1、3.4 相似三角形的判定与性质第3章 图形的相似导入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学上（XJ） 教学课件第1课时 利用平行判定三角形相似3.4.1 相似三角形的判定1.理解并掌握判定三角形相似的预备定理；(重点）2.运用判定三角形相似的预备定理解决简单问题(重点、难点)学习目标导入新课导入新课观察与思考相似多边形中，最简单的就是相似三角形.如果A=A，B=B，C=C， ，那么ABC与ABC相似.这是由三角形相似的定义来判断的，我们还有其他的方法来判断两个三角形相似吗？ABBCACA BB CA C讲授新课讲授新课判定三角形相似的预备定理一问题：如图，在ABC中，D为AB上任意一点，过点D
2、作BC的平行线DE，交AC于点E.（1）ADE与ABC的三个角分别相等吗？（2）分别度量ADE与ABC的边长，它们的边长是否对应成比例？（3）ADE与ABC之间有什么关系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？发现只要DEBC，那么ADE与ABC是相似的.在ADE与ABC中，A=A.DEBC，ADE=B，AED=C.如图，过点D作DFAC，交BC于点F.DEBC，DFAC，CBCFABADACAEABAD,四边形DFCE为平行四边形，DE=FC.ADEABCBCDEACAEABAD证明猜想F 平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,截得的三角形与原三角形相似.“A”型 “X”型
3、 （图3）DEOBCABCDE（图1）归纳总结“A”型 ADEBC（图2）判定三角形相似的预备定理的简单应用二例1：如图，在ABC中，已知D，E分别是AB，AC边 的中点.求证：ADEABC.证明：证明：点点D，E分别是分别是AB，AC边的中点，边的中点，DEBC.ADEABC.例2：如图，点D为ABC的边AB的中点，过点D作DEBC， 交边AC于点E.延长DE至点F，使DE=EF. 求证：CFEABC.证明： DEBC，点D为ABC 的边AB的中点，AE=CE.ADEABC.又DE=FE，AED=CEF，ADECFE.DEBC，CFEABC.例3 已知：如图是一束光线射入室内的平面图，上檐边
4、缘射入的光线照在距窗户2.5m处，已知窗户AB高为2m，B点距地面高为1.2m，求下檐光线的落地点N与窗户的距离NC.解：AMBN， NBCMAC，=,BCNCACMC1.2=,3.22.5NC即15=m.16NC当堂练习当堂练习1如图，在 ABCD中，E在AB上，CE，BD交于F，若AE BE4 3，且BF2，则DF_. 3142.如图，在RtABC中，C=90.正方形EFCD的三个顶点E，F，D分别在边AB，BC，AC上.已知AC=7.5，BC=5，求正方形的边长.解：四边形EFCD是正方形，EDBC，ED=DC=FC=EF.ADEACB.BCEDACAD7.5,7.55ACDCEDDCD
5、CACBCDC=3,即正方形的边长为3.3.如图，已知点O在四边形ABCD的对角线AC上，OEBC，OFCD.试判断四边形AEOF与四边形ABCD是否相似，并说明理由.解：OEBC，OFCD，AEO=ABC,AOE=ACB,AOF=ACD,AFO=ADC.AOE+AOF=ACB+ACD,即EOF=BCD.又OEBC，OFCD，AOEACB,AOFACD.四边形AEOF与四边形ABCD相似.AEEOAOOFAFABBCACCDAD判定三角形相似的预备定理内容：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似.课堂小结课堂小结应用证明三角形相似求值求线段的比值求线段的长求角的度数见
6、本课时练习课后作业课后作业导入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学上（XJ） 教学课件第2课时 相似三角形的判定定理13.4 相似三角形的判定与性质第3章 图形的相似3.4.1 相似三角形的判定1.理解相似三角形的定义，掌握定义中的两个条件.2.掌握相似三角形的判定定理1.（重点）3.能熟练运用相似三角形的判定定理1.（难点）学习目标问题1：这两个三角形有什么关系？观察与思考全等三角形全等三角形导入新课导入新课 那这样变化一下呢？那这样变化一下呢？相似三角形相似三角形相似三角形定义？问题问题2 什么叫相似三角形吗？全等是一种特全等是一种特殊的相似殊的相似定义 判定方法全等三角形相似三角形三角
7、、三边对应相等的两个三角形全等三角对应相等,三边对应成比例的两个三角形相似 角边角ASA角角边AAS边边边SSS边角边SAS斜边、直角边HL问题问题3 三角形全等的性质和判定方法有哪些？需要三个等量条件思考思考 全等是一种特殊的相似，那你猜想一下，判定两个三角形相似需要几个条件？问题问题 观察学生与老师的直角三角板相似吗？测量一下，得出你的猜想.利用角的关系判定两个三角形相似一讲授新课讲授新课这两三角形是相似的做一做：画ABC，使A=30,B=45，再画ABC，使A=30,B=45.观察这两个三角形形状相同吗？你能证明C=C吗？量出这两个三角形的三边，计算对应边是否对应成比例？由此你可以得出什
8、么结论？ 两角分别相等的两个三角形相似.猜想：由以上的探究写出利用角判定两个三角形全等的条件. 探究猜想已知：在ABC和ABC中，A=A，B=B. 求证：ABCABC. BADECBAC*证明猜想证明：在ABC的边AB、AC上，分 别截取AD=AB，AE=AC，连接DE. AD=AB，A=A，AE=AC， ADE ABC,ADE=B， 又B=B，ADE=B， DEBC， ADEABC， ABCABC.BADECBAC两角分别相等的两个三角形相似.归纳总结ABCA C B 用数学符号表示： A=A， B=B ABC ABC相似三角形的判定定理1：注意：对应点写在对应的位置.跟踪训练跟踪训练1.A
9、BC和DEF中， A=40，B=80， E=80， F=60.ABC与DEF_（“相似”或“不相似”）.ACB40 80 FED80 60 2 .有一个锐角相等的两直角三角形是否为相似 三角形？例1：如图，ABC中，C=90, 从点D分别作边AB，BC的垂线，垂足分别为点E，F，DF与AB交于点H. 求证：DEHBCA. AEFBCD证明: C= 90, DFBC，BHFA， DEHBCA. （两角分别相等的两个三角形相似）典例精析H DFAC.DHEA， DEH= 90=C , 例2：如图，RtABC与RtDEF中，C=F=90, 若A=D, AB=5，BC=4，DE=3,求EF的长. AE
10、FBCD解: C= F=90, A=D, ABCDEF. 典例精析.ABBCDEEF AB=5，BC=4，DE=3, EF=2.4.例3：如图，ABC中，DEBC,EFAB. 求证：ADEEFC. AEFBCD解: DEBC，EFAB.AEDC，AFEC. ADEEFC. （两角分别相等的两个三角形相似）例4：已知：如图，1=2=3，求证：ABCADE证明： BAC= 1+ DAC , DAE= 3+ DAC， 1=3， BAC=DAE. C=1802DOC ，E=1803AOE. 又 DOC =AOE（对顶角相等）， C= E. 在ABC和 ADE中 BAC=DAE，C= E ABCADE.
11、归纳总结1.已知：ABC和DEF中，A=40，B=80 ,E=80 , F=60 求证：ABCDEF. AFECBD证明： 在ABC中，A=40 ，B=80 ， C=180 AB=180 40 80 =60 . 在DEF中，E=80 ，F=60 . B=E，C=F. ABCDEF（两角对应相等，两三角形相似）.当堂练习当堂练习 2.如图，在等边三角形ABC中，边长为10，点D在BC上，BD=6，ADE=60，DE交AC于E.（1）求证：ABDDCE.BAD=CDE,ABDDCE.解：ABC为等边三角形，B=C=60，ADB+BAD=120，又ADE=60，ADB+CDE=120，（2）求CE的
12、长.6104解：ABDDCE， ABDDCE， CE=2.4. 利用两角判定三角形相似 定理1：两角分别相等的两个三角形相似课堂小结课堂小结相似三角形的判定定理1的运用 见本课时练习课后作业课后作业导入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学上（XJ） 教学课件第3课时 相似三角形的判定定理23.4 相似三角形的判定与性质第3章 图形的相似3.4.1 相似三角形的判定学习目标1.掌握相似三角形的判定定理2；（重点）2.能熟练运用相似三角形的判定定理2（难点）问题1.有两边对应成比例的两个三角形相似吗?3355不相似观察与思考问题2.类比三角形全等的判定方法（SAS,SSS），猜想可以添加什么条件
13、来判定两个三角形相似？3355相似导入新课任意画ABC;再画ABC，使A=A,且 量出BC及BC的长，计算 的值，并比较是否三边都对应成比例？量出B与B的度数，B=B吗？由此可推出C=C吗？为什么？由上面的画图，你能发现ABC与ABC有何关系？与你周围的同学交流. (2,3)ABACkA BA C如取等我发现这两个三角形是相似的BCB C相似三角形的判定定理2一画一画讲授新课如图，在ABC与ABC中，已知A= A，.ABACA BA C在ABC的边AB上截取点D,使AD=AB过点D作DEBC,交AC于点E.DEBC,ADEABC.求证：ABCABC.BACBADEC*验证猜想 AD=AB， A
14、E=AC. 又A=A. ADEABC， ABCABC.BACDEBAC 如果ABC与ABC两边成比例，且其中一边所对的角相等，那么这两个三角形一定相似吗？由此你能得到什么结论？你有疑问吗 ？33CC60)4AB)【结论】判定两个三角形相似角必须两边的夹角.C1.5B260A三角形的判定定理2： 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似归纳总结相似三角形的判定定理2的运用二例1.在ABC和DEF中，C=F=70，AC=3.5cm,BC=2.5 cm，DF=2.1 cm,EF=1.5 cm.求证：DEFABC.AFECBD证明：AC=3.5cm,BC=2.5cm,DF=2.1cm,EF=1.5cm,2
15、.131.53,3.552.55DFEFACBCDFEFACBC，又C=F=70， DEFABC（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）例2 如图，在 ABC 中，CD是边AB上的高，且 . 求证：ACB=90ABCD解： CD是边AB上的高 ADC= CDB=90.ADCDCDBD， ADCCDB ACD= B ACB= ACD+ BCD= B+ BCD= 90.ADCDCDBD解：AE=1.5，AC=2， 又EAD=CAB, ADEABC(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似) BC=3. DE=例3:如图所示，D，E分别是ABC的边AC,AB上的点，AE=1.5，AC=2，BC=3,且
16、，求DE的长.ACB3,4ADAB.ADAEABAC39.44BC ED1. 如图，D是ABC一边BC上一点，连接AD,使 ABC DBA的条件是 （ ） A. AC:BC=AD:BD B. AC:BC=AB:AD C. AB2=CDBC D. AB2=BDBCD当堂练习ABCD2.已知在RtABC与RtABC中， A=A= 90，AB=6cm，AC=4.8cm，AB=5cm，AC=3cm. 求证：ABCABC. 证明： A=A= 90， ABC ABC.64.86,535ABACA BA C3.ABC为锐角三角形，BD、CE为高 . 求证： ADE ABC.证明：BDAC，CEAB， ABD
17、+A=90， ACE+A= 90. ABD= ACE. 又 A= A， ABD ACE. A= A， ADE ABC. ABDCEO利用两边及夹角判定三角形相似 定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似课堂小结相似三角形的判定定理2的运用 见本课时练习课后作业导入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学上（XJ） 教学课件第4课时 相似三角形的判定定理33.4 相似三角形的判定与性质第3章 图形的相似3.4.1 相似三角形的判定1.掌握相似三角形的判定定理3；（重点）2.能熟练运用相似三角形的判定定理3（难点）学习目标 定义法:三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似.问题1：判定两
18、个三角形相似我们学过了哪些方法?引理:平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.复杂烦琐！具备两个条件： (1) DEBC； (2)两个三角形在同一图形中.ABDCE 限制条件啦！ 导入新课导入新课复习与回顾思考：类比全等三角形的判定方法，还有其他判定两个三角形相似的方法吗？(3)判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似.(4)判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.导入新课导入新课 猜想：猜想：ABCA1B1C1A1B1C1CBA如果：相似三角形的判定定理3一边边边SSS有效利用判定定理一去求证证明:在A1B1C1的边A1B1 (或延长线)上截取A1D=A
19、B, 过点D作DEB1C1交A1C1于点E. DEB1C1 ，ADEA1B1C1. ABCA1B1C1DE11111111ADAEDEABBCAC1111111,ABBCACADABABBCAC1AEAC,DEBC111ABCABC1ADEABC又A1B1C1ABCDE111111111,AEDEBCACBCBCACAC（SSS）1111ADEABC判定三角形相似的定理3: 三边成比例的两个三角形相似.ABCA1B1C1.111111,ABBCACABBCACA1B1C1ABC归纳总结几何语言：例1 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由ABCDFE解：在ABC 中，ABBCCA,在DEF中
20、，DEEFFD.2.42.11.80.6,0.6,0.6,43.53DEEFFDABBCCA ABC DEF. 31.83.52.142.4相似三角形的判定定理3的运用 二.DEEFFDABBCCA 判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等，计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应.方法归纳已知ABC 和 DEF,根据下列条件判断它们是否相似.(3) AB=12， BC=15， AC24. DE16， EF20， DF30.(2)AB=4， BC=8， AC10. DE20， EF16， DF8.(1)AB=3， BC=4， AC6
21、. DE6， EF8， DF9.是否否（注意：大对大，小对小，中对中）练一练 例2:如图，在 RtABC 与 RtABC中，C =C = 90，且 求证： ABCABC. ACCAABBA 证明：由已知条件可设AB=k AB,AC=k AC 从而BC2 = AB2-AC2 =(kAB)2-(kAC)2 = k 2AB 2 k 2AC2 =k 2(AB2-AC2) = k 2BC2 =(k BC)2.从而由此得BC=k BC因此 ABCABC. (三边对应成比例的两个三角形相似).B CA BA CkBCABAC 例3:如图, 方格网的小方格是边长为1的正方形， ABC与 ABC的顶点都在格点上
22、， ABC与 ABC相似吗?为什么?C CB BA AAABBCC210.510ABACBCA BA CB C 2,2,10;ABACBC5,10,5;ABACBC 解： ABC与 ABC的顶点都在格点上，根据勾股定理，得 ABC与 ABC相似. 例4:如图所示，在ABC和ADE中， BAD=20,求CAE的度数.ABBCACADDEAE解： ABCADE(三边成比例的两个三角形相似). BAC=DAE. BAC - DAC =DAE-DAC.即 BAD=CAE. BAD=20. CAE=20.ABCDE1.如图, ABC与 ABC相似吗?你用什么方法来支持你的判断?C CB BA AAABB
23、CC22.1ABACBCA BA CB CABCA B C 相似与.8,2 10,2 2;ABBCAC4,10,2;ABBCAC 解：这两个三角形相似设1个小方格的边长为1，则当堂练习当堂练习2.在ABC和ABC中，已知：AB6cm，BC8cm，AC10cm，AB18cm，BC24cm，AC30cm求证：ABC与ABC相似61183 ABA B，81243 BCB C，101303 ACA C，证明： ABBCACA BB CA C， ABC ABC（三边成比例的两个三角形相似) ) A AC CB BCCAABB3.如图，某地四个乡镇建有公路，已知AB=14千米，AD=28千米， BD=21
24、千米， BC=42千米,DC=31.5千米，公路AB与CD平行吗？说出你的理由.解：公路AB与CD平行. 1428214231.5ABCDAD282BC423AB142BD213BD212DC31.53ABADBDBDBCDC ABDBDC, ABD=BDC ABDC 4.已知：如图,DE,DF,EF是ABC的中位线.求证：ABCFEDDABCEF证明： DE,DF,EF是ABC的中位线 DE= BC,DF= AC,EF= AB ABCFED1212BCDFEFDEACAB1212利用三边判定三角形相似 定理：三边对应成比例的两个三角形相似课堂小结课堂小结相似三角形的判定定理3的运用 见本课时练习课后作业课后作业
