1、初中数学一题多变1 1已知，如图，已知，如图，ABAB是是O O的直径，的直径，CDCD是弦，是弦，AEAECDCD，垂足为，垂足为E E，BFBFCDCD，垂足为，垂足为F F，求证：求证：EC=DF.EC=DF.?G?F?E?D?C?B?A?O证明：证明：根据垂径定理可得根据垂径定理可得CM=DMCM=DMAEAEERER，BFBFEFEFAEAEBFBFOMOMAO=BOAO=BOE EM=FMM=FMEM-CM=FM-DMEM-CM=FM-DMEC=DEC=DF FM作作OMOMEFEF于点于点M M变式一：变式一：如图，已知如图，已知ABAB是是O O的直径，的直径，CDCD是弦，是
2、弦，AEAECDCD于于E E，BFBFCDCD于于F F，BFBF交交O O于于G G，下面的结论：，下面的结论：1.EC=DF1.EC=DF；2.DE=CF2.DE=CF；3.AE=GF3.AE=GF；4.AE+BF=AB4.AE+BF=AB中，正确的有（中，正确的有（ ）A.1A.1、4 4 B.2B.2、3 3、4 4 C.1C.1、2 2、3 3 D.1D.1、2 2、3 3、4 4C C?G?F?E?D?C?B?A?O?O?F?E?D?C?B?A变式二：变式二：把直线把直线EFEF和直径和直径ABAB的相对位置加以变化，即图形变化，的相对位置加以变化，即图形变化，条件和结论均不变，
3、便得新题，变化后的图形如下：条件和结论均不变，便得新题，变化后的图形如下：?G?F?E?D?C?B?A?O证明：证明：?O?F?E?D?C?B?A延长延长AEAE交圆于交圆于M M点，连接点，连接BMBM，过点，过点O O作作OPOP垂直垂直BMBM，交，交EFEF于点于点Q QMQABAB是直径是直径AMAMBMBM点点O O为圆心为圆心 OA=OB OA=OB MP=BP MP=BP AEAECDCD，BFBFCDCD EF=MB EF=MB EQ=FQ EQ=FQ OPCD OPCD CQ=DQ CQ=DQ CE=DF CE=DFBFEAEF4=2变式三：变式三：把直线把直线EFEF和圆
4、的位置关系由一般的相交变为相切，和圆的位置关系由一般的相交变为相切，即图形特殊化处理，原题可以引申为：如图，直线即图形特殊化处理，原题可以引申为：如图，直线MNMN和和O O切于点切于点C C，ABAB是是O O的直径，的直径，ACAC是弦，是弦，AEAEMNMN于于E E，BFBFMNMN于于F F，（1 1）求证：）求证：ACAC平分平分BAEBAE；（2 2）求证：）求证：AB=AE+BFAB=AE+BF；（3 3）求证：）求证：?N?M?F?E?C?B?A证明：（证明：（1 1）连接）连接OCOC，AEAEMNMN，BFBFMNMN，AEAEBFBF，而，而ABABEFEF，四边形四边
5、形ABFEABFE为梯形，为梯形，OCOCAEAEBFBF，EC=CFEC=CF，OCOC为梯形为梯形ABFEABFE的中位线，的中位线，AE+BF=2OCAE+BF=2OC，即：即：AE+BF=ABAE+BF=AB?N?M?F?E?C?B?A（2 2）证明：连接）证明：连接BCBC，?N?M?F?E?C?B?AABAB是直径，是直径，ACB=90ACB=90，ECA+ECA+FCB=90FCB=90，CBF+CBF+FCB=90FCB=90，CBF=CBF=ECAECA，AECAECCFBCFB，CFCFEC=AEEC=AEBFBF，CF=EC=1/2CF=EC=1/2EFEFEFEF2 2
6、=4AE=4AEBFBF2 2、已知二次函数的图像经过、已知二次函数的图像经过三点，求这个二次函数的解析式。三点，求这个二次函数的解析式。)3, 0(),0 , 1 (),0 , 3(CBA解：设二次函数解析式为解：设二次函数解析式为y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c，把三，把三点分别代入得（点分别代入得（1 1）9a-3b+c=09a-3b+c=0，（，（2 2）c=-3c=-3，（3 3）a+b+c=0a+b+c=0，（，（1 1）（）（2 2）（）（3 3）联立方程组）联立方程组解得解得a=1a=1，b=2b=2，c=-3c=-3，故这个二次函数的解，故这个二次函数的解析式析式y
7、=xy=x2 2+2x-3+2x-3变式一：变式一： 已知二次函数的图像经过一次函数已知二次函数的图像经过一次函数的图像与的图像与 轴、轴、 轴的交点轴的交点A A、C C，并且经过，并且经过点点 ，求这个二次函数的解析式。，求这个二次函数的解析式。解：解： 一次函数一次函数 的图像与的图像与 轴、轴、 轴轴的交点的交点A A、C C 、设二次函数解析式为设二次函数解析式为y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c，把三，把三点分别代入得（点分别代入得（1 1）9a-3b+c=09a-3b+c=0，（，（2 2）c=-3c=-3，（，（3 3）a+b+c=0a+b+c=0，（，（1 1）（）（
8、2 2）（）（3 3）联立方程组解得联立方程组解得a=1a=1，b=2b=2，c=-3c=-3，故这，故这个二次函数的解析式个二次函数的解析式y=xy=x2 2+2x-3+2x-3。变式二：已知抛物线经过两点变式二：已知抛物线经过两点B B（1 1，0 0）、）、C C（0 0，-3-3）。）。且对称轴是直线且对称轴是直线x=-1x=-1，求这条抛物线的解析式。，求这条抛物线的解析式。解：设二次函数解析式为解：设二次函数解析式为y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c，对称轴是直线对称轴是直线x=-1x=-1b=2a b=2a （1 1）又又抛物线经过两点抛物线经过两点B B（1 1，0 0
9、）、）、C C（0 0，-3-3）a+b+c=0a+b+c=0（2 2），），c=-3c=-3（3 3）（1 1）（）（2 2）（）（3 3）联立方程组解得）联立方程组解得a=1a=1，b=2b=2，c=-3c=-3故这个二次函数的解析式故这个二次函数的解析式y=xy=x2 2+2x-3+2x-3变式三：已知一次函数的图像经过点变式三：已知一次函数的图像经过点 ，且在，且在 轴，轴，上的截距是上的截距是-1-1，它与二次函数的图像相交于，它与二次函数的图像相交于 、 两点，又知二次函数的对称轴是直线两点，又知二次函数的对称轴是直线 ，求，求这两个函数的解析式。这两个函数的解析式。解：设一次函数
10、解析式为解：设一次函数解析式为 经过点经过点 ，且在，且在 轴上的截距是轴上的截距是-1 -1 3xy又又 与二次函数的图像相交于与二次函数的图像相交于 、mA , 14 , nB0 , 3A0 , 1B、设二次函数解析式为设二次函数解析式为y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c，将将 、 分别代入得分别代入得9a-3b+c=09a-3b+c=0，a+b+c=0a+b+c=0，又又b=-4a b=-4a 解得：解得：a=1a=1，b=2b=2，c=-3c=-3，故这个二次函数，故这个二次函数的解析式的解析式y=x +2x-3y=x +2x-32 23 3、求证：顺次连接四边形各边中点所得的
11、四边、求证：顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形形是平行四边形E E、F F为为ADAD，ABAB中点，中点，FE BDFE BD证明：连接证明：连接BDBD，又又G G、H H为为BCBC，CDCD中点，中点，GH BDGH BD故故GH FEGH FE同理可证，同理可证，EH FGEH FG四边形四边形FGHEFGHE是平行四边形是平行四边形已知：如图，已知：如图，E E、F F、G G、H H分别为矩形分别为矩形ABCDABCD四边四边的中点求证：四边形的中点求证：四边形EFGHEFGH为菱形为菱形变式一：变式一：求证：顺次连接矩形四边中点所得的四边形是菱形求证：顺次连接矩形四
12、边中点所得的四边形是菱形在在ABDABD中，中，AH=HDAH=HD，AE=EBAE=EBEH= BDEH= BD，同理，同理FG= BDFG= BD，HG= ACHG= AC，EF= ACEF= AC，又又在矩形在矩形ABCDABCD中，中，AC=BDAC=BD，EH=HG=GF=FEEH=HG=GF=FE，四边形四边形EFGHEFGH为菱形为菱形证明：连接证明：连接ACAC、BDBD，已知：如图，已知：如图，E E、F F、G G、H H分别为矩形分别为矩形ABCDABCD四边的中点四边的中点求证：四边形求证：四边形EFGHEFGH为菱形为菱形变式二：变式二：求证：顺次连接一个等腰梯形的各
13、边中点，所得到的求证：顺次连接一个等腰梯形的各边中点，所得到的四边形是菱形四边形是菱形证明：证明：四边形四边形ABCDABCD是等腰梯形，且点是等腰梯形，且点E E，F F，M M，N N，分别是四边形的中点，分别是四边形的中点，EF=MN= BD,EF=MN= BD,FN=EM= ACFN=EM= AC，梯形梯形ABCDABCD，AD=BCAD=BC，AC=BDAC=BD，EF=MN=FN=EMEF=MN=FN=EM，四边形四边形EFMNEFMN是菱形是菱形已知：梯形已知：梯形ABCDABCD，AD=BCAD=BC，且点，且点E E，F F，M M，N N，分别是，分别是四边形的中点，四边形
14、的中点，求证：四边形求证：四边形EFMNEFMN是菱形是菱形变式三：变式三：求证：求证：顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是边形是菱形菱形AC=BD,AC=BD,EH=FG=FG=EFEH=FG=FG=EF，四边形四边形EFGHEFGH是菱形是菱形证明：如图，证明：如图，AC=BDAC=BD，E E、F F、G G、H H分别是线段分别是线段ABAB、BCBC、CDCD、ADAD的中点，则的中点，则EHEH、FGFG分别是分别是ABDABD、BCDBCD的中的中位线，位线，EFEF、HGHG分别是分别是ACDACD、ABCABC的中位线的中
15、位线. .根据三角形的中位线的性质知，根据三角形的中位线的性质知，EH=FG= BDEH=FG= BD，EF=HG= ACEF=HG= AC，证明：如图，证明：如图，AC=BDAC=BD，E E、F F、G G、H H分别是线段分别是线段ABAB、BCBC、CDCD、ADAD的中点，则的中点，则EHEH、FGFG分别是分别是ABDABD、BCDBCD的中位的中位线，线，EFEF、HGHG分别是分别是ACDACD、ABCABC的中位线的中位线. .根据三角形的中位线的性质知，根据三角形的中位线的性质知，EH=FG= BDEH=FG= BD，EF=HG= ACEF=HG= AC，AC=BDAC=B
16、DEH=FG=FG=EFEH=FG=FG=EF，四边形四边形EFGHEFGH是菱形是菱形变式三：变式三：求证：求证：顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是四边形是菱形菱形4 4、全等三角形变式练习、全等三角形变式练习已知已知AOBAOBCODCOD，则你可以得到哪些等量等量关系，则你可以得到哪些等量等量关系? ? A=A=C C；B=B=D D；AB=CDAB=CD；AO=COAO=CO；BO=DOBO=DO；AD=CBAD=CB变形变形一一: : 已知已知AB=CDAB=CD，A=A=C C，请说，请说明明AD=CBAD=CB吗吗? ?证明：
17、在证明：在AOBAOB和和CODCOD中，中，AB=CDAB=CD，A=A=C C，AOB=AOB=CODCODAOBAOBCODCODAO=COAO=CO, ,BO=DOBO=DOAD=AO+DOAD=AO+DO, ,CB=CO+BOCB=CO+BOAD=BCAD=BC变形变形二二: : 已知已知ABCABCCDACDA，你能得到，你能得到AOBAOBCODCOD吗吗? ? 请说明理由请说明理由. .证明：证明：ABCABCCDACDA AB=CD AB=CD B=B=D D 在在AOBAOB和和CODCOD中，中， AB=CD , AB=CD ,B=B=D ,D ,BOA=BOA=DOCD
18、OC AOBAOBCODCOD变形三变形三: : 已知已知1=1=2 2，AO=COAO=CO，BO=DOBO=DO，试说明，试说明ABDABDCDB.CDB.证明：在证明：在AOBAOB和和CODCOD中，中， AO=CO AO=CO，BO=DO,BO=DO,BOA=BOA=DOCDOC AOBAOBCODCOD ABO=ABO=CDOCDO 1=1=2 2 ABD=ABD=CDBCDB 又又BD=DBBD=DB ABDABDCDBCDB5 5、填空、填空( (在横线内填在横线内填 、 0)a=1(a0)抛物线解析式为抛物线解析式为y= -2x-1y= -2x-1a2x2C2x1x2x2x2
19、x2x2x1x1x1x2a2x1x2图图5 52222(3)(3)如图如图5 5，在抛物线对称轴上存在点，在抛物线对称轴上存在点P P， 使使PACPAC的周长最小。的周长最小。ACAC为定值，为定值，要使要使PACPAC的周长最小，只需的周长最小，只需PA+PCPA+PC最小。最小。谁是那条谁是那条“河河”呢？由题意可知对称轴呢？由题意可知对称轴x=1x=1是那条是那条“河河”。 点点A A关于对称轴关于对称轴x=1x=1的对称点是的对称点是B B，由上述例题可知，连结由上述例题可知，连结BCBC交交x=1x=1于一点，于一点，这一点即为这一点即为P P点（点（PA+PC=PB+PCPA+P
20、C=PB+PC）。）。由（由（2 2）知）知B( +1B( +1，0)0)、C(0,-1),C(0,-1),经过点经过点B( +1B( +1，0)0)、C(0,-1)C(0,-1)的的直线为直线为y=( -1)x-1.y=( -1)x-1.当当x=1x=1时，时，y= -2.y= -2.即即P(1, -2).P(1, -2). 2已知已知: :如图如图6 6，A A点坐标为（点坐标为（-1-1，3 3），），B B点坐标为（点坐标为（-4-4，2 2），），有两动点有两动点C C、D D，C C在在x x轴移动，轴移动，D D在在y y轴上移动。当四边形轴上移动。当四边形ABCDABCD周长最
21、短时，求周长最短时，求C C、D D的坐标。的坐标。变式二变式二分析：连结分析：连结ABAB，ABAB为定值，为定值，要使四边形要使四边形ABCDABCD周长周长最小，只需最小，只需BC+CD+DABC+CD+DA最小。最小。如何才能把如何才能把BCBC、CDCD、DADA放放在同一条直线上呢？由例在同一条直线上呢？由例题可知，需要找出对称轴，题可知，需要找出对称轴，只有只有x x轴和轴和y y轴才能是对称轴。轴才能是对称轴。 解：做解：做A A（-1-1，3 3）点关于）点关于y y轴的对称点轴的对称点A(1,3)A(1,3)， 做做B B（-4-4，2 2）点关于）点关于y y轴的对称点轴
22、的对称点B(-4,-2)B(-4,-2)， 连结连结ABAB，交，交y y轴、轴、x x轴于两点轴于两点D D、C C，连结，连结ADAD，BCBC。 此时四边形此时四边形ABCDABCD周长最小周长最小 设设ABAB的解析式为：的解析式为：y=kx+b,y=kx+b,把把A(1,3)A(1,3)、B B（-4-4，-2-2） 代入到解析式中，代入到解析式中，3=k+b, -2=-4k+b, 3=k+b, -2=-4k+b, k=1, b=2, k=1, b=2, AB AB的解析式为：的解析式为：y=x+2. y=x+2. 令令x=0,x=0, y=2; y=2; 令令y=0, y=0, x
23、=-2. x=-2. 即即 C C的坐标（的坐标（-2-2，0 0），）， D D的坐标（的坐标（0 0，2 2）。）。变式三变式三已知抛物线已知抛物线y=a +bx+cy=a +bx+c与与y y轴交于点轴交于点A A（0 0，3 3），），与与x x轴分别交于轴分别交于B(1,0)B(1,0)、C(5,0)C(5,0)两点。两点。（1 1）求此抛物线的解析式；）求此抛物线的解析式；（2 2）若点）若点D D为线段为线段OAOA的一个三等分点，求直线的一个三等分点，求直线DCDC的解析式；的解析式；（3 3）若一个动点）若一个动点P P自自OAOA的中点的中点M M出发，先到达出发，先到达x
24、 x轴上的某点轴上的某点（设为点（设为点E E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F F），）， 最后运动到点最后运动到点A A。求使点。求使点P P运动的总路径最短的点运动的总路径最短的点E E、 点点F F的坐标，并求出这个最短总路径的长。的坐标，并求出这个最短总路径的长。x253518解：解：(1)(1)根据题意得根据题意得c=3, c=3, 把把B(1,0)B(1,0)、C(5,0)C(5,0)两点代入两点代入 到抛物线到抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c中，中， 得得a+b+3=0, 25a+5b+3=0,a+b+3=0, 25a
25、+5b+3=0, 解之得解之得 a= b= a= b= 抛物线的解析式为抛物线的解析式为y= - x+3y= - x+3 53518x25152(2)依题意可得OA的三等分点分别为（0，1），（0，2） 设直线CD的解析式为y=kx+b 当点D的坐标为（0，1）时， 直线CD的解析式为y=- x+1 当点D的坐标为（0，2）时， 直线CD的解析式为y=- x+22323432343215(3)如图8，由题意，可得M（0， ）， 点M关于x轴的对称点为M （0，- ），点A关于抛物线对称轴x=3的对称点为A（6，3）。连结AM，AM的长就是所求点P运动的最短总路径的长。所以AM与x轴的交点为所求
26、E点与直线x=3的交点为所求F点。可求得直线AM的解析式为y= X- 可得E点坐标为（2，0）， F点坐标为（3， ）， 由勾股定理可求出AM= 。所以点P运动的最短总路径（ME+EF+FA）的长为15/2。?9.9.已知，已知，ABCABC中，中，ACB=90ACB=90度，度，CDABCDAB，D D为垂足，为垂足，延长延长CBCB到到E E，使，使EB=CBEB=CB，连结，连结AEAE、DEDE，求证：求证：DEAB= AEBEDEAB= AEBE证明：证明： = BDAB 因因EB=CBEB=CB = BDAB = BDAB EBEB：BD=ABBD=AB：BEBE又又EBD=ABE
27、 EBD=ABE EBDEBDABEABEEBEB：AB=DEAB=DE：AE AE DEAB= AEBEDEAB= AEBECB2EB2变式二变式二已知，已知，ABCABC中，中，ACB=90ACB=90度，度，CDABCDAB，D D为垂足，为垂足，延长延长CBCB到到E E，使，使EB=CBEB=CB，连结，连结AEAE交交CDCD的延长线于的延长线于F F，如果此时如果此时AC=ECAC=EC， 求证：求证： AF= 2FEAF= 2FE证明：过点证明：过点E E作作EMCFEMCF，M M为垂足，为垂足，则则ADAD：DB= DB= ： =4=4：1 1又又DBDB：EM=1EM=1
28、：2 2所以，所以，ADAD：EM=2EM=2：1 1ADFADFEMFEMFAFAF：EF=ADEF=AD：EM=2EM=2：1 1AF=2EFAF=2EFAC2CB2变式三变式三已知，已知，ABCABC中，中，ACB=90ACB=90度，度，CDABCDAB，D D为垂足，为垂足，延长延长CBCB到到E E，使，使EB=CBEB=CB，连结，连结AEAE交交CDCD的延长线于的延长线于F F，连结连结FBFB，如果此时，如果此时AC=ECAC=EC，求证：求证： ABC=EBFABC=EBF作作ACBACB的平分线交的平分线交ABAB于点于点G G，易证易证ACGACGCEFCEFCG=E
29、FCG=EF证证CBGCBGEBFEBFABC=EBFABC=EBFG10.10.已知函数已知函数y y=(3-=(3-k k) )x x-2-2k k+18+18是一次函数，求是一次函数，求k k的取值范围的取值范围变式一：变式一：k k为何值时，一次函数为何值时，一次函数y y=(3-=(3-k k) )x x-2-2k k+18+18的图象经过原点；的图象经过原点；解：把解：把 x x =0, =0, y y=0=0代入代入y y=(3-=(3-k k) )x x-2-2k k+18+18 得得 -2-2k k+18=0 +18=0 所以所以k=9k=9变式二：变式二：k k为何值时，一
30、次函数为何值时，一次函数y y=(3-=(3-k k) )x x-2-2k k+18+18的图象的图象与与y y轴的交点在轴的交点在x x轴的上方轴的上方解：与解：与y y轴的交点在轴的交点在x x轴的上方表示交点的纵坐标，轴的上方表示交点的纵坐标， 即即-2-2k k+18+180 0 所以所以k k9 9变式三：变式三：k k为何值时为何值时, , 一次函数一次函数y y=(3-=(3-k k) )x x-2-2k k+18+18y y随随x x的增大而减小的增大而减小解：3-k0 所以k311.11.已知函数已知函数y y=(3-=(3-k k) )x x-2-2k k+18+18是一次
31、函数，求是一次函数，求k k的取值范围的取值范围变式一：变式一：k k为何值时，一次函数为何值时，一次函数y y=(3-=(3-k k) )x x-2-2k k+18+18图象图象 经过一、二、四象限？经过一、二、四象限？设计意图：学习一次函数的最重要方法是数形结合设计意图：学习一次函数的最重要方法是数形结合 结合图象，将问题转化为解关于结合图象，将问题转化为解关于k k的不等式组的不等式组93 K变式二：变式二：k k为何值时，一次函数为何值时，一次函数y y=(3-=(3-k k) )x x-2-2k k+18+18图象图象 平行于直线平行于直线y y=-=-x x；设计意图：考查决定两条直线位置关系的因素，设计意图：考查决定两条直线位置关系的因素，这里只涉及简单的情形：两条直线平行等价于这里只涉及简单的情形：两条直线平行等价于 3-3-k k =-1=-1（即一般式中的（即一般式中的k k相等）相等）变式三：直线变式三：直线y1=(3-k)x-2k+18y1=(3-k)x-2k+18与直线与直线y2=2x+12y2=2x+12交于交于 点点P(-1P(-1，a)a) 解：解：(K=10)(K=10)解：解：(K=4)(K=4)
