船，量测量测 f，可算出，可算出 f1 物理模拟物理模拟221213,),(lsglvglf211211112111311,),(lslgvglf无量纲化无量纲化例：火箭发射例：火箭发射2211)(rxmmkxm vxxrxgrx)0(, 0)0()(22 ),;(gvrtxx
9、m1m2xrv0g星球表面竖直发射。初速星球表面竖直发射。初速v, 星球半星球半径径r, 表面重力加速度表面重力加速度g研究火箭高度研究火箭高度 x 随时间随时间 t 的变化规律的变化规律t=0 时时 x=0, 火箭质量火箭质量m1, 星球质量星球质量m2牛顿第二定律，万有引力定律牛顿第二定律，万有引力定律)0( xgx grkm223个独立参数个独立参数用无量纲化方法减少独立参数个数用无量纲化方法减少独立参数个数x=L, t=T, r=L, v=LT-1, g=LT-2变量变量 x,t 和独立参数和独立参数 r,v,g 的量纲的量纲用用参数参数r,v,g的组合的组合, ,分别分别构造与构造与
10、x,t具有相同具有相同量纲量纲的的xc, tc （特征尺度）（特征尺度）无量纲变量无量纲变量tx ,vrtrxcc/,如),;(gvrtxx 利用新变量利用新变量, tx将被简化将被简化cctttxxx,令令 xc, tc的不同构造的不同构造vrtrxcc/,1）令cctttxxx,的不同简化结果的不同简化结果),;(gvrtxx xrvt dxdrvxxvt dxdvx 2222),;(gvrtxx );(txx 为无量纲量为无量纲量rvttrxx/,/vxxrxgrx)0(, 0)0()(22 1) 0(, 0) 0(,) 1(122xxrgvxx gvtgvxcc/,/23）令),;(g
11、vrtxx 1) 0 (, 0) 0 (,) 1(122xxrgvxx );(txx 为无量纲量为无量纲量),;(gvrtxx grtrxcc/,2）令rgvxxxx22,)0(0)0()1(1 );(txx 为无量纲量为无量纲量)/(80008 . 91063703smrg1）2）3）的共同点的共同点只含只含1个参数个参数无量纲量无量纲量 );(txx 解解重要差别重要差别rgv2考察无量纲量考察无量纲量v1在在1）2）3）中能否忽略以）中能否忽略以 为因子的项？为因子的项？1) 0(, 0) 0(,) 1(122xxrgvxx 1)忽略忽略 项项无解无解x不能忽略不能忽略 项项1)0(,
12、0)0(, 0) 1(12xxxtttx2)(21) 0(, 0) 0(, 1xxx 0)0(, 0)0(,) 1(12xxxx rgvxxxx22,)0(0)0()1(1 2)1) 0 (, 0) 0 (,) 1(122xxrgvxx 3)忽略忽略 项项0)(tx不能忽略不能忽略 项项忽略忽略 项项0)(txvxxgx)0(0)0( tttx2)(2gvtgvxcc/,/2cctttxxx,vtgttx221)(火箭发射过程火箭发射过程中引力中引力m1g不变不变 即即 x+r rvxxrxgrx)0(, 0)0()(22 原原问问题题可以忽略可以忽略 项项vtgttx221)(是原问题是原问题的近似解的近似解为什么为什么3)能忽略能忽略 项，得到原问题近似解，而项，得到原问题近似解，而1) 2)不能不能?vrtrxcc/,1）令）令grtrxcc/,2）令）令gvtgvxcc/,/23）令）令火箭到达最高点时间为火箭到达最高点时间为v/g, 高度为高度为v2/2g,cctttxxx/,/大体上具有单位尺度大体上具有单位尺度)1(项可以忽略项可以忽略cxx 1,tx)1(项不能忽略项不能忽略林家翘：自然科学中确定性问题的应用数学林家翘：自然科学中确定性问题的应用数学
