1、 2019 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 数 学 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 4 页，选择题部分 1 至 2 页；非选择题部分 3 至 4 页。 满分 150 分。考试用时 120 分钟。 考生注意： 1答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定 的位置上。 2答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的 作答一律无效。 参考公式：参考公式： 若事件 A，B 互斥，则()( )( )P ABP AP B 若事件 A，B 相互独立，则()( ) ( )P ABP A P B 若事件 A
2、 在一次试验中发生的概率是 p，则 n 次 独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 ( )C(1)(0,1,2, ) kkn k nn P kppkn 台体的体积公式 1122 1 () 3 VSS SSh 其中 12 ,S S分别表示台体的上、下底面积，h表示 台体的高 柱体的体积公式VSh 其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高 锥体的体积公式 1 3 VSh 其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高 球的表面积公式 2 4SR 球的体积公式 3 4 3 VR 其中R表示球的半径 选择题部分（共 40 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出
3、的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1已知全集1,0,1,2,3U ，集合 0,1,2A，1,0,1B ，则() UA B= A 1 B0,1 C1,2,3 D1,0,1,3 2渐近线方程为 xy=0 的双曲线的离心率是 A 2 2 B1 C2 D2 3若实数 x，y 满足约束条件 340 340 0 xy xy xy ，则 z=3x+2y 的最大值是 A1 B1 C10 D12 4祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理 可以得到柱体的体积公式 V柱体=Sh，其中 S 是柱体的底面积，h 是柱体的高若某柱体的三视图如图所示 （单位：c
4、m） ，则该柱体的体积（单位：cm3）是 A158 B162 C182 D324 5若 a0，b0，则“a+b4”是 “ab4”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 6在同一直角坐标系中，函数 y = 1 x a ，y=loga(x+ 1 2 )(a0，且 a1)的图象可能是 7设 0a1，则随机变量 X 的分布列是 则当 a 在（0,1）内增大时， AD（X）增大 BD（X）减小 CD（X）先增大后减小 DD（X）先减小后增大 8设三棱锥 VABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱 VA 上的点（不含端点） 记直线 PB 与直线 AC 所成的
5、角为 ，直线 PB 与平面 ABC 所成的角为 ，二面角 PACB 的平面角为 ，则 A1，b1，b0 10设 a，bR，数列an满足 a1=a，an+1=an2+b，b N，则 A当 b= 1 2 时，a1010 B当 b= 1 4 时，a1010 C当 b=2 时，a1010 D当 b=4 时，a1010 非选择题部分（共 110 分） 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。 11复数 1 1i z （i为虚数单位） ，则|z=_ 12已知圆C的圆心坐标是(0,)m，半径长是r.若直线230xy与圆 C 相切于点( 2, 1)A ，则 m=_
6、，r=_ 13在二项式 9 ( 2)x的展开式中，常数项是_，系数为有理数的项的个数是_ 14 在ABC中，90ABC，4AB ，3BC ， 点D在线段AC上， 若45BDC， 则BD _， cosABD_ 15已知椭圆 22 1 95 xy 的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为 圆心，OF为半径的圆上，则直线PF的斜率是_ 16 已知aR， 函数 3 ( )f xaxx， 若存在tR， 使得 2 |(2)( )| 3 f tf t， 则实数a的最大值是_. 17 已 知 正 方 形A B C D的 边 长 为1 ， 当 每 个(1,2,3,4,5,6) i
7、i取 遍1时 ， 123456 |ABBCCDDAACBD的最小值是_，最大值是_ 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18 （本小题满分 14 分）设函数( )sin ,f x x xR. （1）已知0,2 ),函数()f x是偶函数，求的值； （2）求函数 22 () () 124 yf xf x 的值域 19 （本小题满分 15 分）如图，已知三棱柱 111 ABCABC，平面 11 A ACC 平面ABC,90ABC， 11 30 , ,BACA AACAC E F分别是 AC，A1B1的中点. （1）证明：EFBC； （2）求直线
8、EF 与平面 A1BC 所成角的余弦值. 20 （本小题满分 15 分）设等差数列 n a的前 n 项和为 n S， 3 4a ， 43 aS，数列 n b满足：对每个 12 , nnnnnn nSb Sb Sb N成等比数列 （1）求数列, nn ab的通项公式； （2）记, 2 n n n a cn b N 证明： 12+ 2,. n cccn n N 21（本小题满分 15 分）如图，已知点(10)F ，为抛物线 2 2(0)ypx p的焦点，过点 F 的直线交抛物线 于 A、B 两点，点 C 在抛物线上，使得ABC的重心 G 在 x 轴上，直线 AC 交 x 轴于点 Q，且 Q 在点
9、F 的右侧记,AFGCQG的面积分别为 12 ,S S （1）求 p 的值及抛物线的标准方程； （2）求 1 2 S S 的最小值及此时点 G 的坐标 22 （本小题满分 15 分） 已知实数0a，设函数( )= ln1,0.f xaxxx （1）当 3 4 a 时，求函数( )f x的单调区间； （2）对任意 2 1 ,) e x均有( ), 2 x f x a 求a的取值范围 注：e=2.71828为自然对数的底数 2019 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 数 学 参 考 答 案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分40分。 1A 2C 3C 4B 5A 6D
10、 7D 8B 9C 10A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。 11 2 2 122, 5 1316 2,5 1412 2 7 2, 510 1515 16 4 3 170,2 5 三、解答题：本大题共5小题，共74分。 18本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。 （1）因为()sin()f xx是偶函数，所以，对任意实数x都有sin()sin()xx ， 即sin coscos sinsin coscos sinxxxx， 故2sin cos0x， 所以cos0 又0,2)，因此 2 或 3 2 （2）
11、22 22 sinsin 124124 yfxfxxx 1 cos 21 cos 2 13362 1cos2sin2 22222 xx xx 3 1cos 2 23 x 因此，函数的值域是 33 1,1 22 19本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查空间想象能力和 运算求解能力。满分15分。 方法一： （1）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1EAC 又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1， 平面A1ACC1平面ABC=AC， 所以，A1E平面ABC，则A1EBC 又因为A1FAB，ABC=90 ，故BCA1F 所以BC平
12、面A1EF 因此EFBC （2）取BC中点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形 由于A1E平面ABC，故A1EEG，所以平行四边形EGFA1为矩形 由（1）得BC平面EGFA1，则平面A1BC平面EGFA1， 所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上 连接A1G交EF于O，则EOG是直线EF与平面A1BC所成的角（或其补角） 不妨设AC=4，则在RtA1EG中，A1E=2 3，EG=3. 由于O为A1G的中点，故 1 15 22 AG EOOG， 所以 222 3 cos 25 EOOGEG EOG EO OG 因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是 3 5 方法二： （1）
13、连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1EAC. 又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1， 平面A1ACC1平面ABC=AC，所以，A1E平面ABC 如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Exyz 不妨设AC=4，则 A1（0，0，2 3），B（3，1，0）， 1( 3,3,2 3) B， 3 3 (,2 3) 22 F，C(0，2，0) 因此， 3 3 (,2 3) 22 EF ，(3,1,0)BC 由 0EF BC 得EFBC （2）设直线EF与平面A1BC所成角为 由（1）可得 1 =(3 1 0)=(0 22 3)
14、BCAC， ， 设平面A1BC的法向量为n()xy z， ， 由 1 0 0 BC AC n n ，得 30 30 xy yz ， 取n(13 1)，故 |4 sin|cos|= 5| | EF EF EF ， n n n| ， 因此，直线EF与平面A1BC所成的角的余弦值为 3 5 20本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识，同时考查运算求解能力和综 合应用能力。满分15分。 （1）设数列 n a的公差为d，由题意得 111 24,333adadad， 解得 1 0,2ad 从而 * 22, n annN 所以 2* n SnnnN， 由 12 , nnnnnn Sb
15、 Sb Sb 成等比数列得 2 12nnnnnn SbSbSb 解得 2 12 1 nnnn bSS S d 所以 2* , n bnn nN （2） * 221 , 22 (1)(1) n n n ann cn bn nn n N 我们用数学归纳法证明 （i）当n=1时，c1=00， 1 2 2 113 2221 3 4323 4 24 Sm Smm m m m m . 当3m 时， 1 2 S S 取得最小值 3 1 2 ，此时G（2，0） 22本题主要考查函数的单调性，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力。满分15 分。 （1）当 3 4 a 时， 3 ( )ln1,0
16、 4 f xxx x 31( 12)(2 11) ( ) 42 141 xx f x xxxx ， 所以，函数( )f x的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+） （2）由 1 (1) 2 f a ，得 2 0 4 a 当 2 0 4 a时，( ) 2 x f x a 等价于 2 2 1 2ln0 xx x aa 令 1 t a ，则2 2t 设 2 ( )212ln ,2 2g ttxtxx t， 则 2 11 ( )(1)2ln x g tx tx xx （i）当 1 , 7 x 时， 1 12 2 x ，则 ( )(2 2)84 2 12lng tgxxx 记 1 ( )42
17、 2 1ln , 7 p xxxx x，则 2212121 ( ) 11 xxxx p x xxxx x (1)1( 221) 1(1)(12 ) xxx x xxxx . 故 x 1 7 1 (,1) 7 1 (1,) ( )p x 0 + ( )p x 1 ( ) 7 p 单调递减 极小值(1)p 单调递增 所以，( )(1)0p xp 因此，( )(2 2)2 ( )0g tgp x （ii）当 2 11 , e7 x 时， 12ln(1) ( )1 2 xxx g tg xx 令 2 11 ( )2ln(1), e7 q xxxxx ，则 ln2 ( )10 x q x x ， 故( )q x在 2 11 , e7 上单调递增，所以 1 ( ) 7 q xq 由（i）得， 12 712 7 (1)0 7777 qpp 所以，( )0q x 因此 1( ) ( )10 2 q x g tg xx 由（i） （ii）知对任意 2 1 , e x ，2 2,), ( ) 0tg t， 即对任意 2 1 , e x ，均有( ) 2 x f x a 综上所述，所求 a 的取值范围是 2 0, 4
