1、章末复习课第1章导数及其应用学习目标1.理解导数的几何意义并能解决有关斜率、切线方程等的问题.2.掌握初等函数的求导公式，并能够综合运用求导法则求函数的导数.3.掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数的极值和最值.4.会用导数解决一些简单的实际应用问题.5.掌握定积分的基本性质及应用.题型探究知识梳理内容索引当堂训练知识梳理1.导数的概念(1)定义：设函数yf(x)在区间(a，b)上有定义，x0(a，b)，若x无限趋近于0时，比值 无限趋近于一个常数A，则称f(x)在xx0处可导，并称该常数A为函数f(x)在xx0处的导数，记作 .(2)几何意义：导数f(x0)的几何意义就是曲线yf
2、(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率.f(x0)2.基本初等函数的导数公式(1)(x) (为常数).(2)(ax) (a0，且a1).(3)(ex) .(4)(logax) logae (a0，且a1).(5)(ln x) .(6)(sin x) .(7)(cos x) .x1axln aexcos xsin x3.函数的求导法则(1)f(x)g(x) .(2)Cf(x)Cf(x)(C为常数).(3)f(x)g(x) .f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(4) (g(x)0).4.复合函数的求导法则(1)复合函数记法：yf(g(x).(2)中间变量代换：yf(u)，ug(
3、x).(3)逐层求导法则：yxyuux.5.函数的单调性、极值与导数(1)函数的单调性与导数对于函数yf(x)，如果在某区间上f(x)0，那么f(x)为该区间上的增函数；如果在某区间上f(x)0，那么f(x)为该区间上的减函数.(2)函数的极值与导数极大值：在点xa附近，满足f(a)f(x)，当xa时， ，则点a叫做函数的极大值点，f(a)叫做函数的极大值；极小值：在点xa附近，满足f(a)f(x)，当xa时， ，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值.(3)求函数f(x)在闭区间a，b上的最值的步骤求函数yf(x)在(a，b)上的极值；将函数yf(x)的 与f(a)，f(b)比较
4、，得到f(x)在区间a，b上的最大值与最小值.f(x)0f(x)0f(x)0极值6.微积分基本定理对于被积函数f(x)，如果F(x)f(x)，那么 f(x)dxF(b)F(a)，即 F(x)dxF(b)F(a).题型探究例例1设函数f(x) x3ax29x1(a0)，直线l是曲线yf(x)的一条切线，当l的斜率最小时，直线l与直线10 xy6平行.(1)求a的值；解答类型一导数几何意义的应用解解f(x)x22ax9(xa)2a29，f(x)mina29，由题意知，a2910，a1或a1(舍去).故a1(2)求f(x)在x3处的切线方程.解答解解由(1)得a1，f(x)x22x9，则kf(3)6
5、，f(3)10.f(x)在x3处的切线方程为y106(x3)，即6xy280.利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出.常见的类型有两种：一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，由 f(x1)和y1f(x1)，求出x1，y1的值，转化为第一种类型.反思与感悟跟踪训练跟踪训练1直线ykxb与曲线f(x)x3ax1相切于点(2,3)，则b_.解析解析由题意知f(2)3，则a3.f(x)x33x1.f(2)32239k，又点(2,3)在直线y9xb上，b39
6、215.15答案解析例例2 设a为实数，函数f(x)ex2x2a，xR.(1)求f(x)的单调区间与极值；解答类型二函数的单调性、极值、最值问题解解由f(x)ex2x2a，xR知，f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln 2.列表如下.x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x) 极小值f(ln 2)故f(x)的单调减区间是(，ln 2)，单调增区间是(ln 2，)，f(x)在xln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)eln 22ln 22a2(1ln 2a).(2)求证：当aln 21且x0时，exx22ax1.证明证明证明设g(x)exx22ax1，xR，于是g(x)e
7、x2x2a，xR.由(1)知，当aln 21时，g(x)取最小值为g(ln 2)2(1ln 2a)0.于是对任意xR，都有g(x)0，所以g(x)在R内单调递增.于是当aln 21时，对任意x(0，)，都有g(x)g(0).而g(0)0，从而对任意x(0，)，都有g(x)0，即exx22ax10，故exx22ax1.本类题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性，求函数的极值和证明不等式，考查运算能力、分析问题、解决问题的能力.反思与感悟跟踪训练跟踪训练2已知函数f(x)(4x24axa2) ，其中a0.(1)当a4时，求f(x)的单调增区间；解答(2)若f(x)在区间1,4上的最小值为8，求
8、a的值.解答f(x)在1,4上的最小值为f(1)，由f(1)44aa28，由f(4)2(6416aa2)8，得a10或a6(舍去)，当a10时，f(x)在(1,4)上单调递减，f(x)在1,4上的最小值为f(4)8，符合题意.综上，a10.例例3 某公司为获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为t25t(百万元)(0t3).(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司获得的收益最大？解答类型三生活中的实际问题解解设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元)，则有f(t)(t25t)t
9、t24t(t2)24(0t3)，所以当t2时，f(t)取得最大值4，即投入2百万元的广告费时，该公司获得的收益最大.(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造.经预测，每投入技术改造费x(百万元)，可增加的销售额为 x3x23x(百万元).请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大.解答解解设用于技术改造的资金为x(百万元)，则用于广告促销的资金为(3x)(百万元).由此获得的收益是g(x)(百万元)，所以g(x)x24.令g(x)0，解得x2(舍去)或x2.又当0 x0；当2x3时，g(x)0，故V(r)在(0,5)上为增函数；由此可知，V(r)在r5处取得最大值，
10、此时h8.即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大.解答当堂训练1.函数yxex在其极值点处的切线方程为_.答案23451解析解析依题意得yexxex，令y0，可得x1，解析2.函数f(x)xex的单调增区间是_.答案23451解析(，1)令f(x)0, 得x1，故单调增区间为(，1).3.如图，yf(x)是可导函数，直线l：ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的导函数，则g(3)_.23451答案解析023451解析解析直线l：ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，f(3)1.又点(3,1)在直线l上，g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x)，
11、4.体积为16的圆柱，当它的半径为_时，圆柱的表面积最小.23451答案解析2解析解析设圆柱底面半径为r，母线长为l.当r2时，圆柱的表面积最小.5.设函数f(x)xeaxbx，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y(e1)x4.(1)求a，b的值；23451解答解解f(x)的定义域为R.f(x)eaxxeaxb(1x)eaxb.解得a2，be.(2)求f(x)的单调区间.23451解答23451解解由(1)知，f(x)xe2xex.由f(x)e2x(1xex1)及e2x0知，f(x)与1xex1同号.令g(x)1xex1，则g(x)1ex1，所以，当x(，1)时，g(x)0，g(x
12、)在区间(，1)上单调递减；当x(1，)时，g(x)0，g(x)在区间(1，)上单调递增.故g(1)1是g(x)在区间(，)上的最小值，从而g(x)0，x(，)，综上可知，f(x)0，x(，).故f(x)的单调增区间为(，).规律与方法1.利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程yy0f(x0)(xx0).明确“过点P(x0，y0)的曲线yf(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线yf(x)的切线方程”的异同点.2.借助导数研究函数的单调性，经常同三次函数，一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体.3.利用导数求解优化问题，注意自变量中的定义域，找出函数关系式，转化为求最值问题.4.不规则图形的面积可用定积分求解，关键是确定积分上、下限及被积函数，积分的上、下限一般是两曲线交点的横坐标.本课结束
