1、第三章 函数 3.1 函数的概念与性质3.1.1 函数及其表示方法第1课时 函数的概念 7 71 1 ，1313 ，2 2A AB Bf fx xy y魔盒中有什么秘密？魔盒中有什么秘密？1,21,2按照什么法则对应上了按照什么法则对应上了7,137,13？魔盒魔盒正比例函数正比例函数:y=kx (k0);:y=kx (k0);反比例函数反比例函数: y=k/x (k0);: y=k/x (k0);一次函数一次函数: y=kx+b (k0);: y=kx+b (k0);二次函数二次函数:y=ax:y=ax2 2+bx+c (a0)+bx+c (a0)1.1.初中所学的函数的概念是什么？初中所学
2、的函数的概念是什么？ 在一个变化过程中有两个变量在一个变化过程中有两个变量x x和和y y，如果对于，如果对于x x的的每一个值，每一个值，y y都有唯一的值与它对应都有唯一的值与它对应. . 那么就说那么就说y y是是x x的的函数，其中函数，其中x x叫做自变量叫做自变量. . 2.2.初中学过哪些函数？初中学过哪些函数？【温故知新温故知新】高中是怎么定义函数概念的？请进入本节课的学习！高中是怎么定义函数概念的？请进入本节课的学习！1.1.理解函数的概念理解函数的概念, ,了解构成函数的三要素了解构成函数的三要素. .（重点、难点）（重点、难点）2.2.能够正确使用能够正确使用“区间区间”
3、的符号表示某些函数的定义域和值域的符号表示某些函数的定义域和值域. .3.3.会求一些简单函数的定义域和值域会求一些简单函数的定义域和值域. .（重点）（重点）1.1.数学抽象：通过函数的判断，培养数学抽象的核心素养数学抽象：通过函数的判断，培养数学抽象的核心素养2.2.数学运算：通过函数定义域的求法，培养数学运算的核心素数学运算：通过函数定义域的求法，培养数学运算的核心素养养 体会课堂探究的乐趣，体会课堂探究的乐趣， 汲取新知识的营养，汲取新知识的营养，让我们一起让我们一起 吧！吧！进进走走课课堂堂观察下列三个实例有什么不同点和共同点？观察下列三个实例有什么不同点和共同点？1.1.炮弹的射高
4、与时间的变化关系问题炮弹的射高与时间的变化关系问题 一枚炮弹发射后一枚炮弹发射后, ,经过经过26s26s落到地面击中目标落到地面击中目标, ,炮弹的射高为炮弹的射高为845m,845m,且炮弹距地面的高度且炮弹距地面的高度h(h(单位单位:m):m)随时间随时间t(t(单位单位:s):s)变化的规律为变化的规律为:h=130t-5t:h=130t-5t2. .微课微课1 1 函数的概念函数的概念 这里，炮弹飞行时间这里，炮弹飞行时间t t的变化范围是数集的变化范围是数集A=t|0t26,A=t|0t26,炮弹距地面的高度炮弹距地面的高度h h的变化范围是的变化范围是数集数集B=h|0h845
5、.B=h|0h845.从问题的实际意义可知，对从问题的实际意义可知，对于数集于数集A A中的任意一个时间中的任意一个时间t t，按照对应关系，按照对应关系h=130t-h=130t-5t5t2 2, ,在数集在数集B B中都有唯一确定的高度中都有唯一确定的高度h h和它对应和它对应. .2.2.南极臭氧层空洞面积与时间的变化关系问题南极臭氧层空洞面积与时间的变化关系问题 近几十年来近几十年来, ,大气层中的臭氧迅速减少大气层中的臭氧迅速减少, ,因而出现因而出现了臭氧层空洞问题了臭氧层空洞问题. .如下图中的曲线显示了南极上空如下图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从臭氧层空洞的面积从19
6、79197920012001年的变化情况年的变化情况. .由图中的曲线可知，时间由图中的曲线可知，时间t t的变化范围是数集的变化范围是数集A=t|1979t2001A=t|1979t2001，臭氧层空洞面积，臭氧层空洞面积S S的变的变化范围是数集化范围是数集B =S|0S26.B =S|0S26.并且，对于数集并且，对于数集A A中的每一个时刻中的每一个时刻t t，按照图中的曲线，在数集，按照图中的曲线，在数集B B中都有唯一确定的臭氧层空洞面积中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S S和它对应和它对应. .3.“3.“八五八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时计划以来我国城镇居民的恩格尔系
7、数与时间的变化关系问题间的变化关系问题 国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低的高低, ,恩格尔系数越低恩格尔系数越低, ,生活质量越高生活质量越高. .如下表所示如下表所示 “八五八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数情况计划以来我国城镇居民的恩格尔系数情况. . ( (恩格尔系数恩格尔系数= =食物支出金额食物支出金额/ /总支出金额总支出金额) )时间时间( (年年) )1991199119921992199319931994199419951995199619961997199719981998199919992000200020
8、012001城镇居城镇居民恩格民恩格尔系数尔系数（）53.853.852.952.950.150.149.949.949.949.948.648.646.446.444.544.541.941.939.239.237.937.9“八五八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况提示：提示：不同点不同点实例实例1 1是用解析式刻画变量之间的对应关系，是用解析式刻画变量之间的对应关系，实例实例2 2是用图象刻画变量之间的对应关系，是用图象刻画变量之间的对应关系，实例实例3 3是用表格刻画变量之间的对应关系是用表格刻画变量之间的对应关系. .共同点共同点（1 1
9、）都有两个非空数集）都有两个非空数集. . （2 2）两个数集之间都有一种确定的对应关系）两个数集之间都有一种确定的对应关系. .函数的概念函数的概念 设设A A，B B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系系f f，使对于集合，使对于集合A A中的任意一个实数中的任意一个实数x x ，在集合，在集合B B中都中都有唯一确定的实数有唯一确定的实数f(x)f(x)和它对应，那么就称和它对应，那么就称f f：ABAB为为从集合从集合A A到集合到集合B B的一个函数，记作的一个函数，记作y=f(x)y=f(x)，xA.xA.其中，其中，x x叫做自变量，叫做
10、自变量，x x的取值范围的取值范围A A叫做函数的叫做函数的定义域；与定义域；与x x的值相对应的的值相对应的y y值叫做函数值，函数值叫做函数值，函数值的集合值的集合f(x)|xAf(x)|xA叫做函数的值域叫做函数的值域. .文字语言文字语言符号语言符号语言)(xfy 1.1.如何理解如何理解“ ”“ ”？2 f(x)f(a) (a).与为常数 的区别和联系提示：提示：当当a a为常数时，为常数时，f(a)f(a)表示的是自变量表示的是自变量x=ax=a时对时对应的函数值，是一个常数应的函数值，是一个常数; ;而而f(x)f(x)表示表示y y是变量是变量x x的的函数函数, ,是函数符号
11、是函数符号. .提示：提示：符号符号y=f(x)y=f(x)表示表示“ y y是变量是变量x x的函数的函数”，它仅，它仅仅是函数符号，并不表示仅是函数符号，并不表示y y等于等于f f与与x x的乘积。的乘积。【特别提醒】【特别提醒】对于函数对于函数y=f (x)y=f (x)，以下说法正确的有，以下说法正确的有( )( )y y是是x x的函数的函数 对于不同的对于不同的x,yx,y的值也不同的值也不同 f(a)f(a)表示当表示当x=ax=a时函数时函数f(x)f(x)的值，是一个常量的值，是一个常量 f(x)f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来一定可以用一个具体的式子表示出来A.1
12、A.1个个 B.2B.2个个 C.3C.3个个 D.4D.4个个B B【即时训练即时训练】(2)(2)任意的任意的xAxA，存在唯一的，存在唯一的yByB与之对应与之对应. .(3)(3)构成函数的三要素：定义域、值域、对应关构成函数的三要素：定义域、值域、对应关系系( (f f：AB)AB). .(1) A(1) A，B B是非空数集是非空数集. .函数概念中的关键词函数概念中的关键词【规律总结规律总结】x 1 0 x 1 0 x 0 x 2 0111(1)f(x;(2)g(x)xx2x11x1,-12-22,0)(0,) 例1求下列函数的定义域）解：（） 函数有意义当且仅当解之得所以函数的
13、定义域为（ ，）（ ） 函数有意义当且仅当所以函数的定义域为（，）（g(x)x1S,- 23Sx10 x12x13x8,3S 例2设函数的值域为分别判断和 是否是 中的元素解：由于恒成立，所以无解当时，所以 1 , 0111110)2(51)2(, 1)0(,21) 1()(22),0(),1() 1 (11)(32222所以值域为（恒成立，从而可知解：由已知得的值域）求函数（）（求已知例xxxfffxffffxxf已知已知f(x)=3xf(x)=3x2, x0,1,2,3,52, x0,1,2,3,5，求求f(0), f(3)f(0), f(3)和函数的值域和函数的值域. .(0)3 022
14、, f解：解：2,1,4,7,13 .值域为值域为(3)3 327. f【变式练习变式练习】初中各类函数的对应关系、定义域、值域分别是什么？初中各类函数的对应关系、定义域、值域分别是什么？函数函数对应关系对应关系定义域定义域值域值域正比例函数正比例函数反比例函数反比例函数一次函数一次函数二次函数二次函数ykx(k0)2y axbx c(a 0)ky(k0)xykxb(k0)R Rx | x0R RR Ry| y0224acba0y| y4a4acba0y| y4a时时, ,时时, ,R RR R【总结总结提升提升】y=xy=x与与 是同一函数吗？是同一函数吗？2xyx提示：提示：不是，定义域不
15、同不是，定义域不同微课微课2 2 相等函数相等函数思考思考1 1：思考思考2:2:两个函数相等与表示自变量和函数值的字母两个函数相等与表示自变量和函数值的字母有关吗？有关吗？提示：提示：因为函数是两个数集之间的对应关系，所以因为函数是两个数集之间的对应关系，所以至于用什么字母表示自变量是无关紧要的，如至于用什么字母表示自变量是无关紧要的，如f(x)=3x+4f(x)=3x+4与与f(t)=3t+4f(t)=3t+4表示相等函数表示相等函数. .思考思考3 3：如何判断两个函数是否为同一函数如何判断两个函数是否为同一函数? ?提示：提示：构成函数的三个要素是对应关系构成函数的三个要素是对应关系f
16、 f、定义域、定义域A A、值域值域f(x)|xAf(x)|xA，只有当这三要素完全相同时，两，只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数个函数才能称为同一函数. .由于值域是由定义域和对由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等应关系完全一致，即称这两个函数相等( (或为同一函或为同一函数数) )给出四个命题：给出四个命题：定义域相同，值域相同的两个函数相等。定义域相同，值域相同的两个函数相等。若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只有一若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只有一个
17、元素个元素 因为因为f(x)=5(xR),f(x)=5(xR),这个函数值不随这个函数值不随x x的变化范围而的变化范围而变化，所以变化，所以f(0)=5f(0)=5也成立也成立 定义域和对应关系确定后，函数值也就确定了定义域和对应关系确定后，函数值也就确定了正确的有正确的有( ) ( ) A.1A.1个个 B.2B.2个个 C.3C.3个个 D.4D.4个个C C【即时训练即时训练】例例2 2 下列函数中哪个与函数下列函数中哪个与函数y=xy=x相等相等( )( )A. B. A. B. C. D. C. D. 2y( x)33yx2yx2xyxB B如果两个函数定义域相同，并且对应关系完全
18、一如果两个函数定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等（或为同一函数）致，我们就称这两个函数相等（或为同一函数）关注函数关注函数的三要素的三要素下列两个函数是否表示同一个函数？下列两个函数是否表示同一个函数？2f(x)x ;g(t)t2x4f(x);g(x)x2x242f(x)x ;g(x)x2f(x)x,x0,1;f(x)x ,x0,1（1 1）（2 2）（3 3）（4 4）是是不是，定义域不同不是，定义域不同不是，不是，定义域不同定义域不同不是，对应关系不同不是，对应关系不同【变式练习变式练习】【规律总结规律总结】判断两个函数是否相等应注意的几点：判断两个函数是否相等应注意
19、的几点：(1)(1)相等函数的图像完全相同，因此，有时可以借助于相等函数的图像完全相同，因此，有时可以借助于函数的图像来判断两个函数是否相等函数的图像来判断两个函数是否相等. .(2)(2)值域是由定义域和对应关系决定的，因此，值域不值域是由定义域和对应关系决定的，因此，值域不相同时，两个函数必不相等相同时，两个函数必不相等. .(3)(3)检验两个函数的定义域和对应关系是否相同，要看检验两个函数的定义域和对应关系是否相同，要看它们的实质，即定义域是由哪些数所组成的，定义域它们的实质，即定义域是由哪些数所组成的，定义域中的数是如何对应到值域中的中的数是如何对应到值域中的. .(4)(4)要注意
20、的是：即使定义域和值域分别相同的两个函要注意的是：即使定义域和值域分别相同的两个函数也不一定相等数也不一定相等. .核心知识核心知识方法总结方法总结易错提醒易错提醒核心素养核心素养区区间间符号表符号表示示数轴表数轴表示示概概念念三要素三要素函函数数定义域定义域对应关系对应关系值域值域两数集间的对两数集间的对应应定义域的求法：定义域的求法：（1 1）分母不为零）分母不为零（2 2）偶次根式被开方）偶次根式被开方式非负式非负（3 3）自变量的实际意）自变量的实际意义义1.1.在区间表示中，右端点在区间表示中，右端点的值一定大于左端点的值的值一定大于左端点的值3.3.求函数定义域前，尽量不求函数定义
21、域前，尽量不要对函数解析式化简变形，要对函数解析式化简变形，以免引起定义域的变化以免引起定义域的变化2.2.以以为端点时，区间这一为端点时，区间这一端端一一定是小括号定是小括号1.1.数学抽象：通过函数数学抽象：通过函数的判断，培养数学抽象的判断，培养数学抽象的核心素养的核心素养2.2.数学运算：通过函数数学运算：通过函数定义域的求法，培养数定义域的求法，培养数学运算的核心素养学运算的核心素养1.1.下列可作为函数下列可作为函数y= f (x)y= f (x)的图象的是（的图象的是（ ）xxxxyyyyOOOOabaabb0 x0 x0 x关注是否一个自变量的值仅对关注是否一个自变量的值仅对应
22、唯一一个函数值应唯一一个函数值【解题关键解题关键】2.2.下列各组函数表示相等函数的是下列各组函数表示相等函数的是( )( )A.f(x)=x-2,g(x)=A.f(x)=x-2,g(x)=B.f(x)= ,g(x)=1B.f(x)= ,g(x)=1C.f(x)=xC.f(x)=x2 2-2x-1,g(t)=t-2x-1,g(t)=t2 2-2t-1-2t-1D.f(x)= ,g(x)=D.f(x)= ,g(x)=2x4x2xx120 x 12C C【解析解析】A A中中f f（x x）的定义域为）的定义域为R R，g g（x x）的定义域为）的定义域为x|x-2x|x-2，不同，不同;B;B
23、中中f f（x x）的定义域为）的定义域为x|x0. x|x0. g g（x x）的定义域为）的定义域为R.CR.C中中f f（x x），）， g g（t t）中的变量只）中的变量只是字母不同，形式相同为相等函数是字母不同，形式相同为相等函数.D.D中中f f（x x）的定义）的定义域为域为R. gR. g（x x）的定义域为）的定义域为x|x1.x|x1.故故A,B,DA,B,D不是相不是相等函数等函数. .-3-3，11(2)3 2612( )3636()3 ()63()6( ( )3( )63(36)6924ff aaaf mnmnmnf f xf xxx 解：4.4.已知函数已知函数f(x)=3x+6,f(x)=3x+6,试求试求f(2),f(a),f(m+n),f(f(x).f(2),f(a),f(m+n),f(f(x).青春是有限的，智慧是无穷的，趁短暂的青春，学习无穷的智慧。
