1、 - 1 - 北京市东城区 2017-2018学年上学期高二年级期末考试数学试卷（理科） 本试卷共 4页，共 100分。考试时长 120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共 36分） 一、选择题 （本大题共 12小题，每小题 3分，共 36分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.若 A， B两点的纵坐标相等，则直线 AB的倾斜角为 A.0 B. 4?C. 2?D. 2.已知命题 0:Rpx? ， lgx00 B. 0 Rx?， lg x00 C. Rx? ， lgx 0 D. 0 Rx?， lg
2、x0 0 3.在平面直角坐标系中，正三角形 ABC的边 BC 所在直线的斜率是 0，则边 AB， AC 所在直线的斜率之和为 A. 23? B.-1 C.0 D. 23 4.已知 m， n表示两条不同的直线，表示平面，且 n ? ，则“ m n”是“ m”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为 12的小正方体堆积成的 正方体），其中白点代表钠原子，黑点代表氯原子 .建立空间直角坐标系O-xyz后，图中最上层中心的钠原子所在位置的坐标是 A. 11, ,122?B.(0,0,1)
3、 C. 11, ,12?D. 111, ,22?6.如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，四面体 A-B1CD1在面 AA1D1D上的正投影图形为 - 2 - 7.设椭圆 221xyab?(ab0)的左、右焦点分别是 F1， F2，线段 F1F2被点 ,02b?分成 3:1的两段，则此椭圆的离心率为 A. 13B. 12C. 22D. 328.已知直线 l， m和平面，且 l， m，则下列命题中正确的是 A.若，则 l m B.若，则 l m C.若 l，则 m D.若 l m，则 9.若半径为 1的动圆与圆 (x-1)2+y2=4相切，则动圆圆心的轨迹方程为 A.(x-l)2+y
4、2=9 B.(x-l)2+y2=3 C.(x-l)2+y2=9 或 (x-l)2+y2=1 D.(x-1)2+y2=3或 (x-l)2+y2=5 10.已知双曲线 22:1xyCab?(a0,b0)的焦距为 10，点 P(2,l)在 C的一条渐近线上，则 C的方程为 A. 22120 80xy?B. 2215 20xy?C. 22180 20xy?D. 22120 5xy?11.平面上动点 P到定点 F与定直线 l的距离相等，且点 F与直线 l的距离为 1.某同学建立直角坐标系后，得到点 P的轨迹方程为 x2=2y-1，则它的建系方式是 12.正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 2，
5、M， N为棱 A1D1， AB上的动点，且 3MN? ，则线段 MN中点 P的轨迹为 - 3 - A.线段 B.圆的一部分 C.椭圆的一部分 D.双曲线的一部分 第二部分（非选择题共 64分） 二、填空题（本大题共 6小题，每小题 3分，共 18分） 13.在空间直 角坐标系中，点 P(2,-1,1)在 yOz平面内的射影为 Q(x,y,z)，则x+y+z=_. 14.若直线 l与直线 2x-y-1=0垂直，且不过第一象限，试写出一个直线 l的方程： _. 15.已知直线 l： x-y-m=0经过抛物线 y2=8x的焦点，且与抛物线交于 A， B两点，则 m=_，AB? _. 16.圆 (x-
6、l)2+y2=2 绕直线 kx-y-k=0旋转一周所得的几何体的表面积为 _. 17.在长方体 ABCD-A1B1C1D1中， M， N分别是棱 BB1， B1C1的中点，若 CMN=90 ，则异面直线AD1与 DM所成的角为 _. 18.已知曲线 C上的任意一点 M(x,y)满足到两条直线 22yx?的距离之积为 12.给出下列关于曲线 C的描述： 曲线 C关于坐标原点对称； 对于曲线 C上任意一点 M(x,y)一定有 6x? ； 直线 y=x与曲线 C有两个交点； 曲线 C与圆 x2+y2=16无交点 . 其中所有正确描述的序号是 _. 三、解答题 （本大题共 4小题，共 46 分，解答应
7、写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19.（本题满分 10分） 已知直线 l过点 A(0,4)，且 在两坐标轴上的截距之和为 1. （）求直线 l的方程； - 4 - （）若直线 l1与直线 l平行，且 l1与 l间的距离为 2，求直线 l1的方程 . 20.（本题满分 11分） 已知圆 C： x2+y2+10x+10y+34=0. （）试写出圆 C 的圆心坐标和半径； （）圆 D的圆心在直线 x=-5上，且与圆 C相外切，被 x轴截得的弦长为 10，求圆 D的方程； （）过点 P(0,2)的直线交（）中圆 D于 E， F两点，求弦 EF 的中点 M 的轨迹方程 . 21.（本题满分 12分）
8、 如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD为菱形， BAD=60 ， Q为 AD 的中点 . （）若 PA=PD，求证：平面 PQB平面 PAD； （）点 M在线段 PC 上， PM=tPC，试确定实数 t的值，使 PA平面 MQB； （）在（）的条件下，若平面 PAD平面 ABCD，且 PA=PD=AD=2，求二面角 M-BQ-C的大小 . 22.（本题满分 13分） 已知椭圆 22:1xyCab?(ab0)的焦点在圆 x2+y2=3上，且离心率为 32. （）求椭圆 C的方程； （）过原点 O的直线 l与椭圆 C交于 A， B两点， F为右焦点，若 FAB 为直角三角形，求直线 l的
9、方程 . - 5 - 参考答案 一、选择题（本大题共 12小 题，每小题 3分，共 36 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C C D A A C B C D C B 二、填空题（本大题共 6小题，每小题 3分，共 18 分） 题号 13 14 15 16 17 18 答案 0 1 12yx? ?（答案不唯一） 2 16 8 90 注：两个空的填空题第一个空填对得 1分，第二个空填对得 2分 . 三、解答题（本大题共 4小题，共 46 分） 19.（本题满分 10分） 解：（）由直线 l过点 (0,4)，所以直线 l在 y轴上的截距为 4. 由已知条
10、件可得直线 l在 x轴上的截距为 -3，即直线过点 B(-3,0). 故直线方程为 134xy?，即 4x-3y+12=0. 4 分 （）由条件设直线 l1的方程为 4x-3y+m=0， 由两条直线间的距离为 2，可得 (0,4)到直线 l1的距离为 2， 则有220 122 43m? ? ，解得 m=2或 m=22. 故所求直线 l1的方程为 4x-3y+2=0或 4x-3y+22=0. 10分 20.（本题满分 11分） 解：（）将圆的方程改写为 (x+5)2+(y+5)2=16，故圆心坐标为 (-5,-5)，半径为 4. 4分 （）设圆 D的半径为 r，圆心纵坐 标为 b，由条件可得 r
11、2=(r-1)2+52，解得 r=13. 此时圆心纵坐标 b=r-1=12. 所以圆 D的方程为 (x+5)2+(y-12)2=169. 8分 （）设 M(x,y)，依题意有 DM PM. 即 2 12 15yyxx? ?（ x 0且 x -5）， 整理得 x2+y2+5x-14y+24=0（ x 0且 x -5） . - 6 - 当 x=0时， y=12，符合题意，当 x=-5时， y=2，符合题意 . 故所求点 M的轨迹方程为 x2+y2+5x-14y+24=0. 11 分 21.（本题满分 12分） 证明：（）连接 BD. 因为 AD=AB， BAD=60 ， 所以 ABD为正三角形 .
12、 因为 Q为 AD 的中点， 所以 AD BQ. 因为 PA=PD， Q为 AD中点， 所以 AD PQ. 又 BQ PQ=Q， 所以 AD平面 PQB. 因为 AD PAD?平 面 ， 所以平面 PQB平面 PAD. 4分 （）连接 AC，交 BQ 于点 N. 由 AQ BC，可得 ANQ CNB， 所以 12AQ ANBC NC?. 因为 PA平面 MQB， PA PAC?平 面 ，平面 PAC平面 MQB=MN， 所以 PA MN. 所以 13PM ANPC AC?，即 13PM PC?，所以 13t?. 8分 （）由 PA=PD=AD=2， Q为 AD的中点，则 PQ AD，又平面 P
13、AD平面 ABCD， 所以 PQ平面 ABCD. 以 Q为坐标原点，分别以 QA， QB， QP所在的直线为 x， y， z轴，建立如图所示的坐标系，则 A(1,0,0)， ? ?0, 3,0B ， Q(0,0,0)， ? ?0,0, 3P . ? ?1,0, 3PA?， ? ?0, 3,0QB? . 设平面 MQB的法向量为 n=(x,y,z)， - 7 - 可得 0,0.MNQB? ?nn因为 PA MN，所以 0,0,PAQB? ?nn即 3 0,3 0.xzy? ?令 z=1，则 3x? ， y=0. 于是 ? ?3,0,1?n . 取平面 ABCD的法向量 m=(0,0,l)， 所以
14、 1cos ,2?mn. 故二面角 M-BQ-C的大小为 60. 12 分 22.（本题满分 13分） 解：（）因为椭圆的焦点在 x轴上，所以焦点为圆 x2+y2=3 与 x轴的交点，即 ? ?3,0? ，? ?3,0 . 所以 3c? . 又离心率 32e?，所以 a=2. 故所求椭圆方程为 2 2 14x y?. 4分 （）当 FAB为直角三角形时，显然直线 l斜率存在， 可设直线 l方程为 y=kx，设 A(x1,y1)， B(x2,y2). （）当 FA FB 时， ? ?113,FA x y?， ? ?223,FB x y?. 由22,4 4,y kxxy? ? 消 y得 (4k2+
15、1)x2-4=0. - 8 - 则 x1+x2=0，12 2441xx k? ?. ? ? ? ? 21 2 1 2 1 2 1 23 3 ( 1 ) 3 ( ) 3F A F B x x y y k x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 24( 1) 3 041k k? ? ? ? ? 解得 24k?. 此时直线 l的方程为 24yx?. 8分 （）当 FA 与 FB 不垂直时，根据椭圆的对称性，不妨设2FAB ?. 所以2211111 11,40 1.3A B A Fx yyykkx x? ? ? ? ? ? ? ?解得 1123,36.3xy? ? ?所以 1122yk x? ? 此时直线 l的方程为 22yx?. 综上，直线 l的方程为 24yx?或 22yx?. 13分
