1、3.4函数的基本性质函数的基本性质 最值最值 教学重点：教学重点：1、掌握函数的最大值、最小值的概念；、掌握函数的最大值、最小值的概念；2、会求二次函数在某指定区间上的最值；、会求二次函数在某指定区间上的最值；3、重视数形结合的思想方法；、重视数形结合的思想方法； 生产生活实际中会经常遇到生产生活实际中会经常遇到最大效益、最少投入等，这最大效益、最少投入等，这里的最大、最少都归结为函里的最大、最少都归结为函数最值问题。数最值问题。1实例实例动物园要建造一面靠墙的动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的长方形间面积相同的长方形熊猫居室熊猫居室. 如果可供建造围墙的材料长是如果可供建造围墙的材料长是3
2、0米，米，那么宽那么宽x为多少米时才能使所建造的熊猫居室面为多少米时才能使所建造的熊猫居室面积积y最大？熊猫居室的最大面积是多少平方米？最大？熊猫居室的最大面积是多少平方米？x30- -3xy=x(30- -3x), x (0,10)y= - -3x2+30 x = - -3(x-5)2+75 75当当x=5 (0,10)时时,y的最大值为的最大值为75即宽取即宽取5米时，熊猫居室的最大面积是米时，熊猫居室的最大面积是75平方米平方米.解：由题意得：面积为解：由题意得：面积为2函数的最值概念函数的最值概念00( )().yf xxf x设函数在 处的函数值是00min0( )()()( )()
3、;xf xf xf xyf xyf x如果对于定义域内任意 ，不等式都成立，那么叫做函数的最小值，记作00max0( )()()( )();xf xf xf xyf xyf x如果对于定义域内任意 ，不等式都成立，那么叫做函数的最大值，记作300000001.( ),(1),( ),( );(2),( )(),()( );(3),( )(),()( );f xRMxRf xMMf xxRxRxxf xf xf xf xxRxRf xf xf xf x 设设函函数数的的定定义义域域为为 有有下下列列三三个个命命题题：若若存存在在常常数数使使得得对对任任意意有有 则则 是是函函数数的的最最大大值值
4、若若存存在在使使得得对对任任意意且且有有 则则是是函函数数的的最最大大值值若若存存在在使使得得对对任任意意有有 则则是是函函数数的的最最大大值值4二次函数的最值求法二次函数的最值求法例例1.求下列函数的最大值或最小值求下列函数的最大值或最小值:(1)y=2x2- -3x+1 (2)y=- -x2+2x+3配方法配方法求二次函数的最值求二次函数的最值练练1.口答下列函数的最大值或最小值及口答下列函数的最大值或最小值及相应自相应自变量值变量值:(1)y= 1- -x2 (2)y=2x2- -8x (3)y= - -4x2- -x+25二次函数的最值求法二次函数的最值求法图像法图像法求二次函数的最值
5、求二次函数的最值例例2.求函数求函数y=8 +2x - -x2分别在区间分别在区间: (1)-2,2; (2) -1, 上的最大值或最小值上的最大值或最小值21练练2.口答下列函数的最大值或最小值及相应口答下列函数的最大值或最小值及相应自变量值自变量值:(1)y= 1- -x2 x -1,1 (2)y=2x2- -8x x -1,4 (3)y=6 6x- -x2 x -3,0 (4)y=2x2-4x-5 x 2,4对于闭区间上的单调函数，对于闭区间上的单调函数，必在区间端点处取得函数的必在区间端点处取得函数的最小值最小值或或最大值最大值6二次函数的最值求法二次函数的最值求法图像法图像法求二次函
6、数的最值求二次函数的最值若在，则二次函数在顶点取到最若在，则二次函数在顶点取到最大（或最小）值。大（或最小）值。2、 判断顶点的横坐标是否在指定判断顶点的横坐标是否在指定区间内。区间内。3、1、 配方，求二次函数的顶点坐标。配方，求二次函数的顶点坐标。求指定区间上二次函数的最值的步骤求指定区间上二次函数的最值的步骤:若不在，则结合单调性求最值。若不在，则结合单调性求最值。7思考一：思考一：函数函数y=8 +2x - -x2分别在区间分别在区间: (1) （-2,2; (2) 上的最大值或最小值上的最大值或最小值.(,2;(3)3,)(4)(, 13,) 应用书p71，5求最值先看清定义域求二次
7、函数最值先求对称轴82223401xxmxm2已知 、 是关于 的方程的两个实数根，求（ -1） （） 的最值。思考二：9作业：练习册作业：练习册P3334/9,10, P35/5,6,8,9自学例自学例9小结：小结：1、理解最大值、最小值的概念；、理解最大值、最小值的概念；2、掌握在指定区间上的二次函数的、掌握在指定区间上的二次函数的 最值问题的求法。最值问题的求法。10221yxx、求的最值223yxx1、求函数的最大值或最小值.思考三：求分式型函数的最值求分式型函数的最值11教学重点：教学重点： 利用二次函数的图像解决求二次利用二次函数的图像解决求二次函数最值问题中带有字母参数问题。函数
8、最值问题中带有字母参数问题。12例例1：上的最大值与最小值上的最大值与最小值在区间在区间求函数求函数 1,1)(32 Raaxxy解：解：32 axxy43)2(22aax 2ax 对对称称轴轴为为时时即即当当212)1( aa上上单单调调递递增增，在在1132 axxy时时当当1 xay 4min时时当当1 xay 4maxxy0-112ax 图像法图像法求二次函数的最值求二次函数的最值动轴定区间 13时时当当2ax 432minay 时时当当1 xay 4max时时当当1 xay 4max上单调递减上单调递减在在 1,132 axxy时时当当1 xay 4max时时当当1 xay 4min
9、x0y1-1x0y-11x0y-1122 a即即120 a021 a时时即即20 a时时即即02 a12)3( a当当时时即即2 a图像法图像法求二次函数的最值求二次函数的最值14121)2( a当当例例2:和和最最小小值值上上的的最最大大值值在在求求函函数数1,322 ttxxy解解:2) 1(3222 xxxy1 x对对称称轴轴时时即即当当011)1( tt上上单单调调递递减减在在 1,322 ttxxy时时当当tx 322max ttyx0y1tt+1当当x=t+1时时ymin=t2+2图像法图像法求二次函数的最值求二次函数的最值定轴动区间 15时时当当1 x2min y22max ty
10、x0ytt+1时时即即当当10111)2( ttt时时即即当当21121 tt 1,1 tt时时即即当当21121 tt时时当当tx 322max tty时时当当1 txx0yt t+1图像法图像法求二次函数的最值求二次函数的最值16时时当当1)4( t上单调递增上单调递增在在1,322 ttxxy22max ty当当x=t时时ymin=t2-2t+3当当x=t+1 时时x0y1t t+1图像法图像法求二次函数的最值求二次函数的最值17书p71,3,423( )(1 2 )1134f xkxk xk例 ，函数在区间，上有最大值 ，求实数 的值。18教学重点：教学重点：1、会求分式型函数的最值；
11、、会求分式型函数的最值；2、重视化归的方法，将分式函数的最值、重视化归的方法，将分式函数的最值 问题转化为熟悉的二次函数、问题转化为熟悉的二次函数、111yxyxxyxx、反比例函数等方法有换元、分离常数。方法有换元、分离常数。3、会利用函数图像求值域、会利用函数图像求值域19函数的最值求法函数的最值求法yx2 2例例1 1. .求求函函数数 在在区区间间 2 2，6 6 上上的的1 1最最大大值值和和最最小小值值。54321-1-2-3-4-5-4-224681012fx 225已知函数已知函数y=kx+b在在x - -1,3的的值域为值域为- -3,5,求实数求实数k,b的值的值.k=2b
12、=-1k=-2b=3用图像用图像 或单调性或单调性20函数的最值求法函数的最值求法分式函数的分式函数的最值与值域最值与值域例例1.1.求下列各个函数的值域求下列各个函数的值域: :(1)(1)y= ;(2)= ;(2)y= , ,x 1,3;(3)1,3;(3)y= , x -1-1x1x1x3例例2.2.求下列各个函数的值域求下列各个函数的值域: :(1)(1)y= ;(2)= ;(2)y= , ,x 1,3;1,3;(3)(3)y= , x 0 02x+122x- -122x- -1x21函数的最值求法函数的最值求法分式函数的分式函数的最值与值域最值与值域例例3.3.求下列各个函数的值域求
13、下列各个函数的值域: :(1)(1)y=x- - ;(2) ;(2)y= ;(3);(3)y= , x1xx2- -4x+4x2- -20例例4.4.求下列各个函数的值域求下列各个函数的值域: :(1)(1)y=x+ ;(2)+ ;(2)y= ;(3);(3)y= , x1xx2+ +4x+4x2- -12利用单调性利用单调性x 1,4 22函数的最值求法函数的最值求法分式函数的分式函数的最值与值域最值与值域练习练习.求下列分式函数的值域求下列分式函数的值域:(1)y= ; (2)y= ; (3)y=(4)y= ; (5)y=x23x2+2x3x2+2xx2+2x3- -x2+2x323-5O
14、x y12345-1-2-3-4123-1-2例例2.2.下图是定义在下图是定义在 5 5，55上的函上的函数数y yf( (x) )的图像的图像，根据图像求函数根据图像求函数yf( (x) )的值域的值域. .函数的最值求法函数的最值求法利用图像利用图像求最值求最值24函数的最值求法函数的最值求法利用图像利用图像求最值求最值练习练习 根据图像说出根据图像说出yf(x)的值域的值域. .xyo31-35-5-22.6o11- -1- -1- -22 242xy3 33425213.1, ,3.2yxxxt t 求求函函数数的的最最小小值值24.21,0,1.yxax ax 求求函函数数的的最最
15、值值2:23, ,1( ),( ).yxxxa ag tg t 练练 已已知知函函数数的的最最大大值值为为 求求的的解解析析式式2:21,1,2.yxax 练练 已已知知函函数数在在区区间间上上的的最最值值一、二次函数的最值动轴定区间 定轴动区间 1.已知函数已知函数y=kx+3在在x -2,4的最大值为的最大值为7求该求该函数的最小值函数的最小值.2.函数函数y=ax2-2ax+2+b 在在 x 2,3的最大值的最大值3,最最小值小值2,求求a,b的值的值. 262225.3(1)32, 1,4(2),1,221(3)41,1,41(4)8 2(5),0,324yxxyxxyxxxyxxyx
16、xx 求求下下列列函函数数的的最最值值、值值域域常见函数的最值、值域26.( ).1 3(1) , (2)1,5 (3)2,5)2 4f xxxxxx 求求函函数数在在下下列列区区间间上上的的最最值值、值值域域272227.(1)1(2)1121(3),2,3(4),3,)1110(5)(6)|21|, 1,29(7)|3|1|yxxyxxxxyxxyxxxxyyxxxyxx 求求下下列列函函数数的的最最值值、值值域域 求最值、值域的几种方法配方法、单调性法、换元法、图像法 28恒成立问题28.( )29,( )0,.f xxx mRf xm 已已知知函函数数在在 上上恒恒成成立立 求求实实数数 的的取取值值范范围围29.2101,2,.xaxa 已已知知不不等等式式在在区区间间上上恒恒成成立立 求求实实数数 的的取取值值范范围围:2,3 , ( )0,.xf xm 变变式式 若若时时恒恒成成立立求求 的的取取值值范范围围2: 1,2 , 210,.xxaxa 变变式式 若若时时恒恒成成立立求求 的的取取值值范范围围292210.( ),1,)(1).5 ,( )(2)( )1,)( )0,.xx af xxxaf xf xxf xa 设设函函数数 当当时时求求的的最最小小值值 若若在在上上恒恒有有求求实实数数 的的取取值值范范围围恒成立问题30
